Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 3. kola

Termín: 07. december 202022:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk
„Informácia, ktorú chcete vedieť sa nachádza v zakázanej časti. Bez povolenia vám nemôžem dovoliť sa ju dozvedieť,“ povedala pani s okuliarmi, keď sa vrátila naspäť k našim dobrodruhom Michardovi, Vikielovi, Ene a Mertorovi. „Ale my tú informáciu naozaj potrebujeme vedieť!“ vyhŕkla Ena so slzami v očiach. To zjavne trochu obmäkčilo pani s okuliarmi, ktorá si povzdychla a povedala: „Poviem vám teda ako sa viete dostať do zakázanej časti, ale po ceste vás bude čakať veľa nástrah a hlavolamov, lebo len tí najlepší sa vedia sami dostať do tejto časti knižnice.“ Pani s okuliarmi zaviedla dobrodruhov do kútu knižnice k strašidelnému otvoru v stene. „Tu je vchod do Zakázaného labyrintu. Niekde v ňom sa nachádza zakázané oddelenie našej Knižnice,“ povedala pani s okuliarmi a zaželala im veľa šťastia.

1. príklad

Naši dobrodruhovia sa ocitli pred vstupom do labyrintu. Na to, aby vedeli otvoriť dvere musia vložiť kamienky pred dverami do niekoľkých skriniek v stene. Do prvej skrinky vložili 1 kamienok a desatinu zvyšných kamienkov, do druhej skrinky vložili 2 kamienky a desatinu nového zvyšku kamienkov, do tretej skrinky vložili 3 kamienky a desatinu ďalšieho nového zvyšku kamienkov a tak ďalej. Takto sa im podarilo vložiť všetky kamienky a pritom do každej skrinky vložili rovnaký počet kamienkov. Určte, koľko bolo na začiatku kamienkov pred dverami a do koľkých skriniek ich dobrodruhovia ukladali.
„Prečo musí byť všade tak veľa nudných úloh?“ spýtala sa Ena, keď dobrodruhovia prešli cez ďalšie dvere a ocitli sa v slepej uličke. „A sme ešte k tomu aj stratení,“ povzdychla si. „Ale keď sa nad tým tak zamyslím, tak sme si zatiaľ vždy vyberali dvere s ľahkým hlavolam, keď sme mali takú možnosť,“ zamrmlal si popod nos Vikiel, „možno sa k tomu zakázanému oddeleniu dostaneme len cez tie náročnejšie hlavolamy.“ „To znie ako plán, tak sa vráťme na začiatok a poďme ešte raz,“ prikývol Mertor. „Počkajte,“ ozval sa zrazu Michard, „hlavolam na tejto stene som už niekde pred chvíľou videl.“ „Ukáž,“ povedala Ena, „to nie je hlavolam ale logo tejto Knižnice. Videla som ho totiž skoro všade v Knižnici.“

2. príklad

Logo Knižnice je samozrejme priestorové. Je to kocka, ktorá je zložená zo šiestich pravidelných štvorbokých ihlanov, ktorých výška má dĺžku rovnú polovici dĺžky strany základne. Základne týchto ihlanov tvoria steny kocky - tak ako je znázornené na obrázku: Avšak toto logo má viacero farebných variácii. Každý ihlan je celý zafarbený jednou zo štyroch farieb. Keď sa z ihlanov poskladá kocka, tak platí, že ihlany rovnakej farby sa nedotýkajú stenou. Koľko rozličných ofarbení môže mať kocka z vonku? Kocku samozrejme vieme otáčať a teda ofarbenia, ktoré sa dajú na seba otočiť sú zhodné.
„Tajné dvere. Tak mňa už naozaj nič v tomto svete neprekvapí,“ povedal Vikiel a pobral sa za svojimi nadšenými spoločníkmi. „Vitajte, vitajte, v centre zakázaného labyrintu. Ako vám môžem pomôcť?“ ozval sa pred nimi hlas. „Len sa mi to zdá alebo majú tie dvere naozaj ústa, ktorými hovoria?“ spýtal sa neveriacky Mertor. „Ak sa ti to zdá, tak sa to zdá nám všetkým,“ odpovedal mu Michard. „Chceli by sme vstúpiť do zakázaného oddelenia Knižnice,“ povedala Ena. „Chcete vstúpiť do zakázaného oddelenia. Tak to musíte správne odpovedať na moju hádanku,“ uškrnuli sa hovoriace dvere.

