8. príklad - Vzorové riešenie

Zamyslime sa najprv nad vpísanou kružnicou. Prvá vec, ktorá nám napadne, je, že jej stred I leží na priesečníku osí vnútorných uhlov trojuholníka. To napríklad znamená, že |\measuredangle ECI| = |\measuredangle DCI|. Ďalej máme v zadaní jej body dotyku, pričom najmä D a E sa spomínajú opakovane. Tu využijeme fakt o uhle medzi dotyčnicou a úsečkou spájajúcou bod dotyku so stredom. Takýto uhol je vždy pravý. Dostávame |\measuredangle CEI| = |\measuredangle CDI| = 90°.

Trojuholníky CEI,\, CDI majú rovnaké dva uhly. Pre zvyšné teda platí

|\measuredangle CIE| = 180° - |\measuredangle ECI| - |\measuredangle CEI| = 180° - |\measuredangle DCI| - |\measuredangle CDI| = |\measuredangle CID|,

čiže sa aj tie rovnajú. Teraz si môžeme všimnúť, že úsečka CI je pre oba trojuholníky spoločná. Potom sú trojuholníky CEI a CDI zhodné podľa vety USU.

V zadaní sa pýtame na bod G, o ktorom toho nevieme veľa. Vieme však niečo o priamke p, na ktorej bod G leží. Tá je rovnobežná s úsečkou DE. Vráťme sa späť k práve dokázanej zhodnosti trojuholníkov. Podľa nej majú CEI a CDI rovnaké strany, takže |CE| = |CD|. Trojuholník CDE je rovnoramenný so základňou DE, čo sa nám náramne hodí. Taktiež uhly \measuredangle CDE a \measuredangle CED sú rovnaké.

Naspäť k našej rovnobežke p. Uhly \measuredangle CED a \measuredangle CGB sú súhlasné a teda rovnako veľké. To isté platí aj pre uhly \measuredangle CDE a \measuredangle CBG. Trojuholník CGB má teda uhly pri základni GB rovnako veľké, takže je to rovnoramenný trojuholník.

Pozrime sa teraz na to, čo potrebujeme zistiť. Zaujíma nás veľkosť uhla \measuredangle EGI, ak poznáme \measuredangle ABC. Skvelé uvedomenie je, že ak poznáme veľkosť \measuredangle ABC, poznáme aj veľkosť \measuredangle DBI. Bod I leží na osiach vnútorných uhlov, takže tento uhol bude polovicou \measuredangle ABC. Stačí nám teda zistiť vzťah \measuredangle EGI a \measuredangle DBI.

Prejdime od uhlov k trojuholníkom. Konkrétne EGI a DBI. Mohli by byť zhodné? Už vieme, že uhly \measuredangle GEI a \measuredangle BDI sú oba pravé. Vieme tiež, že úsečky DI a EI sú polomery vpísanej kružnice, čiže majú rovnakú dĺžku. Na zhodnosť by nám stačila už len rovnosť |EG| = |DB|. Skúsime si vyjadriť ľavú stranu podľa toho, čo už vieme:

|EG| = |CG| - |CE| = |CB| - |CD| = |DB|.

Prostredná rovnosť platí vďaka |CG| = |CB| a |CE| = |CD| odvodeným vyššie. Trojuholníky EGI a DBI sú teda zhodné podľa vety SUS. Majú teda rovnaké uhly a špeciálne platí |\measuredangle EGI| = |\measuredangle DBI| = \frac{1}{2} \cdot |\measuredangle ABC|.

Odpoveď: Veľkosť uhla \measuredangle EGI je \dfrac{1}{2} \cdot |\measuredangle ABC|.

Komentár

Ako najťažší krok sa ukázalo odvodenie zhodnosti trojuholníkov CDI a CEI. Pritom sa dal úplne obísť a vypočítať priamo uhly \measuredangle CDE a \measuredangle CED pomocou pravých uhlov spomínaných vyššie a rovnoramennosti trojuholníka DIE. Najčastejšou chybou bolo využitie len jednej rovnosti uhlov zo spomínaných na začiatku vzoráku. K tomu sa okrem spoločnej CI pridali polomery DI a EI a použila sa veta SSU. Takáto veta o zhodnosti trojuholníkov však neexistuje.

Na obrázku máme trojuholníky ABC a A'BC. Tie majú dve rovnako dlhé strany - A,A' ležia na kružnici so stredom C a BC je spoločná. Majú tiež spoločný uhol |\measuredangle ABC| = |\measuredangle A'BC|. Zjavne však nie sú zhodné. Dve strany a uhol na dôkaz zhodnosti stačia len, ak je rovnaký uhol medzi danými dvoma stranami (SUS).