Kategórie:
5
6
7

Zadanie

„Kód je štvorciferné číslo,“ povedal vysoký blond mladík.
Na to mu odpovedalo dievča v oranžovom svetri: „Ja som včera započula, že jednotlivé cifry sú prvočísla.“
Z kúta sa ozval vystrašený bradatý chalan: „J-ja, ja som niekde zistil, že prvé dvojčíslie (prvá a druhá číslica napísané vedľa seba) je prvočíslo, druhé dvojčíslie (druhá a tretia číslica) je tiež prvočíslo a aj tretie dvojčíslie (tretia a štvrtá číslica) je prvočíslo.“
Aký je kód? Nájdite všetky možnosti.

Poznámka: prvočíslo je také číslo, ktoré je deliteľné iba jednotkou a sebou samým, napríklad 7 alebo 23.

Vzorové riešenie

Opravovali: JozefB, Matuspokorny, mati

Vieme, že:

  • Kód je 4​-ciferné číslo.
  • Každá cifra tohto čísla je prvočíslo.
  • Ak si označíme toto číslo  abcd​ (teda a je 1.​ cifra , b je 2., c​ je 3.​ a d​ je 4.​ ), tak ab​, bc​ a cd​ sú prvočísla

Takže sa pozrime na možné cifry. Keďže to musia byť prvočísla, tak

  • 1-​ je deliteľné len sebou samým, teda to nie je prvočíslo,
  • 2-​prvočíslo,
  • 3-​prvočíslo,
  • 4-2\cdot2,
  • 5 -​prvočíslo,
  • 6-2\cdot3,
  • 7-​prvočíslo,
  • 8-2\cdot2\cdot2,
  • 9-3\cdot3.

Teda kód môže byť zložený len z cifier 2, 3, 5 a 7. Keďže ab​, bc​ a cd​ musia byť prvočísla, tak nemôžu končiť 5​ alebo 2. Boli by totiž násobkom 5 alebo 2.

Takže cifry b​,c, ani d​ nemôžu byť 2​ ani 5, takže budú 3​ alebo 7​. Ak by boli vedľa seba 33​, alebo 77​, vytvoria číslo deliteľné jedenástimi. Teda ak b​ je 3​, c​ musí byť 7​ a d​ musí byť 3​. Čiže bcd​=373​. Naopak ak b​ je 7​, c​ musí byť 3​ a d​ musí byť 7​. Čiže bcd​=737​.

Cifra a môže byť 2, 3, 5, 7. Prejdime si teda jednotlivé možnosti a pozrime sa ako bude môcť čislo pokračovať.

  • Ak a = 2, b​ nemôže byť 7​, lebo 27=3\cdot3\cdot3. Teda b​ môže byť len 3, keďže 23​ je prvočíslo. Kód teda musí byť 2373​.
  • Ak a = 3, b​ nemôže byť 3​, lebo 33=3\cdot11​, teda b​ môže byť len 7. 37​ je prvočíslo, teda kód bude 3737​.
  • Ak a = 5, b​ nemôže byť 7​, lebo 57=3\cdot19​, teda b​ môže byť len 3. 53 je prvočíslo, teda kód bude 5373​.
  • Ak a = 7, b​ nemôže byť 7​, lebo 77=7\cdot11​, teda b môže byť len 3. 73​ je prvočíslo, teda kód musí byť 7373​.

Prešli sme teda všetky možnosti a vyšli nám riešenia 2373, 3737, 5373, 7373​, teda sú to jediné 4 riešenia.

Odpoveď:​ Kód bol jednou z možností 2373, 3737, 5373, 7373.

Komentár: 

Definícia prvočísla v zadaní obsahovala výrok, z ktorého vychádzalo, že aj jednotka je prvočíslo. Ak ste s rátali s touto možnosťou, tak sme vám to uznali.