3. príklad

Hádanka hovoriacich dverí znie nasledovne: Koľko existuje štvorciferných čísel, ktoré obsahujú cifru 1 aspoň dvakrát a sú deliteľné 36? Pomôžte našim dobrodruhom a zodpovedzte túto otázku aj vy.
„Vidím, že ste veľmi šikovní, takže vám dovolím vstúpiť. Prosím, vojdite,“ povedali hovoriace dvere a otvorili sa. Naši dobrodruhovia vošli dovnútra a zostali ohromení stáť nad veľkoleposťou obrovskej miestnosti, ktorá sa rozprestierala pred nimi.

4. príklad

Na strope miestnosti sa nachádza obrovský obrazec skladajúci sa z troch veľkých trojuholníkov, ktoré sú všetky rozdelené na štyri menšie trojuholníčky tak, ako vidíte na obrázku. Do obrazca sa vpisujú do malých trojuholníčkov kladné celé čísla od 1 po 10 vrátane, pričom do každého malého trojuholníčka sa vpíše práve jedno číslo a čísla sa v obrazci nesmú opakovať. Súčty čísel v každom z troch veľkých trojuholníkoch sú rovnaké. Čísla 1, 2, 4 a 10 sú už vpísané do obrazca. Nájdite všetky možnosti ako sa dajú povpisovať zvyšné čísla, aby platili vyššie uvedené podmienky.
„Znovu sa stretávame,“ privítala našich dobrodruhov pani s okuliarmi, „zvládli ste sa dostať až sem, takže si myslím, že si zaslúžite informáciu, ktorú ste do Knižnice prišli hľadať.“ „Ako ste sa sem dostali?“ spýtala sa Ena. „No predsa vchodom pre zamestnancov,“ odvetila jej pani s okuliarmi. „A my sme museli ísť cez to celé bludisko kvôli čomu?“ zamračila sa Ena. „Preto, lebo tadiaľ musia prejsť zákazníci bez povolenia,“ odpovedala pokojne pani s okuliarmi. Zrazu sa ale jej tvár rozžiarila: „Kým som na vás čakala, tak som si čítala knihu z názvom Dračie korytnačky a ich zvyky a neverili by ste, čo robia matky svojim deťom.“

5. príklad

Vo svete dračích korytnačiek je náročné prežiť a preto sa matky korytnačky hrávajú s malými korytnačiatkami takúto hru: Na ploche znázornenej na obrázku je päť korytnačiatok. Dve matky korytnačky sa striedajú v ťahoch. Matka korytnačka si môže vybrať jeden z dvoch ťahov:

Ak matka korytnačka presunie korytnačiatko na políčko s príšerou, na konci trasy, príšera korytnačiatko zje. Matka korytnačka, ktorá toto spraví, prehrá. Ktorá matka korytnačka má víťaznú stratégiu? Víťazná stratégia znamená, že jedna matka korytnačka vie voliť také ťahy, aby vyhrala bez ohľadu na to, aké ťahy vykonáva druhá matka korytnačka.

„Prepáčte, ale my by sme radi vedeli ako sa dostaneme domov,“ povedala Ena. „Aj keď vaše rozprávanie o dračích korytnačkách bolo veľmi zaujímavé,“ dodal Michard, aby náhodou neurazili pani s okuliarmi. „Tak keď už musíte ísť...“ povzdychla si pani s okuliarmi a podala Vikielovi kryštálovú tabuľku. „V nej nájdete odpoveď na vašu otázku,“ povedala pani s okuliarmi a opäť sa začala venovať svojej knihe o dračích korytnačkách.

