Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Bludisko sa skladá zo 121 miestností usporiadaných v mriežke 11\times 11, ktoré sú pospájané chodbami. Miestnosti majú tvar kruhu s dierou v strede (takže sa dá chodiť iba po obvode) a jediný povolený smer pohybu je proti smeru hodinových ručičiek. Celý okruh po obvode miestnosti má dĺžku 4 metre. Z každej miestnosti vedú chodby do susedných miestností (vpravo, vľavo, hore a dole) a všetky majú dĺžku 10 metrov. Lychondražej začína v miestnosti v pravom dolnom rohu bludiska, pred vstupom do jednej z chodieb. Odtiaľ sa musí dostať do ľavého horného rohu, pričom po chodbách môže chodiť iba smerom doľava a hore, a potom sa zase musí vrátiť do pravého dolného rohu, pričom po chodbách môže chodiť iba smerom doprava a dole. V žiadnej miestnosti naraz neprejde viac ako 4 metre (keď odíde do inej miestnosti a vráti sa, môže zase prejsť až 4 metre). Aké možné vzdialenosti pritom môže celkovo nachodiť?

Vzorové riešenie

Opravovali: maria, mati, šošo

Najskôr sa chce Lychondražej dostať z pravého dolného rohu do ľavého horného rohu bludiska. Pri tom sa môže presúvať iba smerom na západ alebo smerom na sever. Práve 10 chodieb teda musí prejsť smerom na západ a práve 10 chodieb smerom na sever. Celkovo teda musí prejsť 20 chodbami.

Ak prejde 20 chodbami, musí prechádzať cez 21 miestností, s tým, že v začiatočnej miestnosti (vpravo dole) sa nehýbe. Tým pádom prejde teda cez 19 miestností, v ktorých sa bude otáčať a skončí v miestnosti v ľavom hornom rohu bludiska. V tejto miestnosti sa následne otočí a pokračuje cestou späť do pravého dolného rohu bludiska. Cestou späť prejde 10 chodieb na východ a 10 chodieb na juh. Opäť teda prejde 20 chodbami a 19 miestnosťami (ak nepočítame miestnosť vľavo hore). Potom príde do miestnosti v pravom dolnom rohu, kde sa už neotáča.

Celkovú dĺžku cesty tým pádom vypočítame ako súčet dĺžok chodieb, ktorými prechádzal, to je \left(20+20\right)\cdot10 = 400, plus súčet otáčaní sa v miestnostiach. Lychondražej môže vyjsť 2 východmi zo začiatočnej miestnosti: buď na západ – ten si označme ako východ A, alebo na sever – ten si označme ako východ B. Vchody do miestnosti v ľavom hornom rohu bludiska si označme C, D (ako na obrázku).

Uvedomme si, že ak je v priebehu cesty Lychondražej otočený na západ a otočí sa doprava, zmení smer zo západu na sever. Ak je otočený na sever, už sa nemôže otočiť doprava smerom na východ (cestou tam môže chodiť len na západ alebo na sever). Podobne ak je otočený na sever, môže sa otočiť doľava na západ. Ak je otočený na západ, už sa nemôže otočiť doľava na juh.

Otočenie doprava je proti smeru hodinových ručičiek, prejde preto \frac{1}{4} kruhu, čiže 1 meter. Otočenie doľava je v smere hodinových ručičiek, musí ísť teda opačným smerom. Tým pádom prejde \frac{3}{4} kruhu, čiže 3 metre. Ak pôjde rovno, prejde \frac{2}{4} kruhu, teda 2 metre.

Ak sa Lychondražej otočí doprava a potom otočí doľava \left(1 + 3\right), prejde rovnakú dĺžku ako keby išiel 2-krát rovno \left(2 + 2\right). Na 1 miestnosť nám potom pripadajú 2 metre. Nezáleží teda na tom, koľkokrát pôjde doprava a koľkokrát pôjde doľava, ale záleží nám na tom, o koľko krát viac sa v priebehu cesty otočí doprava ako doľava.

Ak Lychondražej vyjde z pravej dolnej miestnosti východom A a vojde do ľavej hornej miestnosti vchodom C, vychádzať bude smerom na západ a vchádzať smerom na sever. Preto sa bude musieť otočiť doprava o 1 krát viac ako sa otočí doľava. Na 18 miestností budú pripadať 2 metre a zostane nám jedna otočka doprava, ktorá má 1 meter. Dokopy 18\cdot2+1 = 37 metrov.

Ak vyjde východom A a vojde vchodom D, tak sa otočí rovnako veľa krát doprava ako doľava. Na všetkých 19 miestností budú pripadať 2 metre. Dokopy 19 \cdot2 = 38 metrov.

Takisto ak vyjde východom B a vojde vchodom C, potom sa otočí rovnako veľa krát doprava ako doľava. Takisto prejde dokopy 19 \cdot 2 = 38 metrov.

Ak vyjde východom B a vojde vchodom D, pri tejto ceste sa bude musieť otočiť doľava o 1 krát viac ako sa otočí doprava. Na 18 miestností budú pripadať 2 metre a zostane nám jedna otočka doľava, ktorá má 3 metre. Dokopy 18\cdot2+3 = 39 metrov.

