3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Divá sviňa vošla z ľavého konca do chodby, v ktorej sa nachádzalo niekoľko krabíc s jedlom – prvá tretina krabíc zľava obsahovala po 8 porciách, nasledujúca tretina krabíc po 7 a posledná tretina po 5. Najprv sviňa vyjedla krabicu s 8 porciami, ktorá stála úplne na začiatku radu, a potom postupovala ďalej a vyjedala bez vynechania jednu krabicu za druhou. Než sa prejedla a odpadla, vyjedla 25 krabíc, každú doplna. Keď ju stroskotanci našli, všimli si, že ak by začala z druhého konca a vyjedla tiež 25 krabíc, zjedla by o 33 porcií menej. Koľko krabíc bolo na začiatku v chodbe?

Vzorové riešenie

Opravovali: Oliver, gabrielaS, kuboW, martinK
Riešenie rovnicou

Označme si počet krabíc 3x, čiže v každej máme x krabíc svojho druhu. Sviňa začala jesť z ľava a nakoľko nevieme, aká je hodnota x, nevieme ani, či jedla iba z prvej tretiny, z prvej a druhej tretiny alebo zo všetkých troch tretín. Tu nastáva teda delenie na tri prípady.

Treba si uvedomiť, že ak jedla z druhej tretiny, prvú musela zjesť celú a podobne ak jedla z tretej tretiny, prvú a druhú musela zjesť celú.

  • Ak jedla iba z prvej tretiny, obrátený prípad by bol, že jedla iba z tretej tretiny. Rozdiel týchto prípadov má byť 33 porcií. Vytvorme rovnicu:
    25 \cdot 8=25 \cdot 5+33
    25 \cdot 3=33
    75=33 - čo nie je pravda a táto možnosť nie je riešením
  • Ak jedla iba z prvej a druhej tretiny, obrátený prípad by bol, že jedla iba z tretej a druhej tretiny. Rozdiel týchto prípadov má byť 33 porcií. Opäť vytvorme rovnicu:
    x \cdot 8+(25-x) \cdot 7=x \cdot 5+(25-x) \cdot 7+33
    x \cdot 8=x \cdot 5+33
    x \cdot 3=33
    x=11 - ak by bolo ale 11 krabíc v každej tretine, znamenalo by to, že by svini stačilo zjesť 22 krabíc a dostala by sa k tretej tretine. Nakoľko zjedla 25 krabíc, jedla by zo všetkých troch tretín, čo nie je zahrnuté v tejto možnosti. Teda to nie je riešením úlohy.
  • Ak jedla zo všetkých tretín, obrátený prípad by bol, že jedla stále zo všetkých tretín. Rozdiel týchto prípadov má byť 33 porcií. Vytvorme rovnicu:
    x\cdot8+x\cdot7+(25-2\cdot x)\cdot5=x\cdot5+x\cdot7+(25-2\cdot x)\cdot8+33
    x\cdot8+(25-2\cdot x)\cdot 5=x\cdot5+(25-2\cdot x)\cdot 8+33
    x\cdot8+125-10\cdot x=x\cdot 5+200-16\cdot x+33
    125-2\cdot x=233-11\cdot x
    9\cdot x=108
    x=12 - po 24 krabiciach by sa sviňa dostala k tretej tretine a jednu krabicu by zjedla z tretej tretiny, čo táto možnosť zahŕňa. 12 krabíc v jednej tretine a teda 36 krabíc na chodbe je správne riešenie.
Riešenie skúšaním

Pri skúšaní musíme jednoducho vyskúšať všetky možnosti počtu krabíc. Môžeme (a aj musíme) si to ohranič zdola aj zhora.

Ak by bolo v každej tretine 8 a menej krabíc, spolu by ich nebolo ani 25 a sviňa by vtedy len veľmi ťažko zjedla obsah prvých 25 krabíc z ľava.

Ak by bolo v každej tretine 25 a viac krabíc, rozdiel by sme už nevideli, lebo sviňa by tak-či-tak zjedla krabice len z prvej tretiny.

Bodovanie
  • -2b ak ste nenapísali všetky rovnice, no iba tú, z ktorej výjde riešenie (ak ste nevysvetlili, prečo iné riešania byť nemôžu)
  • -1b ak ste pri skúšaní nevysvetlili, prečo začínate tam, kde začínate
  • -2b ak ste pri skúšaní nevysvetlili, prečo končíte tam, kde končíte
  • -2b ak ste pri skúšaní iným spôsobom nevysvetlili všetky možnosti
  • 1b ak ste napísali iba výsledok
  • za rôzne individuálne chyby (spomenuté vo vašom riešení) ste mohli stretiť ďalšie body