Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok
×3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
„Kód je štvorciferné číslo,“ povedal vysoký blond mladík.
Na to mu odpovedalo dievča v oranžovom svetri: „Ja som včera započula, že jednotlivé cifry sú prvočísla.“
Z kúta sa ozval vystrašený bradatý chalan: „J-ja, ja som niekde zistil, že prvé dvojčíslie (prvá a druhá číslica napísané vedľa seba) je prvočíslo, druhé dvojčíslie (druhá a tretia číslica) je tiež prvočíslo a aj tretie dvojčíslie (tretia a štvrtá číslica) je prvočíslo.“
Aký je kód? Nájdite všetky možnosti.
Vzorové riešenie
Vieme, že:
- Kód je 4-ciferné číslo.
- Každá cifra tohto čísla je prvočíslo.
- Ak si označíme toto číslo abcd (teda a je 1. cifra , b je 2., c je 3. a d je 4. ), tak ab, bc a cd sú prvočísla
Takže sa pozrime na možné cifry. Keďže to musia byť prvočísla, tak
- 1- je deliteľné len sebou samým, teda to nie je prvočíslo,
- 2-prvočíslo,
- 3-prvočíslo,
- 4-2\cdot2,
- 5 -prvočíslo,
- 6-2\cdot3,
- 7-prvočíslo,
- 8-2\cdot2\cdot2,
- 9-3\cdot3.
Teda kód môže byť zložený len z cifier 2, 3, 5 a 7. Keďže ab, bc a cd musia byť prvočísla, tak nemôžu končiť 5 alebo 2. Boli by totiž násobkom 5 alebo 2.
Takže cifry b,c, ani d nemôžu byť 2 ani 5, takže budú 3 alebo 7. Ak by boli vedľa seba 33, alebo 77, vytvoria číslo deliteľné jedenástimi. Teda ak b je 3, c musí byť 7 a d musí byť 3. Čiže bcd=373. Naopak ak b je 7, c musí byť 3 a d musí byť 7. Čiže bcd=737.
Cifra a môže byť 2, 3, 5, 7. Prejdime si teda jednotlivé možnosti a pozrime sa ako bude môcť čislo pokračovať.
- Ak a = 2, b nemôže byť 7, lebo 27=3\cdot3\cdot3. Teda b môže byť len 3, keďže 23 je prvočíslo. Kód teda musí byť 2373.
- Ak a = 3, b nemôže byť 3, lebo 33=3\cdot11, teda b môže byť len 7. 37 je prvočíslo, teda kód bude 3737.
- Ak a = 5, b nemôže byť 7, lebo 57=3\cdot19, teda b môže byť len 3. 53 je prvočíslo, teda kód bude 5373.
- Ak a = 7, b nemôže byť 7, lebo 77=7\cdot11, teda b môže byť len 3. 73 je prvočíslo, teda kód musí byť 7373.
Prešli sme teda všetky možnosti a vyšli nám riešenia 2373, 3737, 5373, 7373, teda sú to jediné 4 riešenia.
Odpoveď: Kód bol jednou z možností 2373, 3737, 5373, 7373.
Komentár:
Definícia prvočísla v zadaní obsahovala výrok, z ktorého vychádzalo, že aj jednotka je prvočíslo. Ak ste s rátali s touto možnosťou, tak sme vám to uznali.