Vzorové riešenia 1. kola

Na začiatok sa zamyslime nad tým, koľko brán sa nachádza na chodbe. Potom sa zamyslíme nad tým, ako sú rozdelené medzi jednotlivé bloky. Zo zadania vieme, že niektoré bloky majú len jednu bránu (naľavo alebo napravo) a iné majú brány dve (aj naľavo aj napravo). Počet všetkých brán získame tak, že sčítame brány naľavo a napravo. Máme 11 + 12 = 23 brán.

V zadaní sa ďalej píše, že 13 blokov má len jednu bránu. Všetky ostatné bloky musia mať brány dve. Pre jednobránové bloky musíme vyhradiť teda 13 brán, bloky s dvoma bránami budú mať zvyšných 23 - 13 = 10. Počet blokov s dvoma bránami je teda 10 : 2 = 5.

Pozrime sa na ostatné typy blokov. Brány napravo má 12 blokov, z toho 5 má brány na oboch stranách. Blokov s bránami napravo teda bude 12 - 5 = 7. Podobne zistíme, že blokov s bránami naľavo je 11 - 5 = 6. Nakoniec už iba sčítame jednotlivé počty. Celkový počet blokov bude 5 + 7 + 6 = 18.

Odpoveď: Chodba má 18 blokov, z nich 7 blokov má bránu len vpravo, 6 má bránu len vľavo a 5 má bránu na oboch stranách.

Máme 9 hráčov, 3 tímy a v každom tíme je rovnaký počet hráčov. To znamená, že v každom tíme budú 3 hráči. V každom tíme má byť rovnaký súčet čísiel na dresoch. Ak sčítame všetky čísla na dresoch a vydelíme ich počtom tímov, dostane súčet čísiel na dresoch v jednom tíme. To je (1+2+3+4+5+6+7+8+9):3 = 45:3 = 15.

Teraz sa pozrime na tím, v ktorom majú byť iba nepárne čísla dresov. Možnosti pre tento tím sú: 1,5,9 a 3,5,7. Iné kombinácie nie sú, lebo ak by bola 1 a 3 spolu, tak nemáme dres s číslom 11,  ak by bola 1 spolu so 7, tak dres s číslom 7 potrebujeme ešte raz, a ak by bola 9 spolu so 7, tak ich súčet je väčší ako 15. Teraz môžeme skúsiť dopočítať zvyšné tímy.

Možnosť 1, 5, 9. Čísla 8 a 7 nemôžu byť spolu, lebo ich súčet je 15 a tým pádom im nevieme dať tretieho člena. Čiže v druhom tíme bude číslo 8, zvyšok do 15 je 7. Súčet 7 viem získať len z čísel 3 a 4. V treťom, tíme ostali 7, 6, 2. Ich súčet je 15, takže toto je správne rozdelenie.

Možnosť 3, 5, 7. Čísla 9 a 8 nemôžu byť v jednom tíme, lebo ich súčet je väčší ako 15. Takže v druhom tíme bude číslo 9, do súčtu 15​ mi chýba 6, to viem získať iba ako 4+2, lebo 5 už je v prvom tíme. V treťom tíme ostali 8,6,1 a ich súčet je 15, takže aj toto je správne rozdelenie.

Už nám neostali žiadne možnosti na tím s nepárnymi číslami, takže toto budú všetky riešenia.

Odpoveď: Hráčov vieme rozdeliť do tímov dvoma spôsobmi. Buď budú v jednom tíme hráči s číslami 1, 5, 9, v druhom 3,4,8 a treťom 2, 6, 7, alebo v prvom 3, 5, 7, v druhom 2,4,9 a treťom 1,6,8.

Vieme, že:

• Kód je 4​-ciferné číslo.
• Každá cifra tohto čísla je prvočíslo.
• Ak si označíme toto číslo  abcd​ (teda a je 1.​ cifra , b je 2., c​ je 3.​ a d​ je 4.​ ), tak ab​, bc​ a cd​ sú prvočísla

Takže sa pozrime na možné cifry. Keďže to musia byť prvočísla, tak

• 1​-​ je deliteľné len sebou samým, teda to nie je prvočíslo,
• 2​-​prvočíslo,
• 3​-​prvočíslo,
• 4-2\cdot2,
• 5 -​prvočíslo,
• 6-2\cdot3,
• 7-​prvočíslo,
• 8-2\cdot2\cdot2,
• 9-3\cdot3.

