3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Pán zo stánku, Klaus a Obor bývajú na tej istej strane ulice. Pán zo stánku zistil, že keď ide na návštevu k Obrovi, spraví pri tom o 360 krokov viac ako keď ide ku Klausovi. Obor na ceste ku Klausovi spraví zas o 120 krokov menej ako keď ide k pánovi zo stánku. Klaus raz išiel najprv k Obrovi, od neho k pánovi zo stánku a naspäť k sebe domov a spravil pri tom 600 krokov. Vieme ešte, že Klausove kroky sú 2-krát dlhšie ako kroky pána zo stánku. Zistite, ktorý z nich býva uprostred a koľko krokov spraví Obor, keď ide na návštevu k pánovi zo stánku.

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, Livka, maria

Ako prvé sa pozrieme na prvé dve informácie, ktoré nám zadanie dáva. Z toho, že pán zo stánku to má k Obrovi ďalej, ako ku Klausovi vieme, že Obor nemôže bývať medzi ním a Klausom, teda v strede. Podobne vieme, že Obor to má ku Klausovi bližšie ako k pánovi zo stánku, a preto ani pán zo stánku nemôže bývať medzi ostatnými dvoma. Jediný z trojice, ktorý teda môže bývať v strede, je Klaus.

Po zapísaní si číselných údajov teda vieme, že pán zo stánku to má medzi Klausom a Obrom ešte 360 svojich krokov, a Obor to má medzi Klausom a pánom zo stánku ešte 120 svojich krokov. Ešte poznáme počet krokov, ktorý prešiel Klaus, keď išiel k Obrovi, potom k pánovi zo stánku a od neho naspäť domov. Vzdialenosti ktoré prešiel si zapíšeme tak, že vzdialenosť medzi dvoma domami značíme začiatočnými písmenami majiteľov, a malé písmeno značí krok danej osoby.

600k = KO+OP+PK

Vieme však, že pri tom ako išiel od Obra k pánovi zo stánku prešiel okolo svojho domu, keďže je medzi nimi a teda si vieme túto vzdialenosť rozdeliť na dve:

\hspace{2cm} 600k = KO+OK+KP+PK=2OK+2KP \hspace{1cm} /:2 \\300k = OK + KP

Teda Klaus vlastne prešiel celú ulicu 600 krokmi dvakrát, a teda raz ju prejde 300 krokmi. A tieto vzdialenosti v rámci ulice síce poznáme v iných krokoch ako Klausových, ale napriek tomu si ich môžeme doplniť:

300k = 360p + 120o

Vieme ešte, že Klausove kroky sú dvakrát dlhšie ako kroky pána zo stánku, a preto na vzdialenosti OK by ich Klaus spravil dvakrát menej. Aj to si doplníme do našej rovnice:

\hspace{2cm} 300k = 180k + 120o \hspace{1cm} /-180k \\120k = 120o

Keď odčítame z oboch strán 180 Klausových krokov, teda to čo prejde na vzdialenosti OK, tak zisťujeme že na vzdialenosti KP urobí aj Obor aj Klaus 120 krokov, a teda ich kroky sú rovnaké. Ak teda chceme zistiť, koľko krokov urobí Obor medzi ním a pánom zo stánku, bude to rovnako ako ich spraví Klaus. A o Klausovi už vieme, že celú ulicu, na ktorej koncoch bývajú Obor a pán zo stánku prejde 300 krokmi.

Odpoveď: Klaus býva uprostred, a Obor spraví 300 krokov, keď ide na návštevu k pánovi zo stánku.