3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Pokyny Neznámeho boli nasledovné. Michard si mal napísať na papier dve celé čísla od 1 po 9 vrátane a následne sa mal s nimi takto zahrať:
  1. Zvoliť si jedno číslo z dvojice a prirátať k nemu 1.
  2. Vynásobiť výsledok piatimi.
  3. Znova prirátať 1.
  4. Výsledok zdvojnásobiť.
  5. Odčítať 1.
  6. Prirátať druhé číslo, ktoré si napísal na papier.
  7. Prirátať 2.
  8. Výsledok opäť zdvojnásobiť.
  9. Odčítať 8.
  10. Vydeliť dvomi a povedať Neznámemu výsledok.
Neznámy mu na to odpovedal, že vie aké dve čísla si Michard napísal na papier, avšak jeho pamäť nie je dostatočná na to, aby si pamätal všetky možné výsledky. Ako to mohol Neznámy urobiť?

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, Red, matejUuu

Michard si na papier napísal dve čísla od 1 po 9 vrátane. Označme ich A a B.

Potom s nimi spravil týchto 10 operácií:

  1. Zvolil si jedno číslo z dvojice (číslo A) a prirátal k nemu 1. Dostávame medzivýsledok:
    A+1
  2. Vynásobil výsledok piatimi. Dostávame:
    5A+5
  3. Znova prirátal 1:
    5A+6
  4. Výsledok zdvojnásobil:
    10A+12
  5. Odčítal 1:
    10A+11
  6. Prirátal druhé číslo, ktoré si napísal na papier (číslo B):
    10A+B+11
  7. Prirátal 2:
    10A+B+13
  8. Výsledok opäť zdvojnásobil:
    20A+2B+26
  9. Odčítal 8:
    20A+2B+18
  10. Vydelil dvomi a povedal Neznámemu výsledok:
    10A+B+9

Michard povie neznámemu výsledok, ktorý si označíme V=10A+B+9. Keď od obidvoch strán rovnice odčítame 9 dostávame: V−9=10A+B.

Vieme, že obe čísla, A aj B, sú od 1 po 9 vrátane takže 10A bude dvojcifrnéčíslo končiace cifrou 0 a zároveň B bude jednociferné číslo. Teda 10A+B sa bude rovnať dvojcifernému číslu tvoreného ciframi A,B.

Teda keď Neznámy odčítal od výsledku 9 dostal dvojciferné číslo, ktorého prvá cifra (na mieste desiatok) bola A a druhá cifra (na mieste jednotiek) bola B. Takto vedel vždy zistiť aké dve čísla si na začiatku Michard vybral.