1. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5

Zadanie

Každý deň ľudia posielajú na 142 námorných míľ vzdialený ostrov tri lode, ktoré sa pomaly plavia smerom k ostrovu. Každá loď sa každé ráno preplaví jednu námornú míľu smerom ku ostrovu (lode prejdú aj prvý deň plavby jednu námornú míľu). Dračica je ako všetky draky teritoriálna a ostrova sa nevzdá tak ľahko. Každý večer vysiela ohnivú guľu k jednej z lodí, čím ju potopí. Akonáhle sa čo i len jedna loď dostane k brehu, tak môžeme povedať, že sa úspešne preplavila. Koľko najviac dní dokáže dračica takto vzdorovať, kým sa jedna z lodí priplaví až k brehu ostrova?

Vzorové riešenie

Opravovali: miro

Ako prvé si musíme uvedomiť ako chce dračica potápať lode, aby čo najdlhšie vydržala. To je jednoduché - vždy chce potopiť jednu z lodí, ktoré sú k nej najbližšie, lebo tie sa najskôr dostanú na ostrov.

Keďže vieme, že lode sa každé ráno posunú o 1 míľu a večer je 1 loď zostrelená, tak si vieme predstaviť ako to bude vyzerať (zobrazené sú stavy na konci dňa, preškrtnutá loď je večer potopená dračicou):

1. míľa 2. míľa 3. míľa
1. deň
2. deň
3. deň

Z tejto tabuľky vidíme, že každý 3. deň je zničený rad lodí (lode ktoré boli vyslané v ten istý deň) a teda vtedy sa vzdialenosť od ostrova nezmení. Keďže sa toto bude každé 3 dni opakovať, tak vieme si z toho vyjadriť za aký čas prejdeme 1 míľu: \frac{3}{2} (za 3 dni prejdeme 2 míle).

Teraz keď vieme ako dlho trvá prejsť 1 míľu, tak vieme z toho vypočítať koľko to má trvať pre 142 míľ: 142\cdot\frac{3}{2}=213. Vypočítali sme, že to bude trvať 213 dní, ale tu si treba dať pozor! Z tabuľky vidno aj fakt, že 2 míle prejdeme aj za 2 dni (treba si spomenúť, že každý 3. deň sa vziadelnosť medzi loďami a ostrovom nemení). My sme vypočítali iba za koľko prejdú celé rady lodí.

Logickou úvahou teraz vieme prísť na to, že v poslednom dni nášho posledného 3-dňového cyklu (kedy sa ponorí celý rad lodí) sa tiež nezmenila vzdialenosť oproti predposlednému dňu a teda tento nadbytočný deň môžeme odstrániť: 213 - 1 = 212.

Taktiež si to môžeme skúsiť aj vypočítať - koľko krát sa zopakovalo ponorenie celého radu lodí: 213\div3=71 (213 dní trvalo kým sa celé rady lodí dostali na ostrov a 3 dni trvá, kým sa jeden celý rad lodí potopí).

Teraz si zistíme koľko míľ prejdeme za 70 opakovaní: 70\cdot2=140 a čas koľko to trvalo: 70\cdot3=210. A teda na 211. deň to bude vyzeraž ako v 1. deň - na 141. míľu sa ráno dostanú 3 lode, večer dračica 70 potopí a ostanú 2. Následne 212. deň sa ráno dostanú 2 lode na 142. míľu... Teraz sme vlastne skončili, lebo sa lode práve dostali na ostrov.

Odpoveď: Dračica dokáže vzdorovať maximálne 212 dní.

Komentár

Veľa z Vás zabudlo na konci riešenia na to, že 2 míle prejdeme aj za 2 dni a na tom ste zbytočne stratili body.