Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 2. kola

Termín: 09. november 202022:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk
Naši dobrodruhovia Michard, Vikiel, Ena a Mertor sa vybrali hľadať tajomnú knižnicu, ktorá by mala mať všetky odpovede. „Viete niekto čítať túto zvláštnu mapu?“ spýtala sa po pár hodinách kráčania Ena. „Ono je celkom ťažké určiť súradnice možných lokácií knižnice na tejto mape,“ ohradil sa Vikiel, ktorý sa uprene díval do mapy, „a okrem toho ideme zatiaľ len chvíľku.“ „Len chvíľku?! Veď kráčame už hodiny,“ ozvala sa neveriacky Ena. „Naozaj?“ začudoval sa Vikiel, „Mne sa zdá, že ideme len nejakých 10 minút.“ „Veď som vám hovoril, že čas tu plynie inak,“ zapojil sa do rozhovoru Mertor, „ale mám pre teba jednu hru na zabavenie, Ena, lebo vyzerá, že tebe tu čas plynie najrýchlejšie.“

1. príklad - Zadanie

Mertorova hra pozostáva z viacerých kôl. Ena získala v predchádzajúcom kole 185 bodov a navýšila svoje priemerné skóre za kolo z 176 na 177 bodov. Koľko bodov musí Ena získať v ďalšom kole, aby bolo jej priemerné skóre 178?
„Už sme na prvom mieste, kde by podľa tej legendy mohla byť knižnica,“ povedal Vikiel, keď sa Ena dohrala, „avšak nič nevidím.“ „Možno je skrytá pod zemou,“ navrhol Michard. Dobrodruhovia sa obzerali okolo seba, nevidiac nič iné ako rovnú zem bez stromov a zeleného porastu. „Možno sme sa len nepostavili na presné miesto. Možno sa nám knižnica ukáže, ak tak spravíme,“ poznamenal Mertor a pomaly vykročil vpred. Zrazu sa zamihotal vzduch a pred nimi sa zjavil stánok. „Pristúpte bližšie, pristúpte bližšie! A zažite magickú šou o akej sa vám nikdy nechyrovalo!“ kričal pán v stánku a miešal karty. Dobrodruhovia prišli bližšie a Vikiel sa začudoval: „To ako môžete povedať, že sa tieto dve čísla rovnajú?“ Pán v stánku sa usmial: „Veľmi jednoducho, zaokrúhlil som jedno číslo a dostal som druhé, takže sa zaokrúhlene rovnajú.“

2. príklad - Zadanie

Pán v stánku používa veľmi zvláštne zaokrúhľovanie. Zobral si číslo, ktoré neobsahovalo cifru 0 a postupne ho zaokrúhlil nahor na desiatky, nahor na stovky a nahor na tisícky (vždy to pôvodné číslo). Keď tieto tri čísla sčítal, získal číslo 5730. Aké mohlo byť jeho pôvodné číslo, ak vieme, že jeho posledná cifra bola najmenšia?
„To máte teda zaujímavý spôsob zaokrúhľovania,“ skonštatoval Vikiel. „Nepočuli ste náhodou o knižnici, ktorá obsahuje všetky odpovede?“ spýtala sa zrazu Ena. „Knižnica všetkých odpovedí?“ zamyslel sa pán zo stánku, „Neviem, ale poďte možno budú niečo vedieť moji kamaráti Klaus a Obor. Zavediem vás k nim.“

3. príklad - Zadanie

Pán zo stánku, Klaus a Obor bývajú na tej istej strane ulice. Pán zo stánku zistil, že keď ide na návštevu k Obrovi, spraví pri tom o 360 krokov viac ako keď ide ku Klausovi. Obor na ceste ku Klausovi spraví zas o 120 krokov menej ako keď ide k pánovi zo stánku. Klaus raz išiel najprv k Obrovi, od neho k pánovi zo stánku a naspäť k sebe domov a spravil pri tom 600 krokov. Vieme ešte, že Klausove kroky sú 2-krát dlhšie ako kroky pána zo stánku. Zistite, ktorý z nich býva uprostred a koľko krokov spraví Obor, keď ide na návštevu k pánovi zo stánku.
„Knižnica všetkých odpovedí?“ rozmýšľal Klaus, „Možno som o tom niečo počul, čo ty Obor?“ Klaus sa otočil na Obra, ale ten len mykol plecami, že nevie a ďalej sa len prizeral. „Tak nám povedz, čo vieš!“ rozkázala Ena. „Ale pokoj, pokoj. Informácie sú drahé v tejto dobe. Čo mi za ne dáte?“ Dobrodruhovia sa na seba pozreli. Nemali veľmi čo rozdávať. „Nič, že?“ uškrnul sa Klaus, „Ale keďže sa mi vcelku páčite, tak vám niečo poviem, ak si so mnou jeden z vás zahrá môj šach.“