Teda kód môže byť zložený len z cifier 2, 3, 5 a 7. Keďže ab​, bc​ a cd​ musia byť prvočísla, tak nemôžu končiť 5​ alebo 2. Boli by totiž násobkom 5 alebo 2.

Takže cifry b​,c, ani d​ nemôžu byť 2​ ani 5, takže budú 3​ alebo 7​. Ak by boli vedľa seba 33​, alebo 77​, vytvoria číslo deliteľné jedenástimi. Teda ak b​ je 3​, c​ musí byť 7​ a d​ musí byť 3​. Čiže bcd​=373​. Naopak ak b​ je 7​, c​ musí byť 3​ a d​ musí byť 7​. Čiže bcd​=737​.

Cifra a môže byť 2, 3, 5, 7. Prejdime si teda jednotlivé možnosti a pozrime sa ako bude môcť čislo pokračovať.

• Ak a = 2, b​ nemôže byť 7​, lebo 27=3\cdot3\cdot3. Teda b​ môže byť len 3, keďže 23​ je prvočíslo. Kód teda musí byť 2373​.
• Ak a = 3, b​ nemôže byť 3​, lebo 33=3\cdot11​, teda b​ môže byť len 7. 37​ je prvočíslo, teda kód bude 3737​.
• Ak a = 5, b​ nemôže byť 7​, lebo 57=3\cdot19​, teda b​ môže byť len 3. 53 je prvočíslo, teda kód bude 5373​.
• Ak a = 7, b​ nemôže byť 7​, lebo 77=7\cdot11​, teda b môže byť len 3. 73​ je prvočíslo, teda kód musí byť 7373​.

Prešli sme teda všetky možnosti a vyšli nám riešenia 2373, 3737, 5373, 7373​, teda sú to jediné 4 riešenia.

Odpoveď:​ Kód bol jednou z možností 2373, 3737, 5373, 7373.

Komentár: 

Definícia prvočísla v zadaní obsahovala výrok, z ktorého vychádzalo, že aj jednotka je prvočíslo. Ak ste s rátali s touto možnosťou, tak sme vám to uznali.

Zo zadania vieme, že hľadané počty oviec majú byť deliteľné 45​. Pracovať s takýmto veľkým číslom je ale pri deliteľnosti celkom nepraktické. Môžeme si to však zjednodušiť. Ak si spravíme prvočíselný rozklad čísla 45​ dostaneme 5⋅3⋅3. Vieme teda povedať, že každý možný počet oviec, ktorý bude mať vo svojom prvočíselnom rozklade 5​ a 9​ (čiže 3⋅3​) bude deliteľný 45, a bez toho určite nebude. Stačí nám teda nájsť čísla, ktoré sú deliteľné 5​ a 9​.

Zopakujme si, kedy je číslo deliteľné 5​ a 9​:

• Číslo je deliteľné 9​, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9.
• Číslo je deliteľné 5​, ak má na mieste jednotiek 0​ alebo 5.

​Neznáme cifry si označíme ako A​, B​ a C​, vtedy bude naše číslo vyzerať takto: 1A2B3C​.  Vieme však, že na mieste jednotiek musí byť 0​ alebo 5​ (aby bolo deliteľné 5​), hľadanie neznámych čísel si teda rozdelíme na dve časti (C = 0​ a C = 5​). Vždy  budeme hľadať čísla A​ a B​ tak, aby bol ciferný súčet výsledného čísla deliteľný 9.

Čísla zakončené na 0​:

Ak je číslo zakončené na 0​, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+0 = 6+A+B​. Vieme, že náš ciferný súčet bude od 6​ (ak by sme za A​ a B​ dosadili dve 0​) do 24​ (ak by sme za A​ a B​ dosadili dve 9​). Ciferný súčet nášho čísla teda môže byť 9​ a 18​.

