Vzorové riešenia 1. kola

​Hodnotu {A}​ vieme zistiť napríklad tak, že zistíme postupne ostatné písmenká. Preto sa poďme pozrieť na to, čo si vieme všimnúť o {A}​, {B}​ a {C}​:

1. V prvom rade vieme, že ani {A}​, ani {C}​, ani {D}​ nemôžu byť nula, keďže dvojciferné číslo nemôže začínať nulou.
2. Z prvého sčítacieho príkladu vidíme, že v stĺpci jednotiek platí {B}+{A}={A}​. Z toho nám vyplýva, že {B} = 0, nakoľko vidíme, že {B}​ nemá vplyv na výsledok.
3. Teraz sa pozrieme na odčítací príklad, kde vidíme, že v stĺpci jednotiek je 0-{A} ={A}​. Keďže vieme, že {A}​ je viac ako nula, tak si prepíšeme 0-{A} ={A}​ na 10-{A} ={A}​, lebo pri odčítavaní platí, že pokiaľ je menšiteľ väčší ako menšenec, používame prechod cez desiatky. Z príkladu 10-{A} ={A}​ nám vyplýva, že {A}=5​.
4. Na miesto {A}​ a {B}​ si vieme do odčitavacieho príkladu napísať 5​ a 0​ a dopočítať tak hodnotu {C}​. 50-{C}5=5​, z čoho vyplýva, že {C}=4​.
5. Na miesta {A}​, {B}​ a {C}​ si vieme do sčítacieho príkladu dosadiť 5​, 0​ a 4​ a dopočítať hodnotu D​. 50+45=95​, tým pádom {D}=9​.

Postupne sme sa dopracovali k tomu, že za písmenkom {D}​ sa skrýva hodnota 5​.

V tomto príklade sa dalo vcelku dobre začať tak, že sme jednoducho skúšali umiestňovať kachličky na jednotlivé políčka. Bolo však dôležité si v tom nájsť systém, aby bolo jasné, že iná kachlička, alebo tá istá kachlička otočená iným smerom na konkrétnom políčku nemôže byť.

Na začiatok si pre väčšiu prehľadnosť očíslujme kachličky 1, 2 a 3. Ďalej si označme jednotlivé políčka A až E.

Dalo sa začať rôzne, ale väčšina z vás začínala políčkom E, tak spravme tak aj my. Políčko E má jednu červenú hranu, kachlička 1 tam teda nemôže byť. Ak by sme tam umiestnili kachličku 3, aby červená hrana kachličky susedila s červenou hranou plochy, tak políčko D by malo 2 zelené hrany, ktoré susedia. Žiadna z dostupných kachličiek nemá 2 susediace zelené hrany, to vylučuje aj tretiu kachličku. Z rovnakého dôvodu vyhovuje iba jedno z otočení kachličky číslo 2.​

Väčšina pokračovala na políčko D, my sa však pozrieme čo sa dalo vymyslieť na políčkach A a B. Všimnime si, že na žiadnej z kachličiek 1, 2 ani 3 nie je oproti modrej hrane, hrana zelená. Preto hrana medzi políčkami A a B, musí byť červená. Naozaj? Áno, ak by bola hrana zelená, tak nemáme akú kachličku dať na políčko B. Ak by bola modrá, tak nemáme akú kachličku dať na políčko A.

Teraz na políčko B vieme dať už iba kachličku 2 otočenú ako na obrázku.

Podobne políčko D je tiež už určené jednoznačne.

Všimnime si, že na políčku A musí byť kachlička 2. Ak by tam bola kachlička 3, tak na políčku C by susedili 2 modré hrany a teda by sme ho nemali ako vyplniť, lebo taká kachlička neexistuje. Umiestnime  na políčko A správne orientovanú kachličku A.

Posledné políčko už je jednoznačne určené, čím sa dostávame k nášmu výsledku. Zároveň, vždy sme umiestnili jedinú možnú kachličku jediným spôsobom ktorým to išlo, takže to je naozaj jediné riešenie.

