Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 3. kola

Termín: 03. máj 202122:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk
Lychondražej zase raz spadol na zem. Občas to síce vyzeralo, že sa nezlepšuje, ale nebolo to tak. Osemnáste poschodie mu robilo čím ďalej, tým menší problém. Vyzeralo to tak, že na ľubovoľné poschodie sa vie dostať za konečný čas. Táto myšlienka (ktorú prečítal na plagáte, ktorý vyvesila AnkaP) ho podvedome povzbudila, aby si kúpil ešte viac jednorazového vybavenia.

1. príklad

Lychondražej si kúpil dohromady 30 kusov vybavenia štyroch druhov - lampové oleje, laná, bomby a leukoplasty. Z každého druhu si kúpil nepárny počet vybavenia. Kúpil si viac leukoplastov ako lán a menej olejov ako bômb. Koľko najviac si mohol kúpiť lán a olejov dokopy?

A naozaj - Lychondražej veľakrát vyšiel na osemnáste poschodie a veľakrát z neho spadol, až sa mu raz konečne podarilo dostať sa cezeň bez spadnutia.

Spadol až hneď po tom, ako sa dostal na devätnáste poschodie.

To ale nevadilo, pretože bol veľmi namotivovaný. Chcel sa na vrch dostať čo najskôr a preto sa rozhodol, že si v obchode kúpi to najlepšie, čo majú: Raketové Sandále Celestiálneho Grálu. Stáli ale veľa, takže si musel od AnkyP vypýtať naspäť peniaze, ktoré si u nej nedávno odložil (trochu jej síce za stráženie jeho peňazí musel platiť, ale aspoň mu ich nikto v hrade nemohol ukradnúť).

2. príklad

Sandále boli veľmi drahé. \frac{7}{11} ich ceny zaplatil Lychondražej z peňazí, ktoré mal vo vreckách, zvyšné \frac{4}{11} pochádzali z jeho účtu (žiadne iné peniaze z účtu nevyberal). Týmto minul štvrtinu peňazí, ktoré mal na účte, a vo vreckách mu ostalo 99 peňazí. Pokiaľ na začiatku bol pomer peňazí v jeho vreckách ku peniazom na jeho účte 5:2, koľko stáli sandále?

Takto to nejakú dobu pokračovalo. Lychondražej sa stával v zdolávaní hradu čoraz lepším a lepším a kupoval si v obchode všetko, čo pri výstupe potreboval. Netrvalo dlho a Lychondražej sa bežne dostával na jedno zo štyroch najvyšších poschodí. Tieto poschodia boli zo všetkých najnebezpečnejšie a každé strážil jeden mocný kapitán alebo kapitánka.

Títo štyria sa poznali a radi spoločne vymýšľali mätúce hádanky, ktorými by ešte viac pomýlili dobýjajúcich sa rytierov.

3. príklad

Štyria strážcovia - kapitáni alebo kapitánky povedali tieto štyri výroky:

Práve dva z týchto výrokov sú pravdivé. Ktoré zo štyroch najvyšších poschodí stráži ktorý strážca, a aké sú ich pohlavia, pokiaľ sú medzi nimi dvaja kapitáni a dve kapitánky?

Lychondražej bol ale nezastaviteľný a pomaly, ale isto sa prebojoval aj cez posledných strážcov (aj keď ho to stálo od AnkyP nemalé množstvo peňazí). Až sa nakoniec jedného osudného dňa dostal na samotný vrchol hradu. Zistil ale, že jeho cesta sa ešte nekončí, pretože od princeznej ho ešte delí zákerné bludisko.