• Ak je ciferný súčet 9​, tak A+B=9-6=3​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná tri sú: 0+3​ ; 1+2​ ; 2+1​ ; 3+0​. Máme 4 možnosti.
• Ak je ciferný súčet 18​, tak A+B=18-6=12. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná dvanásť sú: 9+3​ ; 8+4​ ; 7+5​ ; 6+6​ ; 7+5​ ; 8+4​ ; 9+3​. Máme 7​ možností.

Čísla zakončené na 5​:

Ak je číslo zakončené na 5​, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+5 = 11+A+B​. Tento ciferný súčet bude  od 11​ (ak by sme dosadili dve 0​) do 29​ (ak by sme dosadili dve 9​). Ciferný súčet teda môže byť 18 a 27​.

• Ak je ciferný súčet 18​, tak A+B=18-11=7​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná sedem sú: 0+7​ ; 1+6​ ; 2+5​ ; 3+4​ ; 4+3​ ; 5+2​ ; 6+1​ ; 7+0​. Máme 8 možností.
• Ak je ciferný súčet 27​, tak A+B=27-11=16​. Možnosti pre ktoré sa A+B​ rovná šestnásť sú: 9+7​ ; 8+8​ ; 7+9​. Máme 3​ možnosti.

​Ak si zrátame všetky možnosti (4+7+8+3​), zistíme, že 22  rôznych počtov oviec spĺňa zadané podmienky.

Na začiatku nevieme, ako sú súradnice otočené. Tak si ich otočme tak, aby svišť a medveď boli takto vedľa seba:

Najskôr sa môžem pozrieť, kam sa dokážu medveď a svišť dostať po jednom kroku:

Svišť sa posunie diagonálne od medveďa a medveď vedľa neho, tak aby sa nedotýkal predchodzej pozície.

Teraz by sme radi našli nejaký pohyb, ktorý by sme vedeli opakovať, aby sme pokryli nejakú časť plochy. Napríklad by nás zaujímalo, či existuje postupnosť ťahov, ktoré dostanú svišťa s medveďom o jedna doprava. Ak áno, vieme tento pohyb opakovať a posunúť ich tak na ľubovľné miesto napravo.

Rovnakú postupnosť môžeme urobiť aj symetricky na druhú stranu. Totiž všetky ťahy, ktoré sme použili fungujú aj doľava aj doprava. Tak sa vedia posunúť doľava. Toto pre nás znamená, že ich vieme posunúť hocikam chceme na čiare prechádzajúcej cez nich.

Vieme ich podobne posunúť aj hore a dole?

Na to, aby boli priamo nad svojou minulou pozíciou, môžeme ich posunúť dva krát doľava. Znovu symetricky ich vieme posunúť aj dole o jedno políčko.

Odpoveď: Pomocou novo vytvorených pohybov hore, dole, doprava, doľava sa dokážu dostať na hocijaké políčko v štvorcovej sieti.

Na začiatok si nakreslime obrázok a vyznačme si, čo poznáme zo zadania. AD​ je os uhla, tak označíme |\sphericalangle BAD| = |\sphericalangle DAC| = \alpha. Zadané máme aj |\sphericalangle ACB| = 2 \cdot |\sphericalangle ABC| = 2 \cdot \beta​, teda |\sphericalangle ABC| = \beta​. V riešení máme ešte jednu vedomosť. Platí |AD| = |AC|​, čo znamená, že trojuholník ADC​ je rovnoramenný. Uhly pri základni musí mať rovnaké, čo znamená, že |\sphericalangle ADC| = |\sphericalangle ACD| = 2 \cdot \beta.

Zo zadania sme už vyčerpali všetky informácie, zostáva nám už len počítať s tým, čo máme. Prvou zaujímavú informáciu môže poskytnúť trojuholník ACD​. Súčet jeho uhlov má byť 180°. Z informácií o jeho uhloch tak dostaneme

​\alpha + 2 \beta + 2 \beta = 180°​.

