Odporúčaný článok

Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok

×

10. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

AnkaP navštívila nekonečno lekárov, ktorí sú každý označený iným celým číslom (pre každé celé číslo existuje práve jeden lekár ním označený). Každý lekár ohodnotil leukoplast a podľa toho, ako dobre fungoval, mu dal nejaké reálne číslo ako skóre. AnkaP si všimla, že pre ľubovoľnú dvojicu čísel m a n platí, že skóre od lekára číslo m+n je súčinom skóre lekára m a lekára n. Tiež si všimla, že lekár číslo 8 dal leukoplastu skóre 6561. Pre každého lekára určte, ako ohodnotil leukoplast vzhľadom na svoje číslo. Nájdite všetky možnosti a overte, či vyhovujú Ankiným pozorovaniam.

Vzorové riešenie

Opravovali: Prutky, ula

Zo zadania vyplýva, že hodnotenie leukoplastu jednotlivými lekármi si môžeme označiť ako zobrazenie z celých čísel \mathbb{Z} do reálnych \mathbb{R} prepisom h(n). Zároveň musí platiť:

h(m+n)=h(m) \cdot h(n)

Ako prvé si ustanovíme, že lekár 1 (n=1) dal leukoplastu hodnotenie x, čo znamená h(1)=x. Následne sa pozrieme na lekára označeného číslom 2. Môžeme si všimnúť že číslo 2 sa dá rozložiť na 1 + 1 a teda aj hodnotenie lekára 2 sa musí rovnať x \cdot x, lebo keď máme hodnotenie lekára m + n = 2 a za m aj n si dosadíme 1, tak to vieme prepísať ako h(1+1)=h(1) \cdot h(1)=x \cdot x. Z toho plynie, že lekár 2 dal leukoplastu hodnotenie x^2, inak povedané h(2)=x^2.

Pozrieme sa na lekára 3. Číslo 3 si rozložíme na 2 + 1 a teda jeho hodnotenie bude hodnotenie lekára 2 vynásobené hodnotením lekára 1, takže to bude x^2 \cdot x čo sa dá zapísať ako x^{2+1} = x^3 . Samozrejme, že pozorný riešiteľ si všimne, že nikde v zadaní sa nevylúčilo označenie lekára záporným celým číslom, v takom prípade by sme napríklad súčet 3 mohli dostať aj sčítaním 5 a -2. Pre tento okamih to ale opomenieme a neskôr si overíme, či nájdené riešenie pokryje aj tento prípad.

Teraz si môžeme všimnúť, že h(n) bude x-násobok h(n - 1), lebo ( n - 1) + 1 =n a teda pre hodnotenia bude platiť, že h(n)=h(n - 1) \cdot h(1)=h(n - 1) \cdot x. Z toho vyplíva, že z hodnotenia lekára číslo 1 si vieme vyrátať hodnotenie akéhokoľvek n-tého lekára ako x^n, lebo (n - 1) sa dá ďalej postupne zmenšovať po jednotkách až kým nám neostane nič iné než len jednotky. Takýmto postupom dostaneme:

\begin{aligned} h(n)&=h((((1+1)+1)...)+1)\\ &=(((h(1) \cdot h(1)) \cdot h(1))...) \cdot h(1)\\ &=(((x \cdot x) \cdot x) ...) \cdot x\\ &=x^n \end{aligned}

V tomto momente sa avšak musíme ujistiť, či to bude fungovať pre súčet každého m a n a nielen n a 1. Zoberme si teda, že chceme vyrátať hodnotenie lekára m + n. Vieme že hodnotenie lekára m bude x^m a hodnotenie lekára n bude x^n. Z toho nám vyplýva že hodnotenie lekára m + n bude x^m \cdot x^n = x^{m+n}. Teraz sa pozrime aké hodnotenie by mal dať lekár m + n leukoplastu. Všimneme si, že to je tiež x^{m+n}. To znamená, že to bude splnené pre akékoľvek kombinácie m a n, dokonca aj záporné.

Neostáva nám teda nič iné, len si vyrátať čomu sa bude rovnať naše x v tomto príklade. Vieme, že ôsmy lekár dal hodnotenie 6561 a jeho hodnotenie vieme zapísať ako h(8)=6561=x^8, takže vyjadrením x dostávame:

x=\sqrt[8]{6561} = \pm 3

Odpoveď: Úloha má dve riešenia, hodnotenie lekára n sa bude rovnať \left( \pm 3\right)^n.

Komentár
Mnohí z vás si neuvedomili, že párna odmocnina z kladného čísla má aj záporné riešenie a niektorí ste našli obe správne riešenia, ale nedokázali ste, že budú fungovať naozaj pre všetky kombinácie m a n.