4. príklad - Zadanie

Klausova šachovnica má tvar ôsmych políčok vedľa seba a každý hráč má tri figúrky: kráľa (K), jazdca (J) a vežu (V). Na obrázku vidíte ich počiatočné rozostavenie.


Každá figúrka sa môže pohybovať aj doľava aj doprava, ak má k dispozícií vhodné miesto. Každý ťah musí smerovať buď na prázdne políčko alebo na políčko obsadené súperovou figúrkou, ktorú tým pádom vyhodí a odstraňuje sa zo šachovnice. Kráľ sa môže pohybovať vždy len o jedno políčko a nesmie sa ťahom dostať do „šachu“ – na políčko ohrozené súperom. Jazdec sa pohybuje o dve políčka vpravo alebo o dve políčka vľavo, pričom políčko uprostred preskakuje. Veža sa môže posunúť o ľubovoľný počet políčok, pričom nemôže prejsť cez obsadené políčko. Ani po pohybe týchto figúrok nesmie byť kráľ ohrozený súperom.

Kráľ:
Jazdec:
Veža:

Ak hráčovi nezostáva žiaden prípustný ťah, hra končí remízou. Hráč, ktorý ohrozí súperovho kráľa tak, že kráľ nemá kam utiecť, dal mat a vyhráva. Začína biely. Dokáže niektorý hráč zabezpečiť, aby vyhral, bez ohľadu na to, ako hrá súper? Ak áno, určte ktorý a ako to docieli. Ak nie, vysvetlite prečo.

„To bola super hra!“ zvolal Klaus, „Ďakujem vám, dávno som sa takto nezabavil, lebo Obor so mnou takýto šach nechce hrávať. Tak a teraz k sľúbenej odmene. Ukážte mi vašu mapu.“ Vikiel podal Klausovi mapu a všetci naši dobrodruhovia sa nad ňu sklonili, aby videli, čo bude Klaus ukazovať. „Tu na tomto mieste sa nachádza Knižnica všetkých odpovedí,“ ukázal Klaus na jednu z ich zakreslených značiek. „To je zlé miesto,“ poznamenal pán zo stánku. „Máš pravdu,“ prikývol Klaus, „cesta je tam zložitá a je možné, že sa na nej stratíte, lebo nikto v tomto svete nechce, aby sa ľudia z vonku dostali k ich tajomstvám. Ale keďže ste mi spravili láskavosť, tak vám darujem môj kompas. Ak odhalíte jeho tajomstvo, tak sa nestratíte a zavedie vás ku Knižnici.“

5. príklad - Zadanie

Klausov kompas pozostáva z dotýkajúcich sa krúžkov (znázornené na obrázku). V každom z nich sa nachádza jedno kladné celé číslo, pričom rovnaké čísla sa môžu opakovať. Hrdinovia si vybrali jeden krúžok a spočítali súčet čísel v tých krúžkoch, ktorých sa dotýkal. Zistili, že nech by si vybrali akokoľvek, dostali by ten istý výsledok. Aký najmenší výsledok mohli dostať?
„Ďakujeme, Klaus,“ povedali dobrodruhovia, keď spojazdnili kompas a po krátkej rozlúčke s týmito tromi pánmi sa už ponáhľali opäť na cestu do Knižnice. Nešli dlho, keď sa pred nimi zrazu objavila obrovská brána s nápisom „NEODPORÚČAME VSTUPOVAŤ”. Michard pobehol k bráne a pokúsil sa ju otvoriť. „Čo to robíš?!“ skríkla Ena, „Keď nám neodporúčajú vstúpiť, tak je na to asi závažný dôvod a ja tu nechcem zomrieť.“ „Ale kompas nám ukazuje, že toto je tá správna cesta do knižnice, nebodaj sa už nechceš dostať domov?“ povedal Mertor. „Chcem, ale...“ začala Ena, ale Michard ju prerušil, „Poďte sa sem pozrieť. Máme zadať kód na to, aby sa nám brána otvorila.“ „Ale aký je kód?“ spýtal sa Mertor. „Pozrite, kompas nám dal nápovedu,“ ozval sa Vikiel a hneď sa pustil do riešenia.