Odpoveď:

Komentár

Riešenia ste mali poväčšinou pekné a dobre. Hlavný problém bolo, že ide o prvé kolo a niektorí ste nám odovzdali iba výsledný obrázok, poprípade ste úplne nepopísali aké kroky robíte. V prípade, že sa vám to stalo a nedostali ste moc veľa bodov tak to nevzdávajte :). Ak sa vám podarilo získať správny výsledok, tak Riešky sú určite pre vás a ste schopní ich riešiť, hlavný problém, ktorý sa dá relatívne rýchlo odstrániť je, že zatiaľ neviete čo presne by sme od vás chceli aby ste napísali. Takže vaše riešenie by tým nakoľko vysvetlujete čo presne robíte malo pripomínať riešenie vzorové. Lepšiu predstavu tiež viete získať v časti Ako na Riešky.

Pozrime sa na to, čo dostaneme, keď sčítame súčet na všetkých stranách obdĺžnika (súčet na hornej strane + súčet na dolnej + súčet na pravej + súčet na ľavej). Takto každé číslo započítame raz okrem rohových, ktoré započítame dvakrát (do obidvoch strán, kam patrí).

Dokopy teda súčet strán = každé číslo započítané raz + všetky rohové políčka ešte raz.

Súčet všetkých čísel je vždy rovnaký a nemení sa (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105​). Preto sa musíme snažiť mať čo najväčšie čísla v rohoch. Potom bude súčet na všetkých stranách najväčší.

Skúsme teda dať do rohov štyri najväčšie čísla - 14, 13, 12 a 11. Potom by bol súčet na všetkých štyroch stranách 1 + 2 + 3+4+5+6+7+8+9+10+2 \cdot 11 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 13 + 2 \cdot 14 = 155. Toto číslo ale má byť súčet štyroch rovnakých čísel (súčtov na štyroch stranách) a teda sa musí dať vydeliť štyrmi bezo zvyšku. Keď to ale skúsime, zistíme, že sa to nedá. Tak musíme nájsť nejaké menšie číslo, ktoré sa bude dať deliť štyrmi (snažíme sa čo najväčšie).

Najväčšie také číslo je 152. Znamenalo by to, že súčet na jednej strane je štvrtina z toho (152:4 = 38). Súčet čísel v rohoch by bol 152 - 105 = 47. Skúsme to tak urobiť.

Do rohov musíme dať čísla so súčtom 47, tak nejaké vyberme. My sme vybrali 8, 12, 13​ a 14, ale nie je to jediná možnosť. Dajme si ich teda do rohu a skúsme doplniť zvyšné čísla tak, aby súčet na každej strane bol 38. Možností je veľa, my sme našli nasledujúcu:

Odpoveď: Najväčší súčet je 38. Jedno možné rozmiestenie je na obrázku vyššie.

Vo všeobecnosti je niekedy dobré sa trochu pohrať so zadaním na lepšie pochopenie toho, ako príklad funguje. Vypíšme si teda prvých pár presunov pre Krivoša a Štepiho z podúlohy a)​.

Môžeme si všimnúť, že v siedmej minúte sú Krivoš aj Štepi tam, kde začínali. Odtiaľ budú pokračovať rovnako ako pokračovali po prvej minúte, až sa znova dostanú na začiatok. Táto postupnosť presunov sa teda bude opakovať stále rovnako, každých 6​ minút. Zároveň môžeme v tabuľke skontrolovať, že žiadnej minúte sa Štepi a Krivoš nenachádzajú v susednej miestnosti. Z toho vyplýva, že sa nikdy nestretnú.

Podobne ako v časti a)​, v podúlohe b)​ si môžeme všimnúť, že presuny chlapcov sa po nejakom čase začnú opakovať. Konkrétne Sebikove presuny sa začnú opakovať po 6​ presunoch a Majkove po 10​ presunoch. Tieto postupnosti (cykly), ktoré sa pravidelne opakujú sú zapísané v tabuľke.

Keďže cykly nie sú rovnako dlhé, Majko nebude po jednom Sebíkovom cykle (6​ krokov) na rovnakom mieste. V ďalšom Sebíkovom cykle bude potom nejak posunutý oproti prvému, a teda aj keď sa v prvom nestretli, môžu sa stretnúť v niektorom ďalšom. Keby sme ale našli minútu, v ktorej sa obaja dostanú do svojich pôvodných miestností, našli by sme cyklus, ktorý sa bude opakovať. Potom by sme mohli spočítať koľkokrát budú v prvom cykle v susedných miestnostiach, a budeme to vedieť aj pre všetky ďalšie.

