3. príklad - Vzorové riešenie

Keď sa pozrieme na príklad, tak zadanie nám hovorí tvrdenia o priemeroch hmotností piatich šálok. Hmotnosti samotných šálok nepoznáme, tak väčšinou sa s neznámymi číselnými hodnotami dobre zachádza, keď si ich označíme písmenkami. Napríklad si teda šálky vieme označiť ako A, B, C, D a E, pričom šálka A je najťažšia a šálka E najľahšia.

Ďalej si v zadaní vieme všimnúť 4 informácie, tak poďme si ich postupne rozobrať:

1. Priemerná hmotnosť troch najťažších šálok je hmotnosťou jednej z nich.
   Keďže priemerná hmotnosť šálky A je A a pridaním dvoch ľahších šálok sa zníži, tak bude určite priemerná hmotnosť šálok A, B a C nižšia ako A. Podobne priemerná hmotnosť šálky C je C a pridaním šálky A a B sa zvýši. Preto ak je priemer 3 najväčších hodnôt váhou nejakej šálky, tak to bude práve B. Tiež je dobré si uvedomiť, že hmotnosti A a C musia byť od B rovnako vzdialené. Vieme to získať napríklad jednoduchým výpočtom. Aritmetický priemer troch hodnôt dostávame ako \dfrac{A+B+C}{3}. Táto hodnota sa má rovnať B, tak ich položme rovné a úpravamy postupne dostávame:

   A+B+C=3B \\ A+C=2B \\ A-B=B-C

   Toto nám však hovorí, že šálka A ja od šálky B vzdialená rovnako ako šálka C, čo sme presne chceli. Nazvyme si túto vzdialenosť X.



2. Priemerná hmotnosť štyroch najťažších šálok je jednou z nich.
   Priemerná hmotnosť sa pridaním šálky s podpriemernou hmotnosťou zníži. Takže priemer štyroch najťažších šálok musí byť nižší ako B. No a určite si ľahko domyslíte, že to nemôže byť hmotnosť najľahšej šálky D. Ostáva nám teda šálka C. Potom aritmetický priemer štyroch najťažších šálok je \dfrac{A+B+C+D}{4}. Dostávame teda:

   A+B+C+D=4C \\ A+B+D=3C \\ A-C + B - C=C-D

   V normálnej reči A-C značí o koľko je šálka A ťažšia od šálky C, to si podobne ako v jednotke môžeme zaznačiť na číselnú os. Rovnako si zaznačíme vzdialenosti bodov B, C a C, D. Vieme, že súčet prvých dvoch vzdialeností je rovnaký ako tá tretia, ktorú nazvyme Y. Potom si môžeme všimnúť, že Y = 3 X. Viď obrázok.

   

   Vzdialenosť A od C je 2X a vzdialenosť B od C je X, čo nám dáva už spomínanú rovnosť. Zároveň máme v obrázku zaznačenú aj informáciu, že rozdiel medzi druhou najťažšou a najľahšou šálkou je 16 gramov.

3. Priemerná hmotnosť piatich najťažších šálok je jednou z nich.
   Pridaním šálky E sa priemerná hmotnosť znovu zníži, teda ich priemerom nemôže byť šálka ťažšia ako predchádzajúci priemer, ktorý bol C. Rovnako však priemerom piatich šálok s rozličnou hmotnosťou nemôže byť šálka ktorá je z nich najľahšia. Ostáva nám teda jediná možnosť, ktorou je šálka D. Priemer všetkých piatich šálok vyrátame ako \dfrac{A+B+C+D+E}{5}. Z čoho dostávame rovnosť:

   \displaystyle\dfrac{A+B+C+D+E}{5}=D \\ A+B+C+D+E=5D \\ A+B+C+E=4D \\ A-D + B - D + C-D = D-E

   Opäť dostávame rovnosti súčtov vzdialeností, ktoré môžeme zaznačiť na číselnej ose, pričom vzdialenosť D-E si označme Z.

   

   Potom Z vieme dostať ako: X + X + 3X - vzdialenosť A od D, zväčšená o X + 3X - vzdialenosť B od D, no a to ešte musíme zväčšiť o vzdialenosť C a D, ktorá je 3X. Dostávame teda: Z = X + X + 3X + X + 3X + 3X = 12X.

   

   Z obrázku však rýchlo vidíme, že X + 3X = 16, preto X sú 4 gramy a vzdialenosť medzi A a E je X + X + 3X + 12X = 17X. Takže vzdialenosť A a E je 4 \cdot 17 = 68 gramov.

Komentár

Ahojte, príklad ste riešili veľmi pekne väčšinou pomocou priamočiarejšieho dosadenia a úprav rovníc. Zásadné problémy neboli, len si treba dať pozor, že tvrdenia, ktoré sa vám zdajú jasné, ako napríklad, že priemer troch najťažších šálok bude tá stredná, nemusia byť jasné všetkým a teda to treba poriadne zdôvodniť. Prajeme veľa radosti pri ďalšom riešení.