Zadania 2. kola

Termín: 06. apríl 2020 22:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk

"Zachovajte prosím pokoj, cestujúci, situáciu máme plne pod kontrolou" ozval sa pilot lietajúceho taniera Miro. Nebola to pravda, keďže kontrolu nad lietajúcim tanierom stratil už pred nejakým časom, vďaka čomu teraz už lietajúci tanier nebol lietajúci, ale stroskotaný. "Radi by sme vás uistili, že na slávnostné vyhodnotenie Intergalaktickej Matematickej Olympiády sa dostaneme včas!"

1. príklad

Kategórie:

V prvej desiatke súťažiacich sa na vyhodnotení IMO umiestnili dvaja Aldebarančania, dvaja Boötesčania, dvaja Canopusania, dvaja Delfíni a dvaja Electránci. Reprezentanti od Aldebaranu mali priemerné umiestnenie 5{,}5, z Boötes 9, od Canopusu 7{,}5, Delfíni 3 a od Electry 2{,}5. Ako sa umiestnili ktorí reprezentanti?

Samozrejme, cestujúci na palube stroskotaného taniera sa o umiestnení reprezentantov nedozvedeli, pretože nemali spôsob ako sa na vyhodnotenie dostať včas. "Podľa môjho času už vyhodnotenie prebieha" povedal Kubo, jeden z cestujúcich. "Myslím, že by sme teraz mali prestať myslieť na vyhodnotenie a pokúsiť sa nejako dostať z tejto planéty" povedala Ela, ktorá pred pár dňami prečítala knižku o prežití na necivilizovaných planétach. "Najprv musíme uloviť večeru. Už mám pripravenú sonickú pušku, ulovím niečo v tomto lese".

2. príklad

Kategórie:

Les má veľmi zvláštny tvar. Určte všetky možné X a Y, ak viete, že sú to celé čísla, všetky uhly medzi susednými stranami sú pravé, čiara ohraničujúca les sa nepretína ani sa nedotýka samej seba. Náčrt je iba orientačný, jedine čísla sú presné.

Keď Ela ulovila divú sviňu, priniesla ju naspäť do tábora. Na jej veľké prekvapenie ostatní už jedli. "Keď si odišla, Miro si spomenul, že v stroskotanom tanieri sú zásoby jedla na mesiac" povedal jej Kubo. "Aha" povedala a pustila sviňu na slobodu (sonické pušky nedokážu nikoho vážnejšie zraniť). To ale nemala robiť, pretože sviňa našla zásobu jedla na mesiac a začala ju vyjedať.

3. príklad

Kategórie:

Divá sviňa vošla z ľavého konca do chodby, v ktorej sa nachádzalo niekoľko krabíc s jedlom – prvá tretina krabíc zľava obsahovala po 8 porciách, nasledujúca tretina krabíc po 7 a posledná tretina po 5. Najprv sviňa vyjedla krabicu s 8 porciami, ktorá stála úplne na začiatku radu, a potom postupovala ďalej a vyjedala bez vynechania jednu krabicu za druhou. Než sa prejedla a odpadla, vyjedla 25 krabíc, každú doplna. Keď ju stroskotanci našli, všimli si, že ak by začala z druhého konca a vyjedla tiež 25 krabíc, zjedla by o 33 porcií menej. Koľko krabíc bolo na začiatku v chodbe?

Po tomto sa všetci rozhodli sviňu predsa len upiecť. Už sa začalo stmievať, tak Ela spravila oheň a Havoš, ktorý ako jediný vedel variť niečo komplikovanejšie ako špagety, spravil vesmírny guláš (to je ako normálny guláš, iba vesmírny, ale v tomto prípade vesmírny nebol, takže to bol iba obyčajný guláš). "Musíme zistiť, na akej planéte sa to nachádzame" povedal Viktor, ktorý študoval astrológiu. "Nevydržím dlhšie takto nevedieť, kde je Saturn voči Venuši" "Vedel by som z polôh hviezd vypočítať našu polohu, ale všetka výpočtová technika sa nám pri havárií z nejakého dôvodu pokazila - nevieme ani skontaktovať pomoc" povedal Maťko, ktorý sa v IMO umiestnil na treťom mieste, ale ešte o tom nevedel, keďže stroskotal. "Našťastie poznám spôsob, ako počítať do nespočítateľného nekonečna na prstoch.”