To nám samo o sebe veľa nepovedalo. Pozrime sa na bod D​. Uhly \sphericalangle ADC​ a \sphericalangle ADB​ tvoria dokopy priamy uhol. Aby ich súčet bol 180°​, musí platiť

​|\sphericalangle ADB| = 180° - 2 \cdot \beta​.

Vráťme sa k trojuholníkom. Vieme, že súčet uhlov v ABD​ je 180°​. Dva uhly sú \beta​ a 180°-2\beta​, tretí uhol teda musí byť \beta​, aby nám vyšiel správny súčet. Prvé dva uhly boli \sphericalangle ABD​ a \sphericalangle ADB​, tretí uhol je teda \sphericalangle BAD. O ňom vieme, že má byť rovnako veľký ako \alpha​ a po novom aj ako \beta​. Takže tieto dva uhly sú rovnaké, t. j. \alpha = \beta​.

Spomeňme si na prvý trojuholník, ktorého súčet uhlov sme počítali. Pre ACD​ sme dostali, že musí platiť \alpha + 2\beta + 2\beta = 180°​. Keďže \alpha = \beta​, môžeme to napísať ako

​\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 5\alpha = 180° \Rightarrow \alpha = 36°​.

Vypočítali sme \alpha​ a teda aj \beta​. Vráťme sa k nášmu obrázku a skúsme dopočítať pôvodné uhly.

​|\sphericalangle BAC| = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 36° = 72°​,
|\sphericalangle ABC| = \beta = 36°​,
|\sphericalangle BCA| = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 36° = 72°​.

Ľahko môžeme overiť, že ich súčet je 180°​ a teda, že sú to skutočne uhly trojuholníka.

Odpoveď: Vnútorné uhly trojuholníka majú 72°​, 36°​ a 72°​.

Komentár

Väčšina z vás si s príkladom poľahky poradila, no našli sa i takí, ktorí spravili nejaké drobné chyby. Tou najčastejšou boli chýbajúce vysvetlenia výpočtov, no body sme strhávali len zriedka.

Keď sa budeme chvíľu s príkladom hrať prídeme na to, že pre x vyhovujú možnosti 4, 5, 20. Tie vieme dostať napríklad nasledovne:

1 \xrightarrow{+4} 5 \xrightarrow{\cdot 4} 20 \xrightarrow{+4} 24 \xrightarrow{\cdot 4} 96 \xrightarrow{+4} 100,\\ 1 \xrightarrow{\cdot 5} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{+5} 15 \xrightarrow{+5} 20 \xrightarrow{\cdot 5} 100,\\ 1 \xrightarrow{\cdot 20} 20 \xrightarrow{+20} 40 \xrightarrow{+20} 60 \xrightarrow{+20} 80 \xrightarrow{+20} 100.

Otázkou však zostáva, či nemôžu byť nejaké ďalšie čísla, ktoré sme prehliadli? Ako určiť o nejakých číslach, že zadaniu nevyhovujú? Prvá vec, ktorá nás môže napadnúť je veľkosť čísla. Keďže len sčitujeme a násobíme, číslo uložené v stroji bude po každom kroku väčšie a väčšie. To diskvalifikuje napríklad všetky x > 100, keďže tie už po prvom kroku prekročia náš cieľ.

Skúsme sa teda zamyslieť, aké najmenšie a najväčšie číslo vieme dostať pomocou x. Začnime tým, že si rozmyslíme, ako sa správajú operácie \cdot a +. Majme v stroji nejaké číslo a. Kedy dostaneme vynásobením x menšie číslo ako keby sme k a pripočítali x?

a \cdot x \lt a + x,\\ a \cdot (x - 1) \lt x,\\ a \lt \frac{x}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}.