4. príklad

Bludisko sa skladá zo 121 miestností usporiadaných v mriežke 11\times 11, ktoré sú pospájané chodbami. Miestnosti majú tvar kruhu s dierou v strede (takže sa dá chodiť iba po obvode) a jediný povolený smer pohybu je proti smeru hodinových ručičiek. Celý okruh po obvode miestnosti má dĺžku 4 metre. Z každej miestnosti vedú chodby do susedných miestností (vpravo, vľavo, hore a dole) a všetky majú dĺžku 10 metrov. Lychondražej začína v miestnosti v pravom dolnom rohu bludiska, pred vstupom do jednej z chodieb. Odtiaľ sa musí dostať do ľavého horného rohu, pričom po chodbách môže chodiť iba smerom doľava a hore, a potom sa zase musí vrátiť do pravého dolného rohu, pričom po chodbách môže chodiť iba smerom doprava a dole. V žiadnej miestnosti naraz neprejde viac ako 4 metre (keď odíde do inej miestnosti a vráti sa, môže zase prejsť až 4 metre). Aké možné vzdialenosti pritom môže celkovo nachodiť?
Lychondražejovi sa nakoniec konečne podarilo princeznú v bludisku nájsť. Bol taký šťastný, že sa mu to podarilo a hrdý na svoj výkon, že si ani neuvedomil, že “princezná” je AnkaP s veľkou parochňou. “Gratulujem Lychondražej, tvoja misia bola úspešná. Takmer. Musím ťa požiadať ešte o jednu maličkosť” povedala AnkaPrincezná. “To znie jednoducho! Dostal som sa až sem, určite tvoju úlohu splním, o čo ide?” AnkaP mu odpovedala: “Necítim sa tu na vrchu hradu dostatočne bezpečne. Potrebujem, aby si mi postavil poschodie. Vieš stavať z tehál s pomocou magickej malty? Funguje takto:”

5. príklad

Tehly sú na seba poukladané v tvare kosoštvorca, ako na obrázku. Vrchná tehla má silu 1. Každá iná tehla má silu, ktorá je súčtom síl všetkých tehál, ktoré sa jej dotýkajú zvrchu (väčšinou sú dve, občas môže byť len jedna). Na niektoré z vyznačených miest ale môžeme naniesť čarovnú maltu, ktorá spôsobí, že oddelí dve tehly - teda sila spodnej tehly v tomto prípade bude iba súčtom síl tých tehál na nej, ktoré od nej nie sú oddelené čarovnou maltou (teda pokiaľ je celý vrch nejakej tehly natretý maltou, bude jej sila 0). Koľkými spôsobmi môžeme natrieť maltu tak, aby spodná tehla mala silu 15? A čo tak 35?
Zatiaľ čo sa Lychondražej pripravoval na stavbu, AnkaPrincezná konečne sfinalizovala svoj návrh tohto poschodia. Namiesto jednoduchej šachovnice, ako si ho predstavovala skorej, bude fungovať trošku zložitejšie. Budú tam tri krby a… To teraz nie je podstatné. Lychondražeja zaujíma iba jeho tvar.

6. príklad

Stavané poschodie má tvar kruhu. Na jeho obvode sú krby A, B a C, v jeho strede je schodisko nahor S. Priamky AS a BC sa pretínajú v bode D. Pokiaľ bod B leží na úsečke CD a úsečka SC je rovnako dlhá ako úsečka BD, aký je pomer veľkosti uhlov ASC a SDB?
Jediné čo zostávalo, bolo, aby Lychondražej poschodie postavil. Ale AnkaP z Lychondražeja chcela vyťahať ešte nejaké peniaze, preto mu ako AnkaPrincezná nedovolila len tak jednoducho a zadarmo poschodie postaviť. Žiaľ, sklad tehál sa nachádza úplne inde ako vrchol hradu. Vyzerá to tak, že Lychondražej sa bude musieť medzi vrchom a skladom opakovane prebojovávať, pričom zakaždým môže na vrch preniesť jednu tehlu.

7. príklad

Lychondražej nosil tehly medzi skladom a vrchným poschodím, ktoré sa obe nachádzali v nejakých výškach hradu. Platí, že jedno z týchto miest sa nachádza 419 schodov nad zemou, a druhé nejaký prvočíselný počet schodov nad zemou. Presne v strede medzi nimi sa nachádza miesto, kde si Lychondražej môže odpočinúť, a je zaujímavé, že sa tiež nachádza prvočíselný počet schodov nad zemou. Aké môžu byť dve neznáme prvočíselné výšky, pokiaľ vieme, že ich rozdiel nie je násobkom 6?
Kým sa Lychondražej pustil do práce, AnkaP už začala objednávať ohnivé príšery, ktoré budú poschodie strážiť. Kým sa sem stihnú dopraviť, Lychondražej už bude takmer hotový. Išlo mu to veľmi rýchlo, až bolo AnkeP ľúto, že si od nej na to nekupuje tak veľa vecí. Teraz ale musela rozvrhnúť, v ktorom krbe budú ktoré príšery bývať. Niekde našla na ohnivé príšery staré kupóny, tak sa rozhodla, že ich použije a ušetrí.