4. príklad

Kategórie:

Maťko počíta na prstoch tak, že začne pri palci na 1, potom ukazovák je 2, …, malíček je 5. Potom sa vracia a prsteník je 6, prostredník 7, …. Ktorý prst je 2020?

"Pozoruhodné, sme na nepreskúmanej planéte úplne mimo pôvodnej trasy!" povedal Maťko. "Ajaj, Jupiter je v rovnakom smere ako Mars. Aj ako Venuša. Aj Saturn a Merkúr a Mesiac a Slnko. Vlastne aj Zem, ale tá v astrológií nie je podstatná" "Máš pravdu, veľmi zvláštne" povedal technik Jerguš ktorý sa pri nich zrazu objavil. "Myslím to čo povedal Maťko, nie Viktor. Mám taký pocit, že niekto nás sem chcel dostať naschvál, čo keby sme sa ráno pozreli do čiernej skrinky?"

5. príklad

Kategórie:

Čierna skrinka je zamknutá na trojciferné heslo. Nájdite jeho nenulové cifry x, y a z také, aby:

xyz bolo deliteľné 46
yxxy bolo deliteľné 7
xxzx bolo deliteľné 3

“Je tu zaznamenané, že nás na túto planétu niekto pritiahol nejakým magnetickým paprskom. Sú tu aj približné súradnice” “Mali by ste sa tam čo najskôr pozrieť” povedal ihneď Jerguš “Ja tu zostanem a pokúsim sa zistiť, kto by nám niečo takéto mohol spraviť. Časť stroskotancov sa teda začala pripravovať na výpravu. Pobalili rozličné vybavenie, ktoré by sa im mohlo zísť, ale na poslednú chvíľu si Šálka spomenul, že si zabudol v tanieri šálku, aby si mal kam naliať z termosky nevesmírny guláš. Rýchlo sa po ňu vrátil, no všimol si veľmi zvláštnu vec - Jerguša nikde nebolo. Čierna skrinka bola odkedy sa do nej spolu pozerali nedotknutá. Prezrel rôzne miestnosti, až si všimol zvláštne svetlo vzadu za haraburdami. Nachádzala sa tam zvláštna plošinka pripojená k žiariacemu kryštálu podivného tvaru, na ktorom bolo napísaných niekoľko čísel.

6. príklad

Kategórie:

Kryštál mal tvar, ako vidíme na obrázku, teda hranol s mnohouholníkovou základňou a ihlanom s rovnakou základňou navrchu. V každom vrchole sa nachádza nejaké prirodzené číslo, pričom súčet čísel na každej stene (vrátane spodnej steny na zemi) je rovnaký. Koľko strán má základňa kryštálu, ak v niektorých jeho vrcholoch sú čísla 7, 8, 9 a 216?

Šálka sa zo zvedavosti postavil na plošinku a zmizol.

Ostatných už nebavilo čakať na Šálku, tak sa vybrali na cestu bez neho. “Také zvláštne, že navigácia funguje, keď všetky ostatné počítače sa pokazili. Má niekto iný tiež pocit, že keď sme ju predtým skúšali, tiež nefungovala?” začudoval sa Miško. “Aj mne sa zdá, ale...” “Dávajte si veľký pozor, idete do tmavého lesa” objavil sa pri nich zrazu hologram Jerguša. “Tebe funguje holograf?” spýtal sa Miško. “Samozrejme, veď som predsa jasnovi… teda technik, opravil som ho, som predsa technik. Ale k veci! Podarilo sa mi získať satelitné snímky, budem vám hovoriť, kade sa dá ísť”.

7. príklad

Kategórie:

Tmavý les (iný ako ten v úlohe 2) má tvar trojuholníka ABC, kde strana BC je dvakrát taká dlhá ako strana AB. V strede strany BC sa nachádza bod D a v strede AC sa nachádza bod S. Priesečníkom úsečiek AD a BS je bod E a bod F je stredom úsečky EA. Dokážte, že uhol ABF = EBD.

