4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Anka si chce na zem nakresliť škôlku. Škôlka sa skladá z postupnosti jednotlivých štvorčekov alebo dvojíc štvorčekov, s hranou dĺžky 1 \, \text{dm}. Tie sú za sebou nakreslené tak, že sa dotýkajú hranami. Môže to vyzerať napríklad takto:

Nakoniec si teda Anka jednu takúto škôlku nakreslila. Dohromady musela nakresliť čiary dĺžky 26 \, \text{dm} (ak sa dva štvorčeky dotýkajú hranami, tú časť stačí nakresliť iba raz). Ako mohla jej škôlka vyzerať? Nájdite všetky možnosti.

Poznámka: Napríklad škôlka na obrázku je vytvorená z čiar, ktoré majú dokopy dĺžku 22 \, \text{dm}.

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux, Red

Poďme sa pozrieť na to, čo sa stane keď ku škôlke (jej najspodnejšia časť je v obrázku zaznačená sivou) pridáme ďalší jeden rad štvorčekov.

Z obrázku teraz vidíme, že:

  1. Ak škôlka končila jedným štvorčekom, tak pridanie jedného štvorčeka pridalo 3 \, \text{dm} čiary.
  2. Ak sa škôlka končila jedným štvorčekom, tak pridanie dvoch štvorčekov pridalo 6 \, \text{dm} čiary.
  3. Ak sa škôlka končila dvomi štvorčekami, tak pridanie jedného štvorčeka pridalo 3 \, \text{dm} čiary.
  4. Ak sa škôlka končila dvomi štvorčekmi, tak pridanie dvoch štvorčekov pridalo 5 \, \text{dm} čiary.
V úplne najvyššom rade škôlky môže byť jeden alebo dva štvorčeky. Ak je tam jeden štvorček, tak na jeho nakreslenie potrebujeme 4 \, \text{dm} a ak sú tam dva, tak potrebujeme 7 \, \text{dm}. Každú možnú škôlku vybudovať napájaním ďalších radov štvorčekov, teda úloha ktorú riešime sa zjednodušila na nasledovnú úlohu: Koľkými rôznymi spôsobmi vieme dostať súčet 26 \, \text{dm} ak prvé číslo v súčte je 4 \, \text{dm} alebo 7 \, \text{dm} a každé ďalšie číslo súčtu je 3 \, \text{dm}, 5 \, \text{dm} alebo 6 \, \text{dm}? Samozrejme 5 \, \text{dm} čiar v pôvodnej škôlke pridáme iba ak pridávame dvojštvorec za dvojštvorec, teda môže byť v súčte len po 6 \, \text{dm} alebo 7 \, \text{dm}.

Naríklad počet čiar v škôlke zo zadania vieme vypočítať ako súčet tvaru: 7 \, \text{dm} + 3 \, \text{dm}+3 \, \text{dm}+6 \, \text{dm}+3 \, \text{dm} = 22 \, \text{dm}.

Poďme teraz nájsť všetky možné šúčty do 26, ak súčet začína so 4. Zvyšok súčtu musí dať 22, teda v súčte musí byť 5 práve dvakrát. To preto, lebo 3, 6 sú násobky 3 a teda z nich vieme poskladať len medzi súčty 0,3,6,9,12,15,18,21,24,\dots a spomedzi týchto možných medzi súčtov iba pridanie +5+5 k 12 dá vo výsledku 22. 12 vieme poskladať ako 3+3+3+3, 3+3+6, 6+6. Máme teda tri možné skupiny čísel, z ktorých teoreticky vieme poskladať škôlku a majú súčet 26:

  1. 4,5,5,3,3,3,3 - z týchto čísel neposkladáme súčet nezodpovedajúci žiadnej škôlke, lebo 5 čiar nakreslíme iba ak dáme dvojicu štvorčekov za dvojicu štvorčekov.
  2. 4,5,5,3,3,6 - Máme iba jednu 6, teda obe 5 musia byť v súčte priamo za ňou. Z toho vieme poskladať tieto súčty ktoré zodpovedajú platným škôlkam:
    • 4+6+5+5+3+3
    • 4+3+6+5+5+3
    • 4+3+3+6+5+5
  3. 4,5,5,6,6 - tu je problém, že máme dve 6 ale iba jednu 4 za ktorú ich vieme dokresliť, teda z týchto súčtov nejde poskladať súčet zodpovedajúci platnej škôlke.

Druhým variantom je, že hľadáme všetky možné šúčty do 26 ktoré začínajú 7. Zvyšok súčtu musí dať 19, teda v súčte musí byť 5 práve dvakrát z podobného dôvodu ako predtým, teda že 19 vieme poskladať iba ako 9+5+5 ako násobok 3 plus nejaký počet 5. 9 vieme poskladať ako 3+3+3 alebo 3+6. Máme teda dve možné skupiny čísel, z ktorých teoreticky vieme poskladať škôlku a majú súčet 26:

  1. Z čísel 7,5,5,3,3,3 vieme poskladať súčet pre platnú škôlku. Všimneme si, že 5 vieme nakresliť iba za 7 alebo 5, teda musia byť hneď na začiatku a súčet zodpovedajúci škôlke vyzerá ako:
    • 7+5+5+3+3+3
  2. 7,5,5,3,6 - hlavná je pozícia 3. Hneď po nej musím totiž nakresliť 6. Vieme teda meniť iba pozície 3,5 z čoho jediné súčty zodpovedajúce skutočným škôlkam sú:
    • 7+3+6+5+5
    • 7+5+3+6+5
    • 7+5+5+3+6

Odpoveď: Anka mohla nakresliť jednu zo 7 rôznych škôlok, ktoré majú 26 čiar.

Komentár

Väčsina z vás išla na príklad nejakou formou vypisovania možností, ako mohla škôlka vyzerať. Netreba však zabudať, že aj keď skúšate, tak je potrebné zdôvodniť, že ste skúsili všetky rozumné možnosti. Videli sme však, že ste sa pri riešení snažili, tak nech vám to vydrží aj po vianociach :D.