Ak x \geq 2 pravá strana je najviac 2 a teda a, ktoré meníme môže byť jedine 1. Inak by násobenie dalo aspoň toľko ako sčítanie. Pre x = 1 si ľahko rozmyslíme, že násobenie číslo nemení, kým pripočítavanie ho zvyšuje. Pre x = 1 teda ľahko zistíme, že najväčšie číslo, ktoré vieme dostať je 1+1+1+1+1+1 = 6. Moc malá bude už len dvojka, keďže

1 \xrightarrow{+2} 3 \xrightarrow{\cdot 2} 6 \xrightarrow{\cdot 2} 12 \xrightarrow{\cdot 2} 24 \xrightarrow{\cdot 2} 64,\\ 1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\cdot 3} 12 \xrightarrow{\cdot 3} 36 \xrightarrow{\cdot 3} 108 \xrightarrow{\cdot 3} 324.

Vráťme sa ešte k tým x, pre ktoré vyjdú len čísla vyššie ako 100. Najmenšie, čo vieme pomocou x dosiahnuť (už vieme, že x > 1) je

1 \xrightarrow{\cdot x} x \xrightarrow{+x} 2x \xrightarrow{+x} 3x \xrightarrow{+x} 4x \xrightarrow{+x} 5x.

Nutne teda 100 \geq 5x, čo znamená, že 20 \geq x.

Čo ďalej? Vyradili sme kopu čísel, no stále máme 18 kandidátov (od 3 po 20), z ktorých sme našli riešenie len pre 4,5,20. Po chvíli skúšania si môžeme všimnúť, že až podozrivo často je výsledné číslo násobkom x. A skutočne, ak v niektorom kroku násobíme číslom x, dostaneme násobok x. Po poslednom násobení môžeme ešte pripočítať niekoľkokrát x, no to na fakte, že výsledok je násobok x nič nezmení. Ak sme teda niekedy násobili, potrebujeme, aby 100 bolo násobkom x. To z našich možností platí len pre 4, 5, 10, 20.

Ešte je tu samozrejme možnosť, že sme nenásobili ani raz. S tým sa vysporiadame ľahko. Výsledné číslo je 1+x+x+x+x+x = 1+5x = 100, čiže x = 99:5, čo nie je celé číslo.

Posledná možnosť, o ktorej nevieme, či môže alebo nemôže byť x, je 10. Po chvíli skúšania si všimneme, že po prvom kroku dostaneme 10 alebo 11. Ak teda budeme po prvom kroku násobiť, dosiahneme 100 moc skoro, alebo stovku naopak prekročíme. Keďže je však 100 násobkom 10 násobiť niekedy musíme. Jediná možnosť je teda v prvom kroku. Jediný prípustný spôsob je teda

1 \xrightarrow{\cdot 10} 10 \xrightarrow{+10} 20 \xrightarrow{+10} 30 \xrightarrow{+10} 40 \xrightarrow{+10} 50,

čo nedáva správny výsledok.

Odpoveď: Jediné vstupy x, pre ktoré vieme dostať 100 sú 4, 5, 20.

Ako prvé sa pozrime na naše dve informácie zo zadania a napíšme si ich do rovnice. Ako x,y​si označíme čísla pred zaokrúhlením a ako a,b si označíme rozdiel medzi číslom pred zaokrúhlením a po zaokrúhlení. Teda ak zaokrúhlime x, dostanem x + a.

Čo to teda vieme zo zadania? Rozdiel čísel je pred aj po zaokrúhlení rovnaký. Zapíšme si túto rovnicu.

​x - y = (x + a) - (y + b)
x - y = x + a - y - b ~~~~~~~~~/-x + y
​0 = a - b

Zistili sme, že čísla sa budú zaokrúhľovať o rovnako. To potom znamená, že číslicu na mieste jednotiek budú mať rovnakú. Zameňme si teda b za a. Ak budú mať x a y​ cifru na mieste jednotiek rovnakú, znamená to, že sa budú zaokrúhľovať rovnakým smerom, a teda hore, pretože sa ich súčin zvyšuje. To znamená, že posledná cifra týchto čísel bude od 5 do 9.