Keď sa dostali na čistinku, uvideli uprostred obrovský magnet. Bola na ňom obrazovka s klávesnicou a myšou a na nej bežal šetrič obrazovky. Keď pohli myšou, na obrazovke sa objavil rámček na heslo a nápis “zadajte heslo”.

8. príklad

Kategórie:

Na odomknutie počítača potrebujeme vyskúšať 39 po sebe idúcich prirodzených čísel. Dokážte, že nech sú ľubovoľné, vždy aspoň jedno z nich má ciferný súčet deliteľný 11.

Keď obrazovku odomkli, objavil sa na nej záznam z posledného používania magnetu: “Cieľ zameraný - lietajúci tanier s pasažiermi” “Aktivujem magnet” “Tanier pritiahnutý” “Ďakujeme za používanie magnetu na obete, teraz môžete pripraviť sopku na obetovanie pasažierov”

“Pozor! Musíte sa hneď vrátiť - prišiel som na to, čo nám chcú domorodí obyvatelia urobiť!” ozval sa zrazu Jergušov hologram. “Aha vy ste na to už prišli sami, tak nič” povedal hneď po tom, ani sa nepozrel na magnet. “Aj tak sa ale rýchlo vráťte, musíme ubrániť náš tanier” “Nie je lepší nápad utiecť niekam, kde nás nenájdu?” opýtal sa skeptický Danko. “Nie” odpovedal Jerguš. “Ale keď sa nás ná...”

“tak ok” vzdal to Danko. Keď sa vrátili, Jerguš už s ostatnými stroskotancami pripravoval obranu taniera. Na sile síce bude záležať, ale tá správna stratégia môže rozhodnúť o ich prežití.

9. príklad

Kategórie:

Okolie taniera si vieme predstaviť ako šachovnicu n×n. Na začiatku boja je každé políčko bezpečné tak na 99%. Potom sa v ťahoch striedajú útočníci s obrancami. V každom ťahu si vyberú taký riadok alebo stĺpec, v ktorom je každé políčko bezpečné aspoň na 1% a znížia bezpečnosť všetkých políčok v ňom o 1%. Prvá strana, ktorá je na ťahu a nevie si vybrať žiaden riadok ani stĺpec bez nebezpečného políčka prehráva. Určte všetky n, pre ktoré vyhrá začínajúca strana.

Traja zo stroskotancov sa postavili pred tanier - odvedú pozornosť od ostatných, ktorí budú medzi tým schovaní po stranách a potom na votrelcov zaútočia tiež. A naozaj - netrvalo dlho a priblížili sa domorodí obyvatelia - vyzeralo to síce, že sú len traja, no určite použili rovnaký trik ako obrancovia a v skutočnosti je ich viac. Niečo ale nebolo v poriadku, veľmi zvláštne sa pohybovali, ako keby skákali po presne určených miestach na zemi. Postupne sa ale dostali k teraz už mierne nudiacim sa stroskotancom a všimli si ich… ReKlAmNá PrEsTáVkA
O ou, stroskotali ste na nekolonizovanej planéte a domorodci vás chcú obetovať v sopke? Chýba vám prístup k internetu? Chcete skutočný vesmírny guláš, taký ktorý je naozaj vesmírny? Tak práve pre vás aj mnohých iných je tu spoločnosť Jergušove Futuristické Veci! Najmodernejšia technológia pre všetky situácie! Dnes sa pozrieme na náš najnovší prírastok - silové kachličky! Perfektné na boj s domorodcami! Ani neuveríte, aké jednoduché je vyskladať z jednotlivých dielov funkčné silové pole!

Prémia 1

Kategórie:

Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.

Umiestnite 2 sady všetkých dvanástich pentomín, červenú a modrú, do nekonečnej štvorčekovej mriežky tak, aby existovalo čo najviac bodov, ktoré su rohmi štyroch pentomín, dvoch červených a dvoch modrých oproti sebe.