8. príklad

AnkaP má vďaka kupónom nárok na 25 spopoľňujúcich salamandrov (S) a 35 magmatických molochov (M). Do tieňového krbu (T) musí umiestniť 15, do kamenného (K) 24 a do vulkanického (V) 21 príšer. Ubytovanie každej jednej príšery ju ale bude stáť niekoľko peňazí podľa toho, do ktorého krbu ju umiestni, ako vidíme v tabuľke:
T K V
S 80 60 100
M 100 120 80
AnkaP chce, ako inak, minimalizovať koľko ju to bude stáť. Koľko najmenej ju môže stáť ubytovať všetky príšery? Nezabudnite aj zdôvodniť, prečo ju to nemôže stáť menej.
Posledné, čo zostávalo urobiť, bolo spraviť Lychondražejovi poriadne vybavenie (samozrejme si ho zaplatí sám). AnkaP mu navrhla obrovský meč z najdrahších vecí čo našla a štít so vzorom, ktorý vyzeral čo najkomplikovanejšie, aby sa zdalo, že je veľmi drahé ho urobiť. Vyzeral takto:

9. príklad

Štít mal tvar štvorca so stranou 1 meter. AnkaP spojila stred každej strany s dvomi vrcholmi opačnej strany (ako vidíme na obrázku). Aký je obsah vyfarbenej hviezdy?
A tým bolo všetko dokončené. Lychondražej bol pripravený a strážil svoju princeznú na dvadsiatom deviatom poschodí, rovnako ako všetci strážcovia na poschodiach pod ním. AnkaP už ale myslela aj na budúcnosť a mala vymyslené, čo robiť, až raz jej hrad dosiahne stavebný limit. Porazí zvyšok ľudstva v hre, ktorej hovorila pyramídová schéma, pretože je o pyramídach.

10. príklad

Hrá sa na nekonečnej rovine. Na začiatku na nej nie sú žiadne pyramídy ani mestá. Potom sa v ťahoch strieda AnkaP a zvyšok ľudstva. Začína AnkaP, ktorá si zvolí bod, do ktorého umiestni pyramídu. Potom zvyšok ľudstva umiestni do n bodov mestá, pričom n je prirodzené číslo, ktoré počas celej hry zostáva rovnaké. Potom AnkaP umiestni ďalšiu pyramídu, zvyšok ľudstva ďalších n miest a tak ďalej. Pokiaľ je v nejakom bode pyramída alebo mesto, už sa tam nedá postaviť ďalšia pyramída ani mesto. AnkaP spôsobí kolaps ľudskej civilizácie v momente, keď nejaké jej tri pyramídy tvoria rovnostranný trojuholník, a tým vyhrá.
V závislosti od n určte, či dokáže AnkaP vyhrať a ak áno, koľko najmenej na to potrebuje ťahov. Predpokladáme, že ľudstvo hrá najlepšie ako vie a to tak, aby AnkaP nevyhrala, alebo aspoň aby vyhrala čo najneskôr.
Kde bolo tam bolo, v krajine za 14\pi sinusoidy, kde harmonické rady divergovali a suma fibonacciho čísel na mínus prvú konvergovala, bol na vrchu jednej skaly raz zakliaty hrad. Na samotnom vrchu tohto hradu sa nachádza princezná, ktorú stráži 29 strážcov na 29 poschodiach. Už mnoho (približne 29) rytierov sa ju pokúšalo zachrániť, no neúspešne. Alebo? Nikto nevie, žiaden z nich sa totiž nevrátil. Ale teraz sa pozrime bližšie! Ku hradu sa blíži statočný rytier, tomuto sa už isto podarí princeznú zachrániť. Jeho meno je ale ešte nevysloviteľnejšie ako meno toho predchádzajúceho...

Prémia 1

Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Nájdite čo najkratšiu postupnosť písmen takú, že mohla byť rytierovym menom. Viete, že pre jeho meno platí:

Pre ilustráciu uvádzame príklad, ako by také meno mohlo vyzerať, keby sme v druhej podmienke vyžadovali iba prvočísla do 10:

"sedevamataripäť"

Vidíme, že v tomto slove sa striedajú spoluhlásky a samohlásky a takto z neho vieme dostať jednotlivé prvočísla:

Dĺžka takéhoto mena je 16.

Poznámka: Za samohlásky považujeme písmená a, á, ä, e, é, i, í, o, ó, u, ú, y, ý, za spoluhlásky považujeme písmená b, c, č, d, ď, f, g, h, j, k, l, ľ, ĺ, m, n, ň, p, q, r, ŕ, s, š, t, ť, v, w, x, z, ž. Zoznam prvočísel nájdete napríklad tu . Pozor na správny pravopis čísloviek.