Vieme, že keď zaokrúhlime 2 čísla na desiatky, budú násobkom 10. A o tých vieme, že keď ich vynásobíme navzájom, dostaneme násobok 100. A na aké číslo sa končia násobky 100? No predsa 0! Čo teraz vieme robiť s touto informáciou? Vieme, že ABC0 = x \cdot y + 184. Ako tam vieme dostať tú nulu? Tak, že zrátame cifry na miestach jednotiek čísel 184 a x \cdot y. Keďže sú to cifry (teda čísla od 0 do 9) vieme tento súčet dosiahnuť len tak, ak by bol súčet 0 alebo 10. 184 má na mieste jednotiek 4, a tak to 0 nemôže byť. A teda vieme, že x \cdot y sa bude končiť na 10 - 4 = 6.

Čo však toto znamená? Opäť sa pozrime na poslednú cifru, ktorá teda bude 6. Ako sme ju tam mohli dostať? Pri násobení platí, že na cifru na mieste jednotiek v súčine majú vplyv iba cifry na mieste jednotiek v číslach, ktoré násobíme. Takto vieme, že túto našu 6 na mieste jednotiek sme dostali tak, že sme vynásobili posledné cifry x a y, a zobrali poslednú cifru tohoto súčinu. Ale pozor! Vyššie sme si povedali, že posledná cifra x a posledná cifra y sú rovnaké, a tak isto sú väčšie ako 5. Tak si vyskúšajme každú možnosť od 5 do 9, a zistíme, pri ktorom čísle nám vyhovujú podmienky:

​5 \cdot 5 = 25 - končí cifrou 5,
6 \cdot 6 = 36 - končí cifrou 6,
7 \cdot 7 = 49 - končí cifrou 9,
8 \cdot 8 = 64 - končí cifrou 4,
9 \cdot 9 = 81 - končí cifrou 1.

Ako vidíme, tak iba pre možnosť 6 platí, že súčin bude končiť 6. To znamená, že čísla x, y sa pri zaokrúhľovaní zvyšujú o 4. Teda a = 4

Pozrime sa teraz na druhú rovnicu zo zadania.

​x \cdot y + 184 = (x + a) \cdot (y + a)
x \cdot y + 184 = a^2 + xa + ya + x \cdot y ~~~~~~~~~~ /- x \cdot y
184 = a(a + x + y)
\dfrac{184}{a} = a + x + y - vieme, že a = 4
46 = y + x + 4
42 = x + y

Takže, aké čísla môžu byť x a y? Zo zadania a nášho výpočtu vieme, že to musia byť dvojciferné prirozdené čísla končiace cifrou 6 (na mieste jednotiek). To sú čísla 16, 26, 36, \ldots, 96. Ich súčet musí byť 42, a tak čokoľvek od 36 vyššie pasovať nebude. Jedinou možnosťou ostane: x = 16 a y = 26.

Komentár

V tomto príklade bolo veľa rôznych druhov riešení, niektoré aj prekvapivo vynaliezavé. Prakticky všetci riešitelia mali príklad vyriešený správne, aj keď niektorí iba skúšali.

Bodovanie

Body sme strhávali najmä za neopodstatnené či nesprávne ukázané skúšanie a nedokázané kroky.

Označme si uhol \sphericalangle RAK ako \alpha. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka RAK je 180 \degree, teda dostávame |\sphericalangle KRA| + \alpha + 90\degree = 180 \degree, takže |\sphericalangle KRA| = 90 \degree - \alpha. 90 \degree = |\sphericalangle TRA| = |\sphericalangle TRK| + |\sphericalangle KRA| = |\sphericalangle TRK| + 90\degree - \alpha, z čoho dostávame |\sphericalangle TRK| = \alpha.

|AE| = |AK| a |RT|=|RK|, takže \frac{|AE|}{|AK|}=\frac{|RT|}{|RK|}.Ďalej platí, že |\sphericalangle TRK| = |\sphericalangle EAK| = \alpha. To znamená, že trojuholníky TKR a EKA sú podobné podľa vety sus. Z podobnosti dostávame |\sphericalangle EKA| = |\sphericalangle RKT|.

