6. príklad - Vzorové riešenie

Ankin displej je zložený z malých štvorčekov a má obdĺžnikový tvar. Štvorčeky dotýkajúce sa okraju sú v dvoch (krajných) riadkoch a v dvoch (krajných) stĺpcoch. Z toho je jasné, že displej nemôže mať jeden, dva, ani tri riadky, lebo riadkov, ktoré sú celé na kraji by bolo viac ako všetkých ostatných. Podobný problém ale nastáva aj pri štyroch riadkoch. Síce máme na kraji iba dva riadky, ale ostatné dva by museli byť celé vnútri, aby sme dosiahli vyrovnaný počet. Aj stredné riadky majú štvorčeky na kraji, takže obdĺžnik musí mať aspoň päť riadkov. Obdĺžnik môžeme “otočiť”, teda vymeniť jeho riadky a stĺpce, takže aj stĺpcov musí byť aspoň päť.

Ďalej máme viac možností ako postupovať, ukážeme si dve rôzne riešenia.

1. riešenie

Budeme sa pozerať na štvorcové veľkosti displeja a následne z nich odvádzať vyhovujúce rozmery displeja pridávaním stĺpcov. Tak postupne prejdeme všetky možné rozmery, postupne podľa dĺžky kratšej strany.

Vyššie sme si ukázali, že počet štvorčekov v riadkoch a stĺpcoch musí byť aspoň 5, preto budeme vychádzať zo štvorcov, ktoré majú stranu dlhú aspoň 5. Označíme si túto veľkosť strany A, teda pridaním jedného stĺpca pridáme stĺpec s A štvorčekmi. Tým sa k štvorčekom na okraji pridajú 2 krajné štvorčeky a do vnútra displeja zvyšné, teda A-2 štvorčekov. Keďže A je aspoň 5, A-2 bude aspoň 3, teda do vnútra pridáme aspoň 3 štvorčeky. Pridávaním stĺpca do vnútra pridáme vždy viac štvorčekov ako na okraj.

Prvý štvorec, do ktorého budeme pridávať stĺpce je štvorec so stranou 5. Tento štvorec má na okraji 16 štvorčekov a vo vnútri 9. Teda potrebujeme pridávaním stĺpcov pridať o (16-9=)7 štvorčekov vo vnútri viac ako na okraji. Pridaním jedného stĺpca pridáme na okraj 2 a dovnútra (5-2=)3 štvorčeky. Každý stĺpec tak zmení rozdiel o 1, a preto stĺpcov musíme pridať 7. Teda displej môže mať rozmery 5\cdot12.
Pridaním ďalších stĺpcov sa rozdiel štvorčekov vo vnútri a na okraji bude aj naďalej zvyšovať o 1, teda počet štvorčekov vo vnútri bude už vždy väčší. Žiadny ďalší rozmer s kratšou stranou dĺžky 5 nedostaneme.

Podobne ako pri štvorci so stranou 5 budeme postupovať aj pri štvorci s veľkosťou strany 6. Na začiatku je na okraji 20 štvorčekov a vo vnútri 16. Potrebujeme teda pridať o (20-16=)4 štvorčeky vo vnútri viac. Každý stĺpec pridá 2 na okraji a (6-2=)4 štvorčeky vo vnútri, teda zníži rozdiel o 2. Preto potrebujeme pridať 2 stĺpce na vyrovnanie počtov. Tak vznikne displej s rozmermi 6\cdot8. Rovnako ako pri možnosti 5\cdot12, pridávať ďalšie stĺpce nemá zmysel.

Pri štvorci so stranou 7 bude na začiatku vo vnútri 25 štvorčekov, na okraji 24. Tu nastáva problém, lebo ak máme vo vnútri viac štvorčekov ako na okraji, potrebovali by sme pridať stĺpec, ktorý pridáva viac okrajových štvorčekov. Vieme však, že to nie je možné.

