6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

A, B, C a X sú cifry. \overline{AB}, \overline{BA}, \overline{BC}, \overline{CB}, \overline{CA} a \overline{AC} označujú dvojciferné čísla tvorené danými ciframi. Všetci vypočítali, že \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} + X = 201. Pán Peniažkový si ale uvedomil, že to počítali nesprávne, keďže istý nemenovaný radca čítal rytiersky leták nesprávne. Okrem toho bolo treba objednať ešte 6 koní navyše. Aký je výsledok správneho výpočtu \overline{BA} + \overline{CB} + \overline{AC} + 7 \cdot X?

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, merlin, mišo

Pozrime sa najprv na súčty \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} a \overline{BA} + \overline{CB} + \overline{AC}. Každé dvojciferné číslo v tvare \overline{AB} vieme zapísať ako 10A + B. Rozpíšme si teda vyššie napísané výrazy:

\begin{aligned}\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} &= 10A + B + 10B + C + 10C + A = 11(A + B + C) \\ \overline{BA} + \overline{CB} + \overline{AC} &= 10B + A + 10C + B + 10A + C = 11(A + B + C) \end{aligned}

Dosaďme si to teraz do nesprávneho výpočtu zo zadania:

\begin{aligned}&11(A+B+C) + X = 201 \\ &11(A+B+C) = 201 - X \end{aligned}

Ľavá strana rovnice je deliteľná 11, teda aj pravá strana musí byť. Keďže 201 dáva po delení 11 zvyšok 3 , tak aj X musí dávať zvyšok 3. Zo zadania vieme, že X je cifra, takže musí byť práve 3 (iné jednociferné číslo po delení 11 nedáva zvyšok 3). Potom platí, že 11(A+B+C) je rovné 198. Toto môžeme dosadiť do správneho výpočtu:

11(A+B+C) + 7X = 198 + 21 = 219

Odpoveď: Výsledok správneho výpočtu je teda 219.