7. príklad - Vzorové riešenie

Zamyslime sa najprv nad prípadom, že počet guľôčok je štvorciferné číslo. Označme si ho ABCD, potom jeho ciferný súčet je A+B+C+D. Podľa zadania teda vieme, že

34 \cdot (A+B+C+D)=ABCD=1000A+100B+10C+D.

Po úprave dostaneme rovnicu 24C+33D=966A+66B. Vieme, že A, B, C a D sú cifry, a teda sú to celé čísla od 0 do 9 vrátane. A nemôže byť rovné 0, aby ABCD bolo štvorciferné číslo. Ľavá strana rovnice teda môže byť rovná najviac 513, ak C a D by boli rovné 9, avšak pravá strana môže byť najmenej 996 keď A je 1 a B je 0. Dve strany rovnice sa teda nikdy nebudú rovnať a počet guľôčok nie je štvorciferný.

Keď pridáme ďalšie cifry, pri A dostaneme väčšie čísla. (10000 - 34 pre päťciferné, 100000 - 34 pre šesťciferné, ...) Pravú stranu rovnice teda zväčšíme. Keďže len 1 a 10 sú menšie ako 34, ľavá strana sa nezmení. Z toho vieme, že rovnosť nenastane ani pre čísla s viac ako 4 ciframi.

Pozrime sa na jedno- a dvojciferné čísla. Počet guľôčok je deliteľný 34, keďže je to 34-krát jeho ciferný súčet (ktorý je celé číslo). Jedno- a dvojciferné násobky 34 sú 0, 34 a 68. Z nich spĺňa podmienku zo zadania iba 0, keďže 34 \cdot 0 = 0. Všetky ostatné riešenia sú teda trojciferné.

Trojciferný počet guľôčok si označíme ako ABC, kde A nie je 0, aby ABC bolo trojciferné. Podobne ako na začiatku vieme, že

ABC=100A+10B+C=34 \cdot (A+B+C).

Po úprave dostaneme rovnicu 66A=24B+33C, ktorú vieme ďalej vydeliť 3. Dostaneme teda 22A=8B{+}11C, po úprave 22A{-}11C=8B. Vidíme, že ľavá strana je deliteľná 11. To znamená, že aj 8B musí byť deliteľné 11. B je cifra a teda je menšie ako 10. Jediné vhodné B je teda 0. Dosadíme do rovnice a dostaneme 22A=11C, teda 2A=C. Pre každú cifru A menšiu ako 5 dostaneme príslušné C a tým aj štyri ďalšie riešenia úlohy, konkrétne 102, 204, 306, 408. Pokiaľ by A bolo väčšie ako 4, tak C je aspoň 10 a nebola by to cifra. Toto sú teda všetky trojciferné riešenia.

Našli sme všetky riešenia pre jedno-, dvoj- a trojciferné počty guľôčok. Pre viac ciferné sme ukázali, že žiadne možnosti neexistujú. To znamená, že sme našli všetky riešenia.

Odpoveď: Guľôčok mohlo byť 0, 102, 204, 306 alebo 408.