Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
V znaku bol pravouhlý trojuholník RAK s pravým uhlom pri vrchole K. Na RA si zvolíme bod E tak, aby |AE| = |AK|. Na kolmici na RA prechádzajúcej bodom R zvolíme bod T tak, aby |RT| = |RK| a aby body T, K boli v rovnakej polrovine určenej priamkou RA. Dokážte, že body R,E,K,T ležia na kružnici.
Vzorové riešenie
Označme si uhol \sphericalangle RAK ako \alpha. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka RAK je 180 \degree, teda dostávame |\sphericalangle KRA| + \alpha + 90\degree = 180 \degree, takže |\sphericalangle KRA| = 90 \degree - \alpha. 90 \degree = |\sphericalangle TRA| = |\sphericalangle TRK| + |\sphericalangle KRA| = |\sphericalangle TRK| + 90\degree - \alpha, z čoho dostávame |\sphericalangle TRK| = \alpha.
|AE| = |AK| a |RT|=|RK|, takže \frac{|AE|}{|AK|}=\frac{|RT|}{|RK|}.Ďalej platí, že |\sphericalangle TRK| = |\sphericalangle EAK| = \alpha. To znamená, že trojuholníky TKR a EKA sú podobné podľa vety sus. Z podobnosti dostávame |\sphericalangle EKA| = |\sphericalangle RKT|.
Keďže RKA je pravouhlý, tak 90 \degree = |\sphericalangle RKA| = |\sphericalangle EKA| + |\sphericalangle RKE|, |\sphericalangle EKA| = |\sphericalangle RKT|, takže 90 \degree = |\sphericalangle EKA| + |\sphericalangle RKE| = |\sphericalangle RKT| + |\sphericalangle RKE| = |\sphericalangle TKE|.
Zostrojíme Tálesovu kružnicu nad priemerom TE. Tálesová kružnica nám hovorí o tom, že všetky body X pre ktoré platí |\sphericalangle TXE| = 90\degree musia ležať na kružnici s priemerom TE. Body R a K musia ležať na našej Tálesovej kružnici s priemerom TE, lebo platí, že 90 \degree = |\sphericalangle TRE| = |\sphericalangle TKE|.
Odpoveď: Dokázali sme, že body R, E, K, T ležia na jednej kružnici a to na kružnici s priemerom TE.
Komentár
Časť z vás sa rozhodla riešiť úlohu cez vlastnosti tetivových štvoruholníkov, čo je tiež správne riešenie. Vzorové riešenie sme sa rozhodli spraviť pomocou Tálesovej kružnice, lebo tetivové štvoruholníky nie sú v základoškolských osnovách.
Fun fact na záver
Zamýšľali ste sa niekedy nad tým prečo sa Tálesova veta volá Tálesova a nie Tálova? Skúšali sme nájsť na túto otázku odpoveď ale bohužiaľ nezistili sme nič zaujímavé, čiže ak náhodou niečo nové zistíte, prosím napíšte na adresu erik.toth@riesky.sk.