Keďže RKA je pravouhlý, tak 90 \degree = |\sphericalangle RKA| = |\sphericalangle EKA| + |\sphericalangle RKE|, |\sphericalangle EKA| = |\sphericalangle RKT|, takže 90 \degree = |\sphericalangle EKA| + |\sphericalangle RKE| = |\sphericalangle RKT| + |\sphericalangle RKE| = |\sphericalangle TKE|.

Zostrojíme Tálesovu kružnicu nad priemerom TE. Tálesová kružnica nám hovorí o tom, že všetky body X pre ktoré platí |\sphericalangle TXE| = 90\degree musia ležať na kružnici s priemerom TE. Body R a K musia ležať na našej Tálesovej kružnici s priemerom TE, lebo platí, že 90 \degree = |\sphericalangle TRE| = |\sphericalangle TKE|.

Odpoveď: Dokázali sme, že body R, E, K, T ležia na jednej kružnici a to na kružnici s priemerom TE.

Komentár

Časť z vás sa rozhodla riešiť úlohu cez vlastnosti tetivových štvoruholníkov, čo je tiež správne riešenie. Vzorové riešenie sme sa rozhodli spraviť pomocou Tálesovej kružnice, lebo tetivové štvoruholníky nie sú v základoškolských osnovách.

Fun fact na záver

Zamýšľali ste sa niekedy nad tým prečo sa Tálesova veta volá Tálesova a nie Tálova? Skúšali sme nájsť na túto otázku odpoveď ale bohužiaľ nezistili sme nič zaujímavé, čiže ak náhodou niečo nové zistíte, prosím napíšte na adresu erik.toth@riesky.sk.

Najprv sa zamyslime nad koordinátormi, a správcu siete si necháme na neskôr...

Koľko hesiel nám bude stačiť? Musí platiť, že nech zvolíme ľubovoľnú dvojicu koordinátorov, nejaké heslo jej bude chýbať. Inak by vedeli spoločne získať prístup. Rôznych dvojíc je šesť, teda musí byť aj šesť hesiel, aby každej nejaké chýbalo. Alebo? Nemôže jedno heslo chýbať viacerým dvojiciam naraz? Potom by nám hesiel stačilo menej…

Pravda je taká, že určite nemôže jedno heslo chýbať viacerým dvojiciam. V dvoch dvojiciach sú určite aspoň traja koordinátori (v prípade, že jeden je v oboch). Dokopy teda určite z týchto dvojíc vieme zostaviť nejakú trojicu. Táto trojica bude pozostávať len z koordinátorov, ktorí dané heslo nepoznajú. To ale protirečí zadaniu, ktoré hovorí, že každá trojica koordinátorov vie získať prístup. Teda naozaj to takto nemôže byť.

Vidíme teda, že každá zo šiestich rôznych dvojíc musí mať "vlastné" heslo, ktoré nepozná. To je šesť hesiel. Ostáva nám teraz len zamyslieť sa, ako zaručiť, že správca nebude mať sám všetky heslá, ale zároveň mu bude stačiť pomoc ľubovoľného koordinátora, aby získal prístup.

Určite nejaké heslo bude správcovi chýbať. Nemôže to byť ani jedno z našich šiestich hesiel, pretože potom by dvojica správcu s nejakým koordinátorom, ktorému to heslo tiež chýba, nedokázala získať prístup. Teda ide o nejaké siedme heslo, ktoré musí mať každý z koordinátorov.

Sme si teda istí, že hesiel potrebujeme určite aspoň 7. Stačí to naozaj? Skúsme si zapísať, kto bude poznať ktoré z týchto hesiel:

• Správca siete: 1,2,3,4,5,6,
• Koordinátor 1: 1,2,3,7,
• Koordinátor 2: 1,4,5,7,
• Koordinátor 3: 2,4,6,7,
• Koordinátor 4: 3,5,6,7.

Vidíme, že naozaj naša konštrukcia funguje - ľubovoľná trojica koordinátorov aj ľubovoľný koordinátor so správcom majú všetkých sedem hesiel, ale správca sám ani žiadna dvojica koordinátorov ich nemá.

Odpoveď: Hesiel musí byť najmenej sedem.