Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Dvaja piráti a ich pes počítajú ovce. Počet oviec musí spĺňať nasledujúce podmienky:
- Je to šesťciferné kladné celé číslo.
- Je deliteľné 45 bezo zvyšku.
- Na mieste stotisícok má číslicu 1.
- Na mieste tisícok má číslicu 2.
- Na mieste desiatok má číslicu 3.
Koľko rôznych počtov oviec spĺňa tieto podmienky?
Vzorové riešenie
Zo zadania vieme, že hľadané počty oviec majú byť deliteľné 45. Pracovať s takýmto veľkým číslom je ale pri deliteľnosti celkom nepraktické. Môžeme si to však zjednodušiť. Ak si spravíme prvočíselný rozklad čísla 45 dostaneme 5⋅3⋅3. Vieme teda povedať, že každý možný počet oviec, ktorý bude mať vo svojom prvočíselnom rozklade 5 a 9 (čiže 3⋅3) bude deliteľný 45, a bez toho určite nebude. Stačí nám teda nájsť čísla, ktoré sú deliteľné 5 a 9.
Zopakujme si, kedy je číslo deliteľné 5 a 9:
- Číslo je deliteľné 9, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9.
- Číslo je deliteľné 5, ak má na mieste jednotiek 0 alebo 5.
Neznáme cifry si označíme ako A, B a C, vtedy bude naše číslo vyzerať takto: 1A2B3C. Vieme však, že na mieste jednotiek musí byť 0 alebo 5 (aby bolo deliteľné 5), hľadanie neznámych čísel si teda rozdelíme na dve časti (C = 0 a C = 5). Vždy budeme hľadať čísla A a B tak, aby bol ciferný súčet výsledného čísla deliteľný 9.
Čísla zakončené na 0:
Ak je číslo zakončené na 0, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+0 = 6+A+B. Vieme, že náš ciferný súčet bude od 6 (ak by sme za A a B dosadili dve 0) do 24 (ak by sme za A a B dosadili dve 9). Ciferný súčet nášho čísla teda môže byť 9 a 18.
- Ak je ciferný súčet 9, tak A+B=9-6=3. Možnosti pre ktoré sa A+B rovná tri sú: 0+3 ; 1+2 ; 2+1 ; 3+0. Máme 4 možnosti.
- Ak je ciferný súčet 18, tak A+B=18-6=12. Možnosti pre ktoré sa A+B rovná dvanásť sú: 9+3 ; 8+4 ; 7+5 ; 6+6 ; 7+5 ; 8+4 ; 9+3. Máme 7 možností.
Čísla zakončené na 5:
Ak je číslo zakončené na 5, tak jeho ciferný súčet je 1+A+2+B+3+5 = 11+A+B. Tento ciferný súčet bude od 11 (ak by sme dosadili dve 0) do 29 (ak by sme dosadili dve 9). Ciferný súčet teda môže byť 18 a 27.
- Ak je ciferný súčet 18, tak A+B=18-11=7. Možnosti pre ktoré sa A+B rovná sedem sú: 0+7 ; 1+6 ; 2+5 ; 3+4 ; 4+3 ; 5+2 ; 6+1 ; 7+0. Máme 8 možností.
- Ak je ciferný súčet 27, tak A+B=27-11=16. Možnosti pre ktoré sa A+B rovná šestnásť sú: 9+7 ; 8+8 ; 7+9. Máme 3 možnosti.
Ak si zrátame všetky možnosti (4+7+8+3), zistíme, že 22 rôznych počtov oviec spĺňa zadané podmienky.