6. príklad

Na kryštálovej tabuľke je nakreslená kružnica so stredom S. Na nej je vyznačených niekoľko bodov, ktoré tvoria vrcholy pravidelného mnohouholníka. Tri susedné vrcholy tohto mnohouholníka si nazveme postupne A, B, C. Vieme, že veľkosť uhla \sphericalangle CAS je 66°. Koľko vrcholov má tento mnohouholník?
„Ten nákres asi znázorňuje, z kadiaľ sa vieme dostať domov,“ poznamenal Vikiel. „Tak je,“ pritakala pani s okuliarmi, ktorá ich potichu sledovala jedným okom. „Je to svätyňa presne uprostred nášho sveta,“ dodala po chvíľke a vrátila sa k svojmu čítaniu. „Takže sem sa máme dostať,“ povedal Michard a dotkol sa prstom stredného bodu.

7. príklad

Na kryštálovej tabuľke sa objavili súradnice svätyne. Súradnice svätyne sú vyjadrené trojciferným číslom \overline{abc}, kde písmená a, b, c predstavujú nie nutne rôzne nenulové cifry. Vieme, že číslo \overline{abc} je násobkom čísla 3, číslo \overline{cbabc} je násobkom čísla 15 a číslo \overline{abcba} je násobkom čísla 8. Aké je číslo \overline{abc} vyjadrujúce súradnice svätyne? Nájdite všetky možnosti.
„Vedeli by ste nám aj poradiť ako máme toto miesto nájsť?“ spýtal sa Mertor. „Stačí sa dotknúť miesta kam chcete ísť a želať si, že sa tam chcete dostať,“ odvetila pani s okuliarmi. „Stačí si iba želať?“ začudovala sa Ena a zobrala kryštálovú tabuľku Vikielovi z ruky. Dotkla sa bodu v strede a povedala: „Želám si, aby som sa sem dostala.“ Zrazu tabuľka zablikala na modro a pred našimi dobrodruhmi sa vo vzduchu zjavila šípka.

8. príklad

Šípka, ktorá sa vo vzduchu objavila avšak nebola len obyčajnou šípkou. Šípka bola rovnostranným trojuholníkom ABC, ktorého stredy strán boli označené ako A_1, B_1, C_1. Body M, K ležia na úsečkách AB_1, resp. A_1B. Na šípke boli ďalej nakreslené štyri úsečky KB_1, KC_1, MA_1, MC_1, čím vznikli dva štvoruholníky ako je vidieť na obrázku. Dokážte, že ich obsahy sú rovnako veľké.
Dobrodruhovia sa ani nestihli vynadívať na šípku, keď tu zrazu sa šípka pohla dopredu. „Rýchlo!“ skríkol Mertor, „Inak nám ujde!“ Dobrodruhovia okamžite schytili svoje veci a rozbehli sa za letiacou šípkou. „Veľa šťastia, dobrodruhovia!“ zvolala za nimi pani s okuliarmi, „ďakujem, že ste sa zastavili v mojej Knižnici.“ Dobrodruhovia bežali za šípkou vcelku dlho, až pokým sa zadychčaný nezastavili pred obrovským údolím.

9. príklad

Údolie má tvar pravidelného 13-uholníka. Každý jeho vrchol zafarbíme modrou alebo červenou farbou. Dokážte, že pri ľubovoľnom spôsobe ofarbenia vrcholov, existuje jednofarebná trojica vrcholov, ktoré tvoria rovnoramenný trojuholník.
Michard, Vikiel, Ena a Mertor pomaly zliezli do údolia a ocitli sa rovno pred svätyňou, ktorá vyzerala presne tak ako na kryštálovej tabuľke. „Takže ste sa dostali až sem,“ ozval sa zrazu hlas. Dobrodruhovia v ňom spoznali hlas, ktorý ich privítal v tomto svete. „Zjavne sa veľmi chcete vrátiť do svojho sveta, ale to ako veľmi sa chcete vrátiť bude preskúšané posledným testom,“ pokračoval hlas „dúfam, že ste pripravení, lebo z tohto údolia nie je inej cesty.“ Naši dobrodruhovia sa odhodlane vybrali k svätyni.
Pred každým z dobrodruhov sa objavil rovnostranný trojuholník. Aby boli schopní vstúpiť do svätyne, tak museli vyriešiť poslednú úlohu – rozdeliť tento rovnostranný trojuholník na menšie rovnostranné trojuholníky.

