Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok
×8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Súradnice sú zadané vo forme dvoch prirodzených dvojciferných čísel. Tieto čísla zaokrúhlime na desiatky. Určte, aké čísla to boli pôvodne, ak rozdiel zaokruhlených čísel je rovnaký ako rozdiel pôvodných čísel, a súčin zaokruhlených čísel je o 184 väčší ako súčin pôvodných čísel.
Vzorové riešenie
Ako prvé sa pozrime na naše dve informácie zo zadania a napíšme si ich do rovnice. Ako x,ysi označíme čísla pred zaokrúhlením a ako a,b si označíme rozdiel medzi číslom pred zaokrúhlením a po zaokrúhlení. Teda ak zaokrúhlime x, dostanem x + a.
Čo to teda vieme zo zadania? Rozdiel čísel je pred aj po zaokrúhlení rovnaký. Zapíšme si túto rovnicu.
x - y = (x + a) - (y + b)
x - y = x + a - y - b ~~~~~~~~~/-x + y
0 = a - b
Zistili sme, že čísla sa budú zaokrúhľovať o rovnako. To potom znamená, že číslicu na mieste jednotiek budú mať rovnakú. Zameňme si teda b za a. Ak budú mať x a y cifru na mieste jednotiek rovnakú, znamená to, že sa budú zaokrúhľovať rovnakým smerom, a teda hore, pretože sa ich súčin zvyšuje. To znamená, že posledná cifra týchto čísel bude od 5 do 9.
Vieme, že keď zaokrúhlime 2 čísla na desiatky, budú násobkom 10. A o tých vieme, že keď ich vynásobíme navzájom, dostaneme násobok 100. A na aké číslo sa končia násobky 100? No predsa 0! Čo teraz vieme robiť s touto informáciou? Vieme, že ABC0 = x \cdot y + 184. Ako tam vieme dostať tú nulu? Tak, že zrátame cifry na miestach jednotiek čísel 184 a x \cdot y. Keďže sú to cifry (teda čísla od 0 do 9) vieme tento súčet dosiahnuť len tak, ak by bol súčet 0 alebo 10. 184 má na mieste jednotiek 4, a tak to 0 nemôže byť. A teda vieme, že x \cdot y sa bude končiť na 10 - 4 = 6.
Čo však toto znamená? Opäť sa pozrime na poslednú cifru, ktorá teda bude 6. Ako sme ju tam mohli dostať? Pri násobení platí, že na cifru na mieste jednotiek v súčine majú vplyv iba cifry na mieste jednotiek v číslach, ktoré násobíme. Takto vieme, že túto našu 6 na mieste jednotiek sme dostali tak, že sme vynásobili posledné cifry x a y, a zobrali poslednú cifru tohoto súčinu. Ale pozor! Vyššie sme si povedali, že posledná cifra x a posledná cifra y sú rovnaké, a tak isto sú väčšie ako 5. Tak si vyskúšajme každú možnosť od 5 do 9, a zistíme, pri ktorom čísle nám vyhovujú podmienky:
5 \cdot 5 = 25 - končí cifrou 5,
6 \cdot 6 = 36 - končí cifrou 6,
7 \cdot 7 = 49 - končí cifrou 9,
8 \cdot 8 = 64 - končí cifrou 4,
9 \cdot 9 = 81 - končí cifrou 1.
Ako vidíme, tak iba pre možnosť 6 platí, že súčin bude končiť 6. To znamená, že čísla x, y sa pri zaokrúhľovaní zvyšujú o 4. Teda a = 4
Pozrime sa teraz na druhú rovnicu zo zadania.
x \cdot y + 184 = (x + a) \cdot (y + a)
x \cdot y + 184 = a^2 + xa + ya + x \cdot y ~~~~~~~~~~ /- x \cdot y
184 = a(a + x + y)
\dfrac{184}{a} = a + x + y - vieme, že a = 4
46 = y + x + 4
42 = x + y
Takže, aké čísla môžu byť x a y? Zo zadania a nášho výpočtu vieme, že to musia byť dvojciferné prirozdené čísla končiace cifrou 6 (na mieste jednotiek). To sú čísla 16, 26, 36, \ldots, 96. Ich súčet musí byť 42, a tak čokoľvek od 36 vyššie pasovať nebude. Jedinou možnosťou ostane: x = 16 a y = 26.
Komentár
V tomto príklade bolo veľa rôznych druhov riešení, niektoré aj prekvapivo vynaliezavé. Prakticky všetci riešitelia mali príklad vyriešený správne, aj keď niektorí iba skúšali.
Bodovanie
Body sme strhávali najmä za neopodstatnené či nesprávne ukázané skúšanie a nedokázané kroky.