5. príklad - Vzorové riešenie

Začneme tým, že si vypíšeme podmienky deliteľnosti a označíme si naše číslo ABCDEFG, pričom každé písmeno je jedna cifra od 0 do 6.

Deliteľnosť 2 - posledná cifra musí byť párna. Deliteľné 2 sú dvojčíslia AB a FG, tak vieme, že B a G musia byť párne.

Deliteľnosť 3 - súčet cifier v čísle je deliteľný 3. Zadanie nám hovorí, že prvé a posledné trojčíslie je deliteľné 3. Preto aj ciferný súčet ABC a EFG je deliteľný 3.

Deliteľnosť 4 - posledné dvojčíslie je deliteľné 4, a teda posledná cifra je párna. ABCD je deliteľné 4, takže vieme, že D je párne.

Deliteľnosť 5 - posledná čislica je buď 5, alebo 0 ABCDE a CDEFG sú deliteľné 5, takže jedno z čísel E a G bude 5, a druhé 0. Vieme ale, že G musí byť párne, a tak G musí byť 0. Na E tak zostáva iba 5.

Deliteľnosť 6 - číslo je deliteľné 6, ak je deliteľné číslami 2 a 3 naraz. ABCDEF je deliteľné 6, takže F bude párne. BCDEFG je na tom podobne. Ciferné súčty týchto dvoch čísel budú deliteľné 3.

Po týchto začiatočných zisteniach si môžeme doplniť cifry E a G ciframi 5 a 0, naše číslo je teda v tvare ABCD5F0.

Z vyššie uvedenej deliteľnosti vieme, že ciferný súčet EFG je deliteľný 3. Keď si za E a G dosadíme 5 a 0, ciferný súčet je tak zatiaľ 0 + 5 = 5. Na to, aby tento ciferný súčet bol deliteľný 3, môžeme doplniť buď 1, alebo 4. Avšak z podmienok vyššie vieme, že F je párne. Vieme tak, že F bude 4.

Máme tak číslo ABCD540:
B je 2. cifra a D je 4. Vieme teda, že budú párne. Jediné ostávajúce párne čifry sú 2 a 6. Takže si budú v dákom poradí zodpovedať. Ďalej vieme, že ciferný súčet čísla BCD540 bude deliteľný 3, lebo číslo je deliteľné 6. B a D sú 2 a 6, nevieme však, v akom poradí. To však ciferný súčet nijak nezmení.

5 + 4 + 0 + 6 + 2 = 17

Na dosadenie na cifru C nám zostávajú už len dve čísla (3 a 1):
Iba keď dosadíme 1, tak bude ciferný súčet (17+1=18) deliteľný 3. Preto C bude 1. Jediné nepárne číslo, ktoré sme nepoužili je 3, a teda A=3.

Nakoniec máme otázku, ktoré z čísel B a D je 2 a ktoré 6:
Vieme, že ciferný súčet ABC je deliteľný 3. Vieme, že 3 + 1 = 4. Ktoré číslo z 2 a 6 vieme prirátať ku 4, aby nám vzniklo číslo deliteľné 3? 4 + 2 = 6. Pre 6 by sme dostali 4 + 6 = 10, a to deliteľné 3 nie je.
B = 2, a na D teda ostáva už iba 6.

ABCDEFG = 3216540

Pozor, pri takýchto príkladoch treba spraviť aj skúšku správnosti. My sme totiž predpokladali, že nejaké číslo, ktoré spĺňa všetky podmienky v zadaní, naozaj existuje. Avšak kontrolovali sme platnosť jednotlivých cifier na ich miestach iba pre niektoré podmienky, nie však všetky. Tak musíme skúšku spraviť.

3216540

Deliteľnosť 2: 32, je deliteľné 2. 40, je deliteľné 2.

Deliteľnosť 3: 321, je deliteľné 3. 540, je deliteľné 3.

Deliteľnosť 4: 3216, je deliteľné 4. 6540, je deliteľné 4.

Deliteľnosť 5: 32165, je deliteľné 5. 16540 je deliteľné 5.

Deliteľnosť 6: 321654, je deliteľné 6. 216540 je deliteľné 6.

Odpoveď:

Číslo 3216540 je teda platným riešením.

Komentár

S týmto príkladom nebol príliš problém. Avšak, ako sme aj mnohým písali, naozaj kľúčová tu bola skúška správnosti.

Dôvod je ten, že v priebehu riešenia len postupne obmedzujeme možnosti, aká ešte cifra môže byť na ktorom mieste. Pekným príkladom je umiestnenie 0 na posledné miesto, tak argument prečo tam musí byť nula ide takto: Pozrime, zadanie hovorí posledné 5-číslie je deliteľné 5 a teda táto podmienka vylučuje všetky cifry okrem 5 a 0. Ďalej v zadaní vidíme, že posledné dvojčíslie je párne, táto podmienka nám vylúči všetky nepárne čísla na poslednej pozícii. Ostáva nám iba 0, tak tam bude 0, správne? Nie úplne, ešte sme sa nepozreli na ostatné podmienky, či nám niektorá nevylúči aj 0. To že po zvážení 2 podmienok vyhovuje len 0 neznamená, že nutne bude vyhovovať po zvážení všetkých. To treba tiež overiť a rozumný spôsob je spraviť na konci skúšku správnosti, či nám tá 3216540 bude naozaj sedieť. Zatiaľ iba vieme, že iné číslo nebude môcť vyhovovať.

Za chýbajúcu skúšku sme však body nestrhávali.

Bodovanie

Body sme strhávali hlavne za nedostatočne vysvetlený postup, inak to takmer všetci riešitelia mali dobre. Mnoho z vás ale často "preskakuje" kroky, ktoré potom nevysvetlí. Na to si ale treba dávať pozor.