Východ Vchod Otočenie po ceste Celková dĺžka úseku
A C doľava - 1 \, \text{m} 18\cdot2+1=37 \, \text{m}
A D rovno - 2 \, \text{m} 18\cdot2+2=38 \, \text{m}
B C rovno - 2 \, \text{m} 18\cdot2+2=38 \, \text{m}
B D doprava - 3 \, \text{m} 18\cdot2+3=39 \, \text{m}

Poďme sa pozrieť ako bude vyzerať Lychondražejovo blúdenie v ľavom hornom rohu. Keď príde do ľavého horného rohu z cesty C môže sa buď otočiť o 4 metre a ísť naspäť cestou C, alebo sa otočiť o 1 meter a ísť naspäť cestou D.

Ak príde do ľavého horného rohu z cesty D môže sa buď otočiť o 4 metre a ísť naspäť cestou D, alebo sa otočiť o 3 metere a ísť naspäť cestou C. (celkovo vyjde narovnako či rátame, že môže prejsť aj 0 metrov a rovno sa vrátiť späť alebo nie)

Už nám iba zostáva sa pozrieť na cestu späť. Pri nej si môžeme celú plochu otočiť o 180 stupňov a chodiť iba tak ako počas cesty smerom tam, potom sa na cestu z východu C do A vieme pozerať ako na pôvodnú cestu z B do D, na cestu z C do B ako na cestu z B do C. Podobne cesta z D do A zodpovedá pôvodnej ceste z A do D a nakoniec cesta z D do B je taká istá ako cesta z A do C.

Východ Vchod Otočenie po ceste Celková dĺžka úseku
C A doprava - 3 \, \text{m} 18\cdot2+3=39 \, \text{m}
C B rovno - 2 \, \text{m} 18\cdot2+2=38 \, \text{m}
D A rovno - 2 \, \text{m} 18\cdot2+2=38 \, \text{m}
D B doľava - 1 \, \text{m} 18\cdot2+3=37 \, \text{m}

Poďme sa pozrieť na všetky úseky cesty, ktorých dĺžky postupne sčítame, čím dostaneme celkovú vzdialenosť prejdenú Lychondražejom. Nezabudnime však na vzdialenosť 400 metrov, ktorú Lychondražej nachodil v chodbách. Tú rovno zarátame do konečného súčtu, keďže pre každú dvojicu vchodu a východu je rovnaká.

Cesta tam Otočenie Cesta späť Súčet
A \rightarrow C = 37 \, \text{m} C \rightarrow C = 4 \, \text{m} C \rightarrow A = 18\cdot2+3 = 39 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow B = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 79 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow D = 1 \, \text{m} D \rightarrow A = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 76 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow B = 18\cdot2+1 = 37 \, \text{m} 75 + 400 \, \text{m}
A \rightarrow D = 38 \, \text{m} D \rightarrow C = 3 \, \text{m} C \rightarrow A = 18\cdot2+3 = 39 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow B = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 79 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow D = 4 \, \text{m} D \rightarrow A = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow B = 18\cdot2+1 = 37 \, \text{m} 79 + 400 \, \text{m}
B \rightarrow C = 38 \, \text{m} C \rightarrow C = 4 \, \text{m} C \rightarrow A = 18\cdot2+3 = 39 \, \text{m} 81 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow B = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow D = 1 \, \text{m} D \rightarrow A = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 77 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow B = 18\cdot2+1 = 37 \, \text{m} 76 + 400 \, \text{m}
B \rightarrow D = 39 \, \text{m} D \rightarrow C = 3 \, \text{m} C \rightarrow A = 18\cdot2+3 = 39 \, \text{m} 81 + 400 \, \text{m}
C \rightarrow B = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow D = 4 \, \text{m} D \rightarrow A = 19\cdot2 = 38 \, \text{m} 81 + 400 \, \text{m}
D \rightarrow B = 18\cdot2+1 = 37 \, \text{m} 80 + 400 \, \text{m}

Keď sa pozrieme do tabuľky, vidíme práve 6 rozdielnych súčtov. Konkrétne 475 \, \text{m},\, 476 \, \text{m},\, 477 \, \text{m},\, 479 \, \text{m},\, 480 \, \text{m} a 481 \, \text{m} čo sú všetky možné dĺžky Lychondražovej cesty.

Komentár
Ahojte, príklad bol na štvrtú úlohu vcelku náročný. Väčšina z vás sa s ním odvážne popasovala a často si aj všimla niektoré dôležité pozorovania, napriek tomu vaším riešeniam chýbalo lepšie odôvodnenie, poprípade vám ušla nejaká cesta. Hlavne si treba uvedomiť, že možných ciest z pravého dolného rohu do ľavého je veľa. Ak nejakú nájdete, treba zistiť a ukázať, že žiadna cesta nemá inú dĺžku, pri tom si poprípade viete uvedomiť, že ste si dáku dĺžku nevšimli.
Ako vedúci sme trochu zazmätkovali a v zadaní nebolo napísané, ako funguje pohyb v pravej dolnej miestnosti. Keď sa nám stanú takéto veci, často to riešime neskôr v komentároch, tak je cool, keď sa na ne občas pozriete. Nech potom nemáte zbytočnú prácu. Poprípade ak sú nejasnosti, pokojne sa pýtajte.