5. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na trati premáva 5 Tuk-Tukov v pravidelných intervaloch medzi stanicami A a B obojsmerne. Tuk-Tuky idú celý čas konštantnou rýchlosťou. V stanici potom Tuk-Tuk nejaký čas počká (v oboch rovnaký) a ide tou istou cestou naspäť. O 15:00 sme vyrazili zo stanice A. O 15:03 sme sa stretli s Tuk-Tukom, ktoré išlo oproti. O 15:08 sme sa stretli s ďalším, potom sme už žiadne nestretli a dorazili do cieľovej stanice. Ako často chodia Tuk-Tuky a ako dlho čakajú na staniciach?

Vzorové riešenie

Opravovali: mati, šálka

Pozrime sa najprv na časový rozdiel stretnutí dvoch Tuk-tukov, ktoré sme stretli po ceste do stanice B. 15{:}03-15{:}08 je 5 minút. Lenže my im ideme naproti rovnakou rýchlosťou a teda časový rozdiel medzi týmito dvoma Tuk-tukmi bude 5 \cdot 2=10 minút.

Keďže všetky Tuk-tuky chodia v pravidelných intervaloch a konštantnou rýchlosťou, tak vieme povedať, že všetky po sebe idúce Tuk-tuky budú mať medzi sebou 10 minútové časové rozdiely (aj s čakacou dobou na staniciach).

Teraz si označíme Tuk-tuky:

  • K = Tuk-tuk, ktorým sme vyrazili zo stanice A o 15{:}00.
  • L = Tuk-tuk, ktorý sme stretli o 15{:}03.
  • M = Tuk-tuk, ktorý sme stretli o 15{:}08.
  • N a O = Tuk-tuky ktoré sme nestretli a nevieme kde sú

Vieme, že Tuk-tuky L a M sú po sebe idúce (keďže to sú jediné Tuk-tuky, ktoré sme stretli po ceste do stanice B). Tuk-tuky N a O vieme potom dať len na 2 možné miesta a to medzi Tuk-tuky K a L alebo K a M. Možnosti na umiestnenie Tuk-tukov N a O sú teda:

  1. Oba sú medzi Tuk-tukmi K a M.
  2. Jeden z nich je medzi Tuk-tukmi K a M a druhý je medzi Tuk-tukmi K a L.
  3. Oba sú medzi Tuk-tukmi K a L.

Prvá možnosť:

Potom sú Tuk-tuky K a L po sebe idúce. Už vieme, že časový rozdiel medzi nimi musí byť 10 minút. Ak by Tuk-tuk L nečakal na stanici A, tak by bol za Tuk-tukom K len 3\cdot2=6 minút. A teda v tomto prípade musia Tuk-tuky čakať na staniciach 10-6=4 minúty. Lenže ak by čakali na staniciach 4 minúty, tak by sme stretli po ceste do stanice B aj Tuk-tuky N a O, lebo čakacia doba je kratšia ako časový rozdiel medzi Tuk-tukmi a teda oba by museli byť už na ceste späť do stanice A. Táto možnosť teda nevychádza.

Druhá možnosť:

V tomto prípade by bola čakacia doba 4+10=14 minút, pretože medzi Tuk-tukmi K a L je jeden Tuk-tuk a teda musíme pripočítať časový rozdiel za Tuk-tukom K. Tuk-tuk medzi Tuk-tukmi K a M by sme nestretli, pretože čakacia doba je dlhšia ako časový rozdiel medzi Tuk-tukmi, a teda by ešte nestihol vyraziť zo stanice B pred naším príchodom. Tuk-tuky L aj M by sme stretli, pretože rozdiel medzi nimi a naším Tuk-tukom je z oboch strán väčší ako 14 (čakacia doba na staniciach) a teda musia byť oba na ceste medzi stanicami. Táto možnosť sedí so zadaním.

Tretia možnosť:

V tomto prípade by čakacia doba musela byť 4+2\cdot10 (časový rozdiel) =24 minút. To by sme potom nemohli stretnúť Tuk-tuky L a M po ceste do stanice B, pretože náš časový rozdiel medzi nimi je menší ako čakacia doba. Táto možnosť nevychádza.

Odpoveď: Zistili sme, že Tuk-tuky chodia každých 10 minút a na staniciach čakajú 14 minút.