Teraz už ľahko ukážeme, že pre štvorce s väčšou stranou ako 7 neexistuje žiadna ďalšia možnosť. Keďže pridávaný počet štvorčekov vo vnútri je väčší ako počet štvorčekov na okraji, stačí ukázať, že pre väčšie štvorce je na začiatku na okraji menej štvorčekov ako vo vnútri. Vieme, že pre štvorec 7\cdot7 to platí, a že to tak zostane, aj keď pridáme jeden riadok a jeden stĺpec. Tým dostávame štvorec 8\cdot8, pre ktorý to platí tiež, a takto môžeme pridať ľubovoľný počet riadkov a stĺpcov, a ukázať tým, že pre všetky väčšie štvorce rovno začíname s väčším počtom vnútorných štvorčekov.

Dospeli sme teda k tomu, že rozmery displeja môžu byť 5\cdot12 a 6\cdot8. Keďže nezáleží na tom, ktorý rozmer je ktorý, displej môže byť aj rozmerov 12\cdot5 a 8\cdot6.

2. riešenie

Príklad môžeme vyriešiť aj tak, že vyjadríme pomocou rozmerov displeja počty štvorčekov na okraji a počet štvorčekov vo vnútri displeja.

Okraju telefónu sa dotýkajú štvorčeky v dvoch krajných riadkoch a stĺpcoch. V riadku je B štvorčekov a v stĺpci A štvorčekov, teda dokopy by ich malo byť 2\cdot A+2\cdot B. Štyri rohové štvorčeky obdĺžnika sa ale nachádzajú aj v krajnom riadku aj v krajnom stĺpci, teda sme ich započítali dvakrát a musíme odpočítať 4 štvorčeky. Okraju sa dotýka 2\cdot A+2\cdot B-4 štvorčekov.

Vnútro displeja telefónu je tiež obdĺžnik, ale so stranami A-2 a B-2, keďže odoberieme dva krajné riadky a stĺpce. Teda tento obdĺžnik sa skladá z (A-2)\cdot(B-2) štvorčekov.

Zo zadania má platiť, že štvorčekov v týchto častiach je rovnako veľa. Máme:

2 \cdot A+2\cdot B-4 = (A-2)\cdot (B-2)

-4 = A\cdot B-4\cdot A-4\cdot B+4 \hspace{0.6cm} /+12 \\ 8 = A\cdot B-4\cdot A-4\cdot B+16

8 = A\cdot (B-4)-4\cdot (B-4)

8 = (A-4)\cdot (B-4)

Keďže A aj B musia byť prirodzené čísla, tak A-4 a B-4 budú celé čísla. Na začiatku sme ukázali, že 5\leq A,B, teda A-4 a B-4 budú kladné. Súčin 8 vieme dosiahnuť pomocou prirodzených čísel iba ako 1\cdot 8 a 2\cdot4. Pozrime sa na to, ako potom budú vyzerať A a B.

Teda sme dospeli k tomu, že rozmery displeja môžu byť 5\cdot12, 6\cdot8, 8\cdot6, 12\cdot5. Žiadna iná možnosť nie je, keďže súčin 8 nevieme dosiahnuť inak. Ešte môžeme overiť riešenia skúškou správnosti.

Odpoveď: Rozmery displeja mobilu AnkyP môžu byť 5\cdot12, 6\cdot 8, 8\cdot 6 alebo 12\cdot5.

Komentár

Veľa z vás si vyjadrilo B pomocou A a dospelo k niečo ako B=\displaystyle \frac{4\cdot A-8}{A-4} a potom ste dosadzovali hodnoty za A. Tu ale nemôžme skúšať nekonečne veľa možností pre A, a preto musíme vysvetliť, že od nejak veľkého A už nenájdeme žiadne riešenia. Väčšinou ste sa snažili dokázať, že všetky ďalšie hodnoty budú pomaly klesať ku 4, alebo ste sa snažili vysvetliť, že ďalšie riešenia budú opačné resp. nejak symetrické k tým, čo ste už dostali. V týchto prípadoch je veľmi náročné kompletne to dokázať, preto sme žiaľ pri tomto postupe strhávali najviac bodov. Tejto časti sa dalo vyhnúť napríklad tak, že použijeme dôkaz pre štvorec 7\cdot7 ako je na konci prvého riešenia.