Taká minúta bude existovať, pretože v minúte, ktorá je násobkom dĺžok oboch cyklov budú končiť oba cykly, a v nasledujúcej minúte budú obaja v pôvodných miestnostiach. Teda hľadáme jednu minútu po násobku čísel 6​ a 10​ , ktorý ideálne bude čo najmenší, aby sme si zbytočne nekomplikovali prácu. Takéto číslo sa volá aj najmenší spoločný násobok. Najmenší spoločný násobok nsn(a;b)​ je najmenšie číslo také, že je násobok oboch čísel a aj b. V našom prípade je nsn(6;10)​ číslo 30​ (musí byť násobkom 2, 3​ aj 5​). Z toho vyplýva, že dĺžka cyklu, po ktorom sa obaja budú nachádzať v svojich pôvodných miestnostiach, je 30​.

Vypíšme si teraz tento cyklus:

Teraz nájdeme minúty, v ktorých sa chlapci nachádzajú v susedných miestnostiach*. Sú to minúty 1​ a 16​ podčiarknuté v tabuľke. Úplne prvú minútu ale nezapočítame (ako bolo napísané v zadaní), započítame až prvé minúty ďalších opakovaní tohto cyklu.

Počas jedného cyklu sa nachádzajú v susedných miestnostiach dvakrát. Po 21​ opakovaniach cyklu sa budú nachádzať v susedných miestnostiach 21 \cdot 2-1=41​ krát (odčítali sme 1​, lebo úplne prvú minútu nezarátavame). V ďalšom cykle sa potom budú nachádzať v susedných miestnostiach hneď v prvej minúte. Každý cyklus má 30​ minút, teda štyridsiaty druhý raz sa strretnú v 30 \cdot 21+1=631.​minúte.

*poznámka: Ak sa nám nechcú minúty hľadať stálym kontrolovaním v tabuľke, môžeme si to rozmyslieť takto: Budú to minúty, v ktorých čísla ich izieb majú rozdiel 4​ (potom sa budú nachádzať pod sebou v tabuľke), alebo kde majú rozdiel 1​ a zároveň menšie z čísel týchto dvoch izieb nie je deliteľné 4​ (teda napríklad 4​ a 5​ nesusedia, lebo 4​ je deliteľné 4, izba číslo 4​ je posledná v svojom riadku a 5​ je až v ďalšom riadku. Koniec riadku nastane práve keď je menšie z čísel deliteľné 4​).

Odpoveď: Krivoš a Štepi sa nestretnú. Sebik a Majko sa stretnú 42. krát v 631.​ minúte.

Komentár

Pri riešení podúlohy b)​ si treba dať pozor na počítanie s celými cyklami. Dve stretnutia sa totiž neudejú na jeho konci. Preto sa napríklad 41. krát nestretnú presne v 630. minúte, ale už v 616.​ minúte. Preto formulácie ako "Po tom, čo sa v 630.​ minúte stretnú 41.​ krát už musíme pridať len jednu minútu." nie sú úplne správne.​

Odpoveď: Áno, určite sa našli aspoň dve princezné také, že tancovali s rovnakým množstvom princov.

Zamyslime sa nad tým, ako by to mohlo vyzerať, aby žiadne dve princezné netancovali s rovnakým množstvom princov:

Každá princezná mohla tancovať najmenej s 0​ princami, a najviac so 102​. To je 103 rôznych počtov, teda aby každá princezná tancovala s iným počtom, musela by práve jedna princezná tancovať s 0​, práve jedna s 1​ atď... až posledná, stotretia princezná by tancovala so všetkými 102 princami.

Koľko by sa v tomto prípade odohralo tancov? Musíme vypočítať, koľko je 0+1+2+3+4+...+102​. Použijeme klasický trik: preusporiadame čísla tak, aby boli spolu dvojice s rovnakým súčtom (prvé číslo s posledným, druhé s predposledným atď):

(0+102)+(1+101)+(2+100)+...+(49+53)+(50+52)+51​

Dostaneme 51 zátvoriek, ktoré majú každá súčet 102, a na koniec nám ostane číslo 51, ktoré dvojicu nemá. Teda tento súčet vieme teraz ľahko vypočítať ako 51\cdot102+51=5253. Toľko tancov medzi princami a princeznami sa muselo celkovo odohrať.

