7. príklad - Vzorové riešenie

Ciferný súčin čísla zrátame ako súčin jeho cifier. Napríklad ciferný súčin čísla 5327 je 5\cdot3\cdot2\cdot7 = 210. Môžme si všimnúť, že ak by sme nahradili poslednú cifru za cifru 9, tak by sme dostali číslo s ciferným súčinom 5\cdot3\cdot2\cdot9 = 270. Z tohto vidíme, že ak zmeníme iba poslednú cifru, tak súčin ostane veľmi podobný, tým sa myslí, že stále má tvar 30\cdot D kde D je posledná cifra.

Ak si štvorciferné číslo zapíšeme ako \overline{ABCD}, tak súčet ciferných súčinov čísel začínajúcich ciframi \overline{ABC} je: A\cdot B\cdot C\cdot0 + A\cdot B\cdot C\cdot1 + A\cdot B\cdot C\cdot2 +\dots + A\cdot B\cdot C\cdot9 = A\cdot B\cdot C\cdot45. Teraz si všimneme, že ak by sme vypísali všetky trojciferné čísla \overline{ABC} a zistili že súčet ich ciferných súčinov je K, tak na to aby sme zistili súčet ciferných súčinov štvorciferných čísel nám stačí vynásobiť číslo K číslom 45. Dá sa to takto jednoducho, lebo každé štvorciferné číslo začína nejakým trojciferným a z každého trojciferného čísla vieme vyrobiť štvorciferné pridaním štvrtej cifry.

Rovnaký trik vieme použiť na zistenie súčtu ciferných súčinov trojciferných čísel - ak tento súčet pre dvojciferné čísla je L, tak potom K = 45 \cdot L. Trik vieme ešte raz zopakovať na jedno a dvoj-ciferné čísla, čím dostaneme, že ak súčet ciferných súčinov jednociferných čísel je M, tak dvojciferných je L=45\cdot M. Samozrejme súčet ciferných súčinov jednociferných čísel vieme zistiť, lebo to je súčet 1+2+\dots + 9 = 45. Takto dostaneme, že súčet ciferných súčinov štvorciferných čísel je 45\cdot 45 \cdot 45\cdot 45 = 4100625.