6. príklad - Zadanie

Kód od brány je štvorciferné číslo. Kompas o ňom povedal, že:
  1. Je deliteľné číslom 13.
  2. Jeho prvé aj posledné dvojčíslie sú dvojciferné prvočísla.
  3. Ak sčítame prvé a posledné dvojčíslie, dostaneme druhú mocninou nejakého celého čísla.
  4. Cifra na mieste stoviek je o 4 menšia ako najväčšia cifra (alebo cifry).
  5. Ciferný súčin je deliteľný číslom 49.
Zistite, aký je kód od brány.

Poznámka: Druhú mocninu čísla dostaneme tak, že dané číslo vynásobíme sebou samým.
Poznámka 2: Ciferný súčin čísla dostaneme tak, že postupne vynásobíme všetky jeho cifry.

„Máme to!“ zvolal Michard a zadal kód do brány, ktorá sa so škrípaním otvorila. Pred našimi dobrodruhmi sa rozprestrel park, ktorým viedla vydláždená cestička so zaujímavým vzorom.

7. príklad - Zadanie

Vzor dlaždíc vyzerá asi takto: Má tvar obdĺžnika ABCD, kde je na strane CD vyznačený bod X rôzny od bodov C a D. Cez bod C je vedená rovnobežka s priamkou AX, ktorá pretína priamku AD v bode Y. Určte pomer obsahov trojuholníkov XDY a ABX.
Dobrodruhovia potichu kráčali parkom, obzerajúc sa na všetky strany, aby ich náhodou niečo neprekvapilo. Park vyzeral veľmi pokojne až na to, že bol až príliš pokojný a tichý. Ani jeden jediný lístok na strome sa nepohol, vánok nezafúkal. Ich šuchotajúce kroky boli to jediné, čo bolo počuť na míle ďaleko. Po pár minútach chôdze sa ocitli pred vchodom do budovy. Na dverách bol jednoduchý nápis a pod ním okienko: „VLOŽTE 42 GRAMOV“. Dobrodruhovia sa jeden na druhého začudovane pozreli. „Čo to znamená?“ spýtala sa Ena šepotom, ako keby sa bála narušiť ticho. „Asi máme použiť tamtú reťaz a tie kliešte,“ povedal Michard ukazujúc na zvinutú reťaz na zemi.

8. príklad - Zadanie

Dobrodruhovia majú reťaz so 150 článkami, z ktorých každý váži 1 gram. Nájdite najmenší počet článkov, ktoré musia kliešťami zlomiť, aby boli schopní kombináciou niekoľkých častí reťaze vytvoriť všetky hmotnosti 1 gram, 2 gramy, ... , 149 gramov, 150 gramov. Zlomený článok tiež váži 1 gram.
Po vložení štyridsiatich dvoch gramov do okienka sa dvere otvorili a za nimi stál postarší pán. „Vitajte, ja som strážca tohto domu, čomu vďačím za vašu návštevu?“ spýtal sa našich dobrodruhov. „Toto je Knižnica všetkých odpovedí?“ spýtala sa Ena. „Pssst,“ ticho ju okríkol Michard, aby nehovorila o knižnici pred obyvateľmi tohto sveta. „Knižnicu hľadáte?“ povzdychol si strážca, „Niekde by tu mali byť dvere vedúce aj do nej. Ak budete mať šťastie možno budú aj otvorené. Poďte za mnou.“ Strážca im pokynul, aby ho nasledovali a naši dobrodruhovia sa opatrne vybrali za ním.

