Zadania 3. kola

Tony si dnes, ako v každý iný deň, išiel zaplávať. Prišiel na plaváreň, prezliekol sa a zamkol za sebou skrinku. Vtom si uvedomil, že si zabudol v skrinke okuliare. Ale nezabudol len okuliare, ale aj kód od svojho číselného zámku. Jediné čo si pamätá je, že kód je zložený z 3 rôznych číslic. Súčet všetkých trojciferných čisel, ktoré sa dajú vytvoriť z týchto číslic je 1554. Pomôžte Tonymu nájsť kód ak viete, že kód je najmenšie číslo vyrobené z týchto 3 cifier.

O Mirovi je všeobecne známe, že je klamárom. Miro ale nie je obyčajný klamár, on je špeciálny klamár. On totiž klame len 6 dní v týždni a siedmy hovorí pravdu. Miro nám v každom z 3 po sebe idúcich dní povedal 1 tvrdenie.

• Deň 1.: Klamem v pondelok a utorok.
• Deň 2.: Dnes je štvrtok, sobota alebo nedeľa.
• Deň 3.: Klamem v stredu a piatok.

Zistite, v ktoré dni hovoril Miro tieto tvrdenia a v ktorý deň hovorí pravdu.

Elin brat Tono sa nudil na rodinnej oslave. Ela si to hneď všimla a rozhodla sa zabaviť svojho brata takouto úlohou. Ela doniesla tri prázdne poháre. Najprv naplnila najmenší a stredne veľký pohár až po okraj vodou. Potom preliala vodu z oboch pohárov do najväčšieho a tým zaplnila polovicu jeho objemu. Ela znova naliala do stredne veľkého pohára vodu až po okraj. Z tohto pohára preliala vodu najprv do najmenšieho pohára a potom zvyšok preliala do najväčšieho pohára. Po tomto preliatí bol najväčší pohár do \frac{2}{3} zaplnený vodou. Potom sa Ela svojho brata spýtala, aký objem má najmenší a najväčší pohár, ak objem stredne veľkého pohára je 6 decilitrov? Pomôžte Tonovi zistiť objemy, aby pred Elou nevyzeral ako úplný hlupák.

Miško si rád delí svoje cukríky na kôpky. Na svoje meniny dostal od babky taký počet cukríkov, že všetky cifry v tomto počte boli rovnaké. Dokážte, že vždy pokiaľ vie takýto počet cukríkov rozdeliť na 72 rovnakých kôpok, tak ich vie rozdeliť aj na 37 rovnakých kôpok. (Pozn.: cukríky nevieme rozlomiť)

Vedúci majú aj svoju umeleckú stránku. Napríklad umelkyňa Hanka sa rozhodla nakresliť moderný obraz. Najprv nakreslila obdĺžnik a potom nad každou jednou jeho stranou nakreslila štvorec smerom von. Záverečným detailom bolo dokreslenie zelených bodov, ktoré boli stredy tých štyroch štvorcov nad stranami obdĺžnika. Vtom jej ale do ateliéru vtrhol Maťko a vyhlásil, že tie zelené body sú štyri vrcholy štvorca. Dokážte, že mal pravdu.

Tridsiati vedúci sa stretli v kaviarni. Každý z nich ochutnal nejaký koláč. Na výber bolo šesť druhov koláčov. Niektorí z nich boli viac maškrtní ako iní a tak polovica zo všetkých vedúcich ochutnala aspoň tri rôzne druhy koláčov. Zároveň tretina vedúcich ochutnala viac ako tri druhy koláčov. Kvôli zvláštnemu vzhľadu nikto z vedúcich neochutnal pistáciový koláč. Ukážte, že niektorý zo zvyšných piatich druhov koláčov ochutnalo menej ako dvadsať vedúcich.

Kubo sa hral takúto hru. Hrací plán má tvar kruhu, ktorý je rozdelený na 10 častí. V každej časti je 9 cukríkov. V jednom ťahu vieme presunúť 1 cukrík z jednej časti do susednej. Za susedné považujeme tie časti, ktoré sa dotýkajú aspoň jedným bodom. Kubo sa s Maxom stavil, že keď presunie všetky cukríky do jednej časti na presne 2020 ťahov, môže zjesť všetky cukríky, ktoré boli na plániku. Maxo chce vyhrať stávku, ale nevie si s tým poradiť. Dokáže, bez ohľadu na rozdelenie plánu, vždy splniť Kubovu podmienku?

Príklady rozdelenia na 4 časti:

Maťko navštívil novootvorenú galériu moderného umenia. Jedno z diel bol zaujímavý obraz, ktorí Maťka tak zaujal, že si ho hneď prekreslil do svojho zošita. Keďže galériu onedlho zatvárali, stihol si Maťko obkresliť iba jeho rám. Doma zistil, že ten rám je v tvare rovnobežníka. Rovnobežník si pomenoval ABCD. Potom si zvolil body K, L, M a N, ležiace na stranách rovnobežníka ABCD tak, že pomer úsečiek AK:AB je rovnaký ako pomer BL:BC a ten je taký istý ako pomer CM:CD a ten je zase rovnaký ako pomer DN:DA. Potom si zvolil ľubovoľný bod vnútri rovnobežníka ABCD, pomenoval si ho I a spojil ho s bodmi K, L, M a N. Takto vznikli štyri štvoruholníky. Maťko začal počítať ich obsahy, ale bolo už veľa hodín a bol unavený, preto nestihol vypočítať všetky obsahy. To, čo stihol vypočítať, je vidieť na obrázku. Pomôžte Maťkovi a vypočítajte obsah posledného štvoruholníka. (Pozn.: Obrázok je len ilustračný.)

Merlinovi a Imrovi odpadla hodina a tak sa zabávali tým, že sčítavali za sebou idúce prirodzené čísla. Takto ich stretol aj Miško, ktorý sa po škole prechádzal s triednou knihou. Spýtal sa ich, či už im niekedy vyšiel súčet 20480. Priznali sa, že k takému súčtu sa ešte nedostali. A tak sa rozhodli, že nájdu všetky spôsoby ako vedia sčitovať za sebou idúce čísla tak, aby dostali takýto súčet. Nájdete ich všetky aj vy?

Paľo sa hral svoju obľúbenú hru Battleships. Keď ju však vyriešil za minútu, tak si povedal, že je to moc ľahké. Preto začal googliť a našiel si nový zaujímavý plánik do ktorého musí umiestniť lode 1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3 alebo 1 \times 4. Žiadne dve lode sa nemôžu dotýkať a to ani rohom. Všetky polia lodí musia byť v niektorom z naznačených štvorčekov. Pomôžte Paľovi umiestniť lode tak, aby bolo čo najviac políčok súčasťou lode.