Nezabúdajme ale, že každý princ musí tancovať s rovnakým počtom princezien! Označme si ho napríklad x. Potom to znamená, že zo strany princov sa s princeznami odohralo 102\cdot x tancov. Keď to spojíme s predošlým výsledkom, vieme, že sa musia rovnať:

5253=102\cdot x​

Upravme trochu rovnicu, aby sme zistili, koľko je x:

​x=\frac{5253}{102}=51,5​​

Teda nám vyšlo, že ak by každá princezná tancovala s iným počtom princov, musel by každý princ tancovať s 51,5 princeznami. To je, samozrejme, nezmysel - každý princ tancoval s celým počtom princezien. To môže znamenať iba jediné - naozaj nie je možné, aby tance vychádzali tak, že každá princezná tancovala s iným počtom princov. Teda nejaké dve princezné museli tancovať s rovnakým počtom princov.

​Vo výsledku máme dostať nepárnu cifru. Ako také niečo docieliť?

Sčítaním párnej a párnej cifry dostanem párnu cifru, sčítaním nepárnej a nepárnej cifry dostanem tiež párnu cifru. Sčitovať teda musím párnu s nepárnou, alebo nepárnu s párnou. Hovorí sa tomu aj čísla s opačnou paritou*.

párna +​ párna =​ párna

nepárna +​ nepárna =​ párna

párna +​ nepárna =​ nepárna

nepárna +​ párna =​ nepárna

Zároveň si však musíme dať pozor, lebo pri sčítavaní dvoch cifier vie byť výsledok niekedy väčší ako 9​. Vtedy sa 1 prenesie do ďalšieho súčtu, čím sa zmení jeho parita.

(Ako malé cvičenie sa môžete v tomto bode zamyslieť, či by sa mohlo do ďalšieho súčtu preniesť aj viac ako 1​)

Začnime možnosťou b) - hľadanie 6​-ciferného špeciálneho čísla.

Označme si ho ABCDEF, kde každé písmenko značí jednu cifru. Na začiatok môžeme skúsiť uvažovať bez prechodu cez desiatku**, takže čísla  F, E, D​ budú mať len opačnú paritu ako čísla A, B, C​. Takýchto čísel je veľa, napríklad: 111222+222111 = 333333​, ale aj 121212+212121=333333​. Takže 6​-ciferné špeciálne číslo existuje.

Poďme teraz na možnosť c) - hľadanie 7​-ciferného špeciálneho čísla.

Opäť si ho označíme pomocou písmeniek, tentokrát ABCDEFG​. Sčítanie teda bude vyzerať takto:

\begin{array}{ccccc} & A & B & C & D & E & F & G \\ +& G & F & E & D & C & B & A\\ \hline \end{array}​

Vidíme, že v strede sa nám sčítava D+D​. Keďže to sú rovnaké čísla, majú rovnakú paritu a ich súčtom dostaneme určite párnu cifru. To znamená, že ak by sme chceli, aby bolo číslo špeciálne, musela by nám jedna zostať z predošlého súčtu E+C​.

Takže (E+C) \gt 10​.

Keď sa ale pozrieme na nasledovné súčty, tak to znamená, že aj (C+E) \gt 10​, takže jedna sa nám prenesie do súčtu B+F​. Tento súčet teda musí byť párny, aby bol nepárny až potom, ako k nemu pripočítame 1​, čo nám zostala.

Ak B+F​ je párne, potom je párne aj F+B​, a teda nám musí jedna zostať zo súčtu G+A​.

Poďme teda podľa tohto návodu skúsiť nájsť číslo ABCDEFG​.

• ​D​ môže byť čokoľvek, povedzme 0​.

• ​E+C​ musí byť väčšie ako 10​, povedzme 8+9​.

• ​B+F​ musí byť párne, povedzme 1+1​.

• ​G+A​ musí byť nepárne a väčšie ako 10​. Povedzme 8+9​.

Takto sme našli príklad 7​-ciferného špeciálneho čísla (9190818​), takže môžeme konštatovať, že takéto číslo existuje.

Teraz skúsme rovnako uvažovať pri možnosti a) - hľadanie 5​-ciferného špeciálneho čísla.