9. príklad - Zadanie

V dome je na dlhej rovnej chodbe 100 dverí označených číslami od 1 do 100. Dvere majú špeciálne zámky, v ktorých možno neobmedzene veľakrát otočiť kľúčom v smere hodinových ručičiek. Po prvom otočení sa dvere odomknú, po druhom otočení sa zamknú, po treťom otočení sa odomknú, po štvrtom sa opäť zamknú, a tak ďalej. Na začiatku sú všetky dvere zamknuté. V noci príde postupne 100 ľudí. Prvý človek otočil kľúčom vo všetkých dverách. Druhý človek otočil kľúčom v každých druhých dverách. Tretí človek otočil kľúčom v každých tretích, štvrtý človek v každých štvrtých, a tak ďalej až nad ránom stý človek otočil kľúčom len v stých dverách. Ktoré dvere budú ráno odomknuté?
„Máte to ale šťastie, tieto dvere včera neboli odomknuté,“ poznamenal strážca, keď pristúpil k jedným z dverí, „tadiaľto sa dostanete priamo do Knižnice všetkých odpovedí, snáď nájdete aj tú, ktorú hľadáte.“ Dobrodruhovia sa poďakovali za pomoc a postupne prešli cez dvere do príjemne osvetlenej veľkolepej miestnosti. „Vy ste tí noví pomocníci?“ ozval sa zrazu hlas, „Som tak rada, že vás poslali, prosím pomôžte mi rozmiestniť tieto informácie na ich miesta.“ Podišla k nim pani v okuliaroch a podala každému z nich ťažkú krabicu.

10. príklad - Zadanie

Miestnosť je rozdelená na a\times b políčok. Koľkými spôsobmi vieme do nej rozmiestniť informácie tak, aby v každom riadku bol párny počet informácií a v každom stĺpci nepárny počet informácií? Na každom políčku môže byť len jedna informácia.
„Prepáčte mi, ale my nie sme žiadni pomocníci,“ ozval sa Mertor, keď poukladali všetky informácie. „Nie?“ začudovala sa pani v okuliaroch, „A kto ste potom?“ „Prišli sme nájsť odpovede do Knižnice,“ odpovedal Vikiel. „Aha, takže ste zákazníci. Ospravedlňujem sa, ale tých tu veľa nemávam,“ povedala pani v okuliaroch, „nasledujte ma.“ S tým sa pobrala popri množstve miestností s mihotavými informáciami na podlahe v každej z nich. „Čo by ste chceli vedieť?“ spýtala sa pani s okuliarmi, „Chcete zistiť ako sa správne ukladajú ovce na pastvinu?“ „To tu máte odpoveď i na to?“ spýtal sa zaskočene Michard. „Samozrejme, máme tu odpoveď na všetko. Počkajte tu,“ povedala im a vbehla do jednej miestnosti zoberúc jednu informáciu a potom sa k nim vrátila a vložila ju Michardovi do ruky. Tomu sa zrazu pred očami začalo prehrávať video.

Prémia 1 - Zadanie

Lúka pozostáva zo štvorčekovej siete 26\times 26. Nachádzajú sa na nej vlci (V) a ovce (O). Chcete na lúku vyhnať aj svojich 60 zvyšných oviec, no nechcete, aby ich zožrali vlci ani aby sa ovce pobili o trávu a preto musí platiť nasledovné:
  1. Na jednom políčku je vždy najviac jedno zviera.
  2. Všetky ovce musia byť v jednej oplotenej oblasti. Plot prechádza jedine po stranách štvorčekov a musí byť súvislý.
  3. Žiaden vlk nemôže byť v oplotenej oblasti.
  4. Aby sa ovce nepobili, každá môže mať na ôsmich políčkach okolo seba najviac jednu inú ovcu.

Rozostavte zvyšných 60 oviec a postavte plot tak, aby bol obvod plota čo najmenší. Ovcami, ktoré sú už na lúke, nemôžete hýbať.

Video skončilo a Michard sa poobzeral okolo seba a povedal: „Tak zbytočnú informáciu som ešte nedostal.“ „Tak po akú odpoveď ste sem prišli?“ spýtala sa pani v okuliaroch, ktorá si ich pozorne obzerala. „Chceme zistiť ako sa vieme dostať naspäť do nášho sveta,“ odvetila Ena. „Takže vy ste z vonku,“ zamyslela sa pani s okuliarmi, „uvidím, čo nájdem. Zatiaľ ma tu počkajte.“ A s tými slovami zmizla a našim dobrodruhom nezostalo nič iné len čakať na jej návrat.