10. príklad

Nájdite všetky celé čísla n, väčšie ako 1, také, že vieme rozdeliť rovnostranný trojuholník na n menších neprekrývajúcich sa rovnostranných trojuholníkov. Výsledné trojuholníky môžu byť navzájom rôzne.
Posledný test bol konečne za nimi. Dostali sa do svätyne. Ale čo teraz? Prečo ešte nie sú doma? „Asi si musíme zaželať, že chceme ísť domov, tak ako pri tej šípke, ktorá nás sem doviedla,“ povedal Vikiel. „Máš pravdu,“ prikývol Mertor: „Tak toto je potom naša rozlúčka. Rád som vás spoznal.“ „Nech sa vám v živote darí,“ pridala sa k lúčeniu Ena. „Veľa šťastia,“ rozlúčil sa Michard. „Nech nám život pripraví ďalšie stretnutie,“ uzavrel Vikiel. Dobrodruhovia sa na seba poslednýkrát pozreli a potom si každý z nich zaželal, aby sa vrátil domov.

Michard otvoril oči. Konečne bol doma. Pozrel sa na hodinky. Skoro žiaden čas neprešiel odkedy ho vtiahol počítač do svojho sveta. Michard sa usmial, bolo to ako sen. A tak sa vrátil k tomu čo robil pred tým, započúval sa do hodiny.

Na online hodine sa Michardova trieda zaoberala zaujímavým problémom. Problém znel takto:

Prémia 1

Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.

Máme hrací plán v tvare tabuľky 9x9, na ktorej sú čierne políčka prekážky, zelené políčko štart a červené cieľ. K dispozícii máme 4 figúrky: kôň, narážacia veža, vyhadzovací pešiak a skokan.

Na začiatku si vyberiete jednu figúrku, ktorú položíte na políčko označené ako štart. Potom môžete vykonať nejaký počet ťahov. Ťahom je jedna z nasledujúcich dvoch možností:

  1. Zmena figúrky - odstránite figúrku z hracieho plánu a na jej miesto položíte inú figúrku.
  2. Pohyb - presuniete figúrku na iné políčko podľa pravidiel pre jednotlivé figúrky:
    1. Kôň - ako bežný šachový kôň (o 1 políčko v jednom smere a o 2 v druhom, môže pri tom preskakovať prekážky).
    2. Narážacia veža - vyberiete si jeden zo základných smerov (hore, dole, vľavo, vpravo) a posuniete ju v tomto smer až k najbližšej prekážke alebo kraju plánika.
    3. Vyhadzovací pešiak - pohybuje sa vždy šikmo o 1 políčko hore a 1 políčko vľavo alebo vpravo (podľa vášho výberu).
    4. Skokan - pohne sa na políčko, ktoré je od neho stredovo súmerné podľa stredu plánika.

Figúrka nesmie nikdy svoj pohyb ukončiť na políčku s prekážkou.

Vašou úlohou je navštíviť na čo najmenej ťahov všetky políčka plánika (ktoré nie sú prekážky) aspoň raz a skončiť na políčku označenom ako cieľ. Za navštívené považujeme počiatočné políčko a všetky políčka na ktorých sa nachádza figúrka na konci niektorého ťahu. Ako riešenie treba odovzdať poradie vašich ťahov.

Michard sa konečne uvoľnil: „Tak táto úloha sa mi páči.“ Spokojný sa teda pustil do riešenia ako keby zabudol na to, čím si prešiel vo svete počítačov. Avšak dobrodružstvá vo svete počítačov boli niečo, na čo Michard nikdy v živote nezabudne.