7. príklad - Vzorové riešenie

Osi strán p, q su kolmé na strany trojuholníka BC, CA a zároveň aj na seba, teda strany trojuholníka BC, CA sú na seba kolmé. Trojuholník ABC je teda pravouhlý.

Vieme, že v pravouhlom trojuholníku, sa osi strán pretínajú v strede prepony. Toto vieme ľahko dokázať cez Talesovu kružnicu; to je opísaná kružnica pravouhlého trojuholníka: Bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka, je stredom opísanej kružnice daného trojuholníka, a stred Talesovej kružnice leží v strede prepony. Tento bod si označíme S.

Bod S je teda stredom strany AB a bod C je vrchol trojuholníka. Ťažnica je úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany, a teda úsečka SC je ťažnica.  Tá je navyše delená ťažiskom K v pomere 2:1, teda \left | KC \right | je dva krát dlhšia ako \left | SK \right |. Ťažisko a stred strany máme a teda vieme zistiť kde je vrchol C.

Bod C leží na polpriamke SK , a je vzdialený 3 \cdot \left | SK \right | od bodu S. S, a K sú dané, takže bod C stačí jednoducho skonštruovať.

Priamky p, q sú osi strán BC, CA, teda prechádzajú stredom strán BC, CA a sú na ňe kolmé. To znamená že body A, B, vieme jednoducho skonštruovať. A to tak že spravíme osovú súmernosť bodu C podľa priamok p, q.

Z prvého riešenia použijeme fakt, že výsledný trojuholník je pravouhlý. Pozrime sa teraz ako ďaleko je ťažisko od osi odvesny v pravouhlom trojuholníku.

Vzdialenosť bodu od priamky určujeme ako dĺžku kolmice z daného bodu na priamku. Označme postupne päty kolmice z ťažiska na strany BC, AB ako L, M. Ďalej nech D,E sú postupne stredy strán BC, AB. Vďaka rovnobežnosti vieme povedať, že vzdialenosť ťažiska K od priamok p, q je rovnaká ako dĺžky |DL|, |EM|.

Teraz opäť použijeme, že bod S, ktorí je priesečníkom priamok p, q leží v strede strany AC. Keďže BS je ťažnica a K je ťažisko, tak platí |BK| = 2|KS|. Keď sa pozrieme na kolmý priemet úsečky BS na stranu AB, tak dostaneme úsečku BE. Bod K sa zobrazí na M. Takýto kolmý priemet zachováva pomery dĺžok (vyplýva z podobnosti) a teda platí |BM| = 2|ME|.

Analogicky |BL| = 2|LD|. To znamená, že vieme zostrojiť strany AB, BC tak že nakreslíme rovnobežky s priamkami p, q do dvojnásobnej vzdialenosti od bodu K tak aby sa bod K nachádzal vnútri oboch rovnobežkových pásov. Nakoniec ukončíme riešenie rovnako, iba popreklápame bod B cez priamky p, q aby sme dostali vrcholy A,C.

Viacerí z vás nevychádzali zo zadania, toto je v riešeniach veľmi dôležité, lebo sa viete veľmi ľahko popliesť, keď začnete ako sa vám zachce.

Viacerým z vás sa tiež podarilo dokazovať niečo čo ste vôbec nemali. Napríklad ste povedali, že viete narysovať trojuholník a potom nájsť jeho ťažisko. Toto po vás však zadanie nechcelo. V zadaní sa písalo, že ťažisko je už narysované a treba okolo neho narysovať taký trojuholník, aby bod K bol naozaj jeho ťažisko. Nabudúce si prečítajte zadanie aj desaťkrát; hlavne, aby ste sa nepomýlili.