Označíme si ho ABCDE​ a sčítanie bude vyzerať takto:

\begin{array}{ccccc} & A & B & C & D & E \\ +& E & D & C & B & A\\ \hline \end{array}​

Opäť vidíme, že uprostred sčítavame rovnaké písmenká C+C​, takže tento výsledok bude párny. To znamená, že nám musí jedna zostať z predošlého súčtu D+B​.

V takom prípade bude aj súčet B+D​ väčší ako 10​ a jedna sa pripočíta k A+E​. Aby A+E​ bolo aj po tomto pripočítaní nepárne, znamená to, že pôvodne je párne. Z toho vyplýva, že aj E+A na mieste jednotiek bude párne. A keďže tu neviem pridať žiadnu jednotku z predošlého súčtu, to znamená, že táto cifra nevie byť nepárna. Takže 5​-ciferné špeciálne číslo neexistuje.

*parita je vlastnosť čísla, hovorí o tom, či je číslo párne alebo nepárne

**s prechodom cez desiatku to pre 6-ciferné číslo nepôjde, to pre naše riešenie nepotrebujeme dokazovať ale môžte sa zamyslieť prečo to nepôjde ;)

Pre začiatok je vždy dobré zapísať si čo vieme.
Vieme, že súčet všetkých siedmich reálnych čísiel je 10. Označme si ich a, b, c, d, e, f, g

a+b+c+d+e+f+g=10

V zadaní máme tiež, že každé číslo prenásobíme súčtom ostatných. Môžeme si všimnúť 
že keďže všetky čísla dávajú dokopy súčet 10, tak všetky čísla bez čísla x​  dostaneme 10 mínus  číslo x​.
Takže prenásobené čísla budú:

​a(10-a),\:\: b(10-b),\:\: c(10-c),\:\: d(10-d),\:\: e(10-e),\:\: f(10-f),\:\: g(10-g)​

Vieme ale, že len 4 z týchto čísiel sú rôzne, teda niektoré si budú navzájom rovné.

Kedže zatial vieme o všetkých číslach rovnaké vlastnosti, môžeme si povedať že rovnaké budú práve a(10-a)​  a  b(10-b)​​

a(10-a)=b(10-b)\\10a-a^2=10b-b^2\:\:\:\:\: /+a^2-10b\\10(a-b)=a^2-b^2\\10(a-b)=(a-b)(a+b)\:\:\:\:\: /:(a-b)\\10=a+b​​​

Predeliť a-b  sme mohli lebo vieme, že každé z pôvodných čísiel je rôzne.

Teraz zistime, čo by sa stalo, ak by sa nejaké tretie číslo rovnalo jednémuu z nich? Napríklad b(10-b)=c(10-c)
Potom podobným postupom dostaneme, že 10=b+c
Ale ak 10=a+b=b+c   tak by platilo a=c ,  čo je v rozpore so zadaním.

Vieme teda, že vždy maximálne 2 výsledné čísla majú rovnakú hodnotu.
To znamená, že ak medzi výslednými číslami majú byť len 4 rôzne čísla, tak musíme mať 3 dvojice čísiel s rovnakou hodnotou. Teda bez ujmy na všeobecnosti:

a+b=10, \:\: c+d=10, \:\: e+f=10​ 

Dosadením do pôvodnej rovnice dostávame:

a+b+c+d+e+f+g=10 \\ 10+10+10+g=10\:\:\:\: /-30\\g=-20​

Takže posledné číslo musí byť -20

Odpoveď:​
Nezaobídeme sa bez čísla -20

Urobme si najprv niekoľko pozorovaní o našich dvoch číslach.

Pozorovanie 1: Obe čísla museli byť zaokrúhlené nahor. Keď zaokrúhľujeme čísla, tak sa nám každé číslo môže zmeniť najviac plus 5 alebo mínus 4. Všimnime si, že aj keby sa jedno číslo zaokrúhlilo o maximálnu možnú hodnotu, teda 5, stále to je menej ako 6, teda o koľko sa v súčte zvýšili naše čísla. Obe čísla sa teda museli zväčšiť.

Pozorovanie 2: Čísla zaokrúhlené na desiatky budú násobkom desiatky, teda keď ich vynásobíme, dostaneme násobok stovky. Teda vieme, že súčin po zaokrúhlení bude končiť na 00​. Pôvodný súčin bude o 295​ nižší, a tak vieme zistiť, že pôvodný súčin bude končiť na 00 - 95 = 05. Vidíme, že sa tento pôvodný súčin končí päťkou, a z toho vieme, že je deliteľný piatimi. Vieme si tak rozmyslieť, že aj jedno z pôvodných čísel muselo byť deliteľné päťkou.

