Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Postava mala tvar trojuholníka ABC. V trojuholníku ABC označme D priesečník osi uhla BAC a strany BC. Platí, že AD=AC a navyše je uhol ACB dvakrát taký veľký ako uhol ABC. Určte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka ABC.

Vzorové riešenie

Opravovali: MartinŠ, mišo

Na začiatok si nakreslime obrázok a vyznačme si, čo poznáme zo zadania. AD​ je os uhla, tak označíme |\sphericalangle BAD| = |\sphericalangle DAC| = \alpha. Zadané máme aj |\sphericalangle ACB| = 2 \cdot |\sphericalangle ABC| = 2 \cdot \beta​, teda |\sphericalangle ABC| = \beta​. V riešení máme ešte jednu vedomosť. Platí |AD| = |AC|​, čo znamená, že trojuholník ADC​ je rovnoramenný. Uhly pri základni musí mať rovnaké, čo znamená, že |\sphericalangle ADC| = |\sphericalangle ACD| = 2 \cdot \beta.

Zo zadania sme už vyčerpali všetky informácie, zostáva nám už len počítať s tým, čo máme. Prvou zaujímavú informáciu môže poskytnúť trojuholník ACD​. Súčet jeho uhlov má byť 180°. Z informácií o jeho uhloch tak dostaneme

\alpha + 2 \beta + 2 \beta = 180°​.

To nám samo o sebe veľa nepovedalo. Pozrime sa na bod D​. Uhly \sphericalangle ADC​ a \sphericalangle ADB​ tvoria dokopy priamy uhol. Aby ich súčet bol 180°​, musí platiť

|\sphericalangle ADB| = 180° - 2 \cdot \beta​.

Vráťme sa k trojuholníkom. Vieme, že súčet uhlov v ABD​ je 180°​. Dva uhly sú \beta​ a 180°-2\beta​, tretí uhol teda musí byť \beta​, aby nám vyšiel správny súčet. Prvé dva uhly boli \sphericalangle ABD​ a \sphericalangle ADB​, tretí uhol je teda \sphericalangle BAD. O ňom vieme, že má byť rovnako veľký ako \alpha​ a po novom aj ako \beta​. Takže tieto dva uhly sú rovnaké, t. j. \alpha = \beta​.

Spomeňme si na prvý trojuholník, ktorého súčet uhlov sme počítali. Pre ACD​ sme dostali, že musí platiť \alpha + 2\beta + 2\beta = 180°​. Keďže \alpha = \beta​, môžeme to napísať ako

\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 5\alpha = 180° \Rightarrow \alpha = 36°​.

Vypočítali sme \alpha​ a teda aj \beta​. Vráťme sa k nášmu obrázku a skúsme dopočítať pôvodné uhly.

|\sphericalangle BAC| = 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 36° = 72°​,
|\sphericalangle ABC| = \beta = 36°​,
|\sphericalangle BCA| = 2 \cdot \beta = 2 \cdot 36° = 72°​.

Ľahko môžeme overiť, že ich súčet je 180°​ a teda, že sú to skutočne uhly trojuholníka.

Odpoveď: Vnútorné uhly trojuholníka majú 72°​, 36°​ a 72°​.

Komentár

Väčšina z vás si s príkladom poľahky poradila, no našli sa i takí, ktorí spravili nejaké drobné chyby. Tou najčastejšou boli chýbajúce vysvetlenia výpočtov, no body sme strhávali len zriedka.