4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

AnkaP má niekoľko rovnakých malých kociek. Pospájala ich všetky stenami tak, že dokopy tvorili veľkú kocku bez prázdneho miesta vo vnútri. Potom vzala trblietavú farbu a namaľovala ňou niektoré zo stien veľkej kocky. Keď veľkú kocku rozobrala, zistila, že práve 45 z malých kociek na sebe nemá žiadnu farbu. Koľko je malých kociek a ktoré steny veľkej kocky AnkaP namaľovala?

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, JozefMican, mati, soso

V riešení slovom “kocočka” budeme nazývať najmenšie kocky, z ktorých AnkaP zložila väčší útvar. V riešení slovom “kocka” budeme označovať útvar v tvare kocky zložený z malých kocočiek. Nakoniec kocočku nazveme “zafarbenou”, pokiaľ je aspoň na jednej z jej stien farba.

Chceme zistiť, z koľkých kocočiek bude kocka zložená a ako ju AnkaP zafarbila. Môžeme si všimnúť, že počet malých kocočiek závisí na dĺžke hrany kocky. Ich počet vieme vypočítať ako A \cdot A \cdot A, pričom A je veľkosť tejto hrany. Namiesto počtu kocočiek teda vieme hľadať veľkosť hrany kocky. Postupne ukážeme, že jediná veľkosť hrany, ktorá nám môže vyhovovať je 5 kocočiek a jediné ofarbenie spĺňajúce zadanie je to na obrázku.

  1. Kocky s hranou dĺžky 1 - 3 určite nevyhovujú

    2. Kocky so stranou veľkosti 1, 2 a 3 sú zložené postupne z 1, 8 a 27 malých kocočiek. Keďže kocočiek je už pred zafarbovaním menej ako 45, tak po zafarbovaní ich určite nebude 45.

  2. Kocky s hranou dĺžky 6 a viac určite nevyhovujú

    3. Kocočky, ktorých žiadna stena nie je súčasťou steny veľkej kocky, nevieme zafarbiť. Pokiaľ je takýchto kocočiek viac ako 45, tak určite sa nám nepodarí mať 45 nezafarbených kocočiek. Keď sa pozrieme na kocku so stranou dĺžky 6, tak v jej vnútri vieme nájsť menšiu kocku s rozmermi 4 \times 4 \times 4. Skladá sa teda zo 64 kocočiek, to je viac ako 45. V každej väčšej kocke vieme tiež nájsť kocku s rovnakými rozmermi (vieme tam nájsť aj väčšiu kocku, no to nepotrebujeme), takže pre ne tiež nebudeme vedieť nájsť riešenie.

  3. Kocka s hranou dĺžky 4 nevyhovuje

    4. Kocka so stranou dĺžky 4, je zložená zo 64 malých kocočiek, takže aspoň 1 stenu AnkaP zafarbila. Ostáva nám teda 64-16 = 48 nezafarbených kocočiek. Musíme zafarbiť ešte 48-45=3. To však nie je možné. Ak zafarbíme stenu susednú, tak zafarbíme 16-4=12 (4 kocočky patria 2 stenám) zatiaľ nezafarbených kocočiek. Ak stenu oproti stojacu, tak ich je dokonca 16. Či tak alebo tak, zafarbili sme ich viac ako 3. Ďalšie zafarbovanie by nám už počet zafarbených kocočiek neznížilo.

  4. Vieme nájsť práve jedno vyhovujúce riešenie pre kocku s hranou dĺžky 5

    5. Kocka s hranou dĺžky 5, sa skladá zo 125 kocočiek. 27 z nich zafarbiť nevieme (sú v jej vnútri). Potrebujeme ešte získať 45-27=18 nezafarbených kocočiek. Ak stena sama nie je zafarbená, tak jej súčasťou je minimálne 9 nezafarbených kocočiek. Ostatných 16 byť zafarbených môže, lebo ich zdieľa so susednými stenami.

    Keby bolo 3 a viac stien veľkej kocky nezafarbených, tak získame aspoň 3*9=27, nezafarbených kocočiek, čo je viac ako 18.

    Ak sú nezafarbené 2 steny, tak sa môžu stať 2 veci, buď spolu susedia, alebo sú oproti sebe. Keď máme 2 nezafarbené steny, ktoré spolu susedia, tak na každej z nich je 9 nezafarbených kocočiek a ešte k tomu 3 kocočky na spoločnej hrane. To nám dáva 21 kocočiek, čo nie je 18. Ak sú tie steny oproti sebe, tak máme na každej z nich 9 kocočiek. Spolu ich je 18, čo nám dáva jedno riešenie.

    Ak je 1 nezafarbená stena, tak nutne susedí so 4 zafarbenými stenami a teda z nej získavame 9 nezafarbených kocočiek, čo je málo.

Konečné ofarbenie vyzerá nejako takto.