Jedno z pôvodných čísel musí byť deliteľné päťkou, a teda končiť na 0 alebo na 5. Z pozorovania 1 však vieme, že obe čísla sa museli zväčšiť, a keby číslo končilo nulou, už by bolo zaokrúhlené na desiatky, takže by sa nezvýšilo, takže končiť nulou nemôže. Musí končiť päťkou.

Keďže jedno z čísel končí päťkou, zaokrúhli sa pri zaokrúhľovaní tak, že sa zväčší o 5. Obe čísla sa v súčte zaokrúhlili o 6 a z toho vyplýva, že druhé číslo sa zaokrúhlilo o 6 - 5=1. Tak teda vieme, že druhé z čísel sa pri zaokrúhľovaní zvýši o 1, čo znamená, že musí byť 9.

Pozorovanie 3: Môžeme si všimnúť, že ak niečo prirátavame k obom číslam v podiele a tento podiel sa nemá zmeniť, tak tieto sčítance musia byť tiež v tom istom pomere. Vieme si to ukázať: Povezme, že naše pôvodné čísla sú a a b. Potom musí platiť buď {\frac a b = \frac {a+1} {b+5}} alebo {\frac a b = \frac {a+5} {b+1}}​. Upravme si najprv prvý výraz.

​{\frac a b = \frac {a+1} {b+5}} / \cdot (b+5) \cdot {b}​​

​ba + 5a = ab + b /-ab​​

5a = b​​​

Podobnou úpravou z druhého výrazu vyjde, že 5b = a. Teda vieme, že jedno z čísel musí byť 5-násobkom druhého.

Avšak, číslo končiace na 9 nemôže byť päťnásobkom žiadneho prirodzeného čísla, lebo nie je deliteľné 5. Takže vieme, že číslo končiace sa na cifru 9 bude päťkrát menšie ako číslo končiace sa na 5.

Vidíme, že pri týchto podmienkach je rozdiel 295 je dostatočne malý na to, aby sme vedeli skúšať možnosti:

​10 \cdot 50 -9 \cdot 45 = 95       - nesedí

​20 \cdot 100 - 19 \cdot 95 = 195    - nesedí

​30 \cdot 150 - 29 \cdot 145 = 295     - sedí​

Alternatívne by sme úlohu mohli doriešiť takto:

​10x \cdot 50x = 295 + (10x - 1) \cdot (50x - 5) ​​

​500x^2 = 295 + 500x^2 - 100x + 5/-500x^2 - 100x​​

​100x = 300/:100​​

​x = 3

Odpoveď: Dve hľadané čísla sú 29 a 145.

Pre začiatok je vždy dobré si obrázok nakresliť.

Všimnime si že niektoré uhly môžeme dorátať, keďže vieme, že priame uhly sú rovné 180\degree​a súčet uhlov v trojuholníku je taktiež 180\degree. Najprv si dopočítame |\angle ADE| ako doplnok k |\angle BDA|​, potom |\angle DEA| ako doplnok v trojuholníku DEA​. Nakoniec |\angle AEC| je doplnok ku |\angle DEA| a |\angle EAC| je doplnok v trojuholníku ECA​.

Teraz si všimnime, že trojuholník ADE má dva uhly s veľkosťou 30\degree. Takže je rovnoramenný so základňou AD a vieme povedať, že |AE|=|DE|.
Taktiež si vieme dokresliť výšku EF, ktorá bude rozdeľovať \angle DEA na polovice, 
čiže potom |\angle DEF|=|\angle FEA|=60\degree​

Teraz je jasné, že trojuholníky AEC, AFE a DEF sú zhodné, lebo sú podobné podľa vety uu  a zdieľajú príslušné strany v podobnosti.

Ako ďalší krok si môžeme dokresliť zhodný trojuholník ACE' ku ACE, tak aby spolu tvorili rovnostranný trojuholník.

Keďže |EC|=|E'C|=15\ cm  a trojuholník CEE'​  je rovnostranný, tak vieme povedať, že všetky jeho strany sú rovné 30\ cm. Táto dĺžka sa alternatívne dala dorátať aj s troškou goniometrie.

