8. príklad - Vzorové riešenie

Majme nejakých 39 po sebe idúcich čísel. Z pomedzi nich si nájdeme prvé ktoré končí nulou a označíme ho x. Bude to najneskôr desiate číslo, čo znamená, že od tohto čísla až po posledné číslo máme aspoň 30 čísel.

Teraz nás budú zaujímať len čísla x až x+29. Môžme si všimnúť, že týchto 30 čísel vieme rozdeliť na 3 desatice v rámci ktorých sa mení len posledná cifra. To znamená, že ciferné súčty v každej tejto desatici tvoria 10 po sebe idúcich čísel. No a aby žiadne z týchto čísel nebolo deliteľné 11, musí mať prvé z nich zvyšok 1, druhé zvyšok 2 atď.

Takže už vieme, že jediná možnosť kedy nie je ani jedno z čisel deliteľné 11, je keď ciferné súčty x, x+10 aj x+20 majú zvyšok 1 po delení 11.

Môže toto nastať? Pozrime sa ako sa menia cifry medzi x, x+10 a x+20. Rozdelíme si to na 2 prípady:

1. Ak číslo x nemá na mieste desiatok 9, čísla x a x+10 sa budú líšiť len v tejto cifre a ich ciferné súčty sa budú líšiť o 1. To znamená, že nemôžu mať oba zvyšok 1.
2. Ak číslo x má na mieste desiatok 9, číslo x+10 tam bude mať 0 a teda to isté bude platiť o číslach x+10 a x+20.

To znamená, že niektoré z nich nebude mať zvyšok 1 a teda nejaké z našich 39 čísel bude mať ciferný súčet deliteľný 11.

Poznámka: ak by sme brali len 38 po sebe idúcich, čísel tvrdenie by neplatilo. Protipríklad sú čísla 999981 až 1000018.