Trojuholník AEC  je pravouhlý, takže vieme dĺžku strany AC  dopočítať Pytagorovou vetou.

|AC|^2+|EC|^2=|AE|^2

|AC|=\sqrt{|AE|^2-|EC|^2}=\sqrt{30^2-15^2}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ cm​​

Trojuholníky AEC a EFC sú zhodné, vďaka čomu vieme povedať, že |EA|=|ED|=30\ cm.

Teraz si vieme z častí vyskladať dĺžku strany BC, ktorá vyjde 60\ cm. Keďže trojuholník ABC je pravouhlý, tak obsah jednoducho dopočítame ako \frac{|BC||CA|}{2}=\frac{60\times15\sqrt{3}}{2}=450\sqrt{3}\ cm^2.

Tento posledný krok môžeme spraviť aj trochu inak. Stačí si všimnúť, že trojuholníky ABD  a ​AEC  majú rovnaký obsah, lebo majú rovnakú výšku AC a obe majú dĺžku strany kolmej na AC (BD a EC​) rovnú 15\ cm. Keďže ostatné sú zhodné s AEC, tak máme 4 trojuholníky s rovnakým obsahom, ktoré tvoria celý trojuholník ABC. Obsah potom ľahko dorátame ako:

4\times S_{AEC}=4\times\frac{|EC|\times|AC|}{2}=4\times\frac{15\times15\sqrt{3}}{2}=450\sqrt{3}\ cm^2​

Odpoveď: Obsah trojuholníka je 450\sqrt{3}\ cm^2​​

Ak by sme do automatu hodili štyri alebo menej mincí, tak by sa mohlo stať, že sme mali smolu a nehodili sme dvadsiatku ani päťdesiatku. V takom prípade by sme ale nemohli vedieť, ktorá minca je dvadsiatka a ktorá päťdesiatka. Ešte sme ich totiž nehodili do automatu a ani automat nám ich určite nevydal (nemal z čoho tak veľa vydávať). Preto štyri cukríky stačiť nemôžu.

Skúsme teraz hodiť päť rôznych

Najľahšie zistíme, keď sme do automatu hodili jednotku - vtedy nám totiž nevydá nič. Aj keby sme ju do automatu nehodili, vieme, že zo všetkých ostatných nám niečo vydal a teda tá posledná musí byť jednotka.

Keď už poznáme jednotku, je ľahké zistiť, ktorá minca je dvojka. Automat nám z nej totiž musí vydať iba jednotku. Ak nám zo žiadnej jednotku nevydá, vieme, že tá posledná minca musí byť dvojka.

Keď už poznáme jednotku a dvojku, je ľahké zistiť, ktorá je päťka. Automat nám z nej totiž musí vydať 4 a môže vydať iba v jendotkách a dvojkách, ktoré už poznáme. Takisto ako predtým, ak nám zo žiadnej mince nevydá 4, tak to musí byť tá posledná minca.

Takto vieme nájsť každú mincu. Ak už poznáme všetky menšie mince, vieme ju nájsť, lebo automat z nej môže vydávať iba menšími mincami (napríklad ak vieme, ako vyzerajú všetky mince od desiatky nižšie, vieme spoznať dvadsiatku, lebo automat z nej vydá 19 v menších minciach).

Príklad

Povedzme, že nám automat vydal takto.

Vieme ľahko spoznať jednotku - je to žltá minca. Z nej nám totiž automat nevydal nič.

Keď už toto vieme, vieme ľahko spoznať aj dvojku - to je ružová minca. Z nej nám totiž automat vydal 1.

Nevidíme žiadnu mincu, z ktorej by automat vydal 4. Preto vieme, že päťka musí byť tá minca, ktorú sme do automatu nehodili - čiže fialová minca.

Teraz už vieme, že jednotka je žltá, dvojka ružová a päťka fialová. Vieme teda nájsť desiatku - oražovú. Vidíme totiž, že z nej automat vydal 9.

Teraz vieme nájsť dvadsiatku - je to zelená minca, lebo vidíme, že z nej vydal 19.

Posledná, ktorá nám ostala je päťdesiatka, ktorá je modrá. Vidíme, že z nej automat vydal 49.

Takto teda vieme ísť od najmenšej mince a postupne ich zistiť všetky. Potrebujeme teda kúpiť päť cukríkov.