Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 1. kola

Termín: 09. marec 202022:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk
“Dobré ráno rytier Paulus, prepáčte že vás takto ruším, ale kráľ Michal VII súrne potrebuje vašu asistenciu,” povedala slúžka Tatiana. “Vraj od toho závisí osud našeho kráľovstva, všetkých jeho ľudí, celého sveta a tak ďalej, takže by ste sa asi mali trochu poponáhľať,” dodala ešte. Rytier Paulus sa však úplne prebral až po jej odchode, myslel si že to, čo mu povedala, bol iba sen a preto sa vôbec neponáhľal.

1. príklad

Ako každé ráno Paulus išiel navštíviť kráľa Michala VII, išiel ale rôznymi okľukami po kráľovskom paláci. Jeho cestu vidíme na obrázku - prešiel postupne cez body A, B, C, D, E a F (smer menil iba v týchto bodoch), pričom trikrát prešiel nádvorím N v strede paláca. Aký je súčet šiestich uhlov, ktoré sú na obrázku vyznačené? Nezabudnite, že obrázok je iba ilustračný a meraním uhlov sa nedostanete k presnému výsledku.
Len čo sa konečne dostal do trónnej sály, Michal VII k nemu pribehol a povedal: “Konečne si tu, už sme si mysleli, že to spravili aj tebe!” “Kto mi mal čo spraviť?” spýtal sa preľaknuto Paulus. “Len sa pozri, čo sa v noci stalo trom vrchným radcom!”

2. príklad

Traja kráľovskí radcovia Romanus, Tetetínia a Zajo sa správajú veľmi zvláštne. Kráľovská lekárka Uľa zistila, že Romanus stále klame, Tetetínia vždy hovorí pravdu a Zajo klame ak je hladný, inak hovorí pravdu. Zároveň, ak je radca hladný, určite dnes niečo hovorí. Problém je v tom, že radcovia sú v karanténe a všetci sú zachrípnutí, takže sa nedajú rozoznať ani po vzhľade, ani po hlase. Uľa radcov pozorovala v priebehu troch dní, pre každý z nich zistite, ktorý radca sa ako volá a ktorí radcovia sú hladní:
  1. Deň:
    1. Radca: Ostatní dvaja radcovia klamú.
    2. Radca: Presne tak, ja aj 3. radca klameme.
    3. Radca: Nie som hladný. Ani 2. radca nie je hladný.
  2. Deň:
    1. Radca: Zajo nie je hladný.
    2. Radca: Prvý radca klame. Ja som hladný.
    3. Radca: Obaja zvyšní radcovia majú pravdu. Ja som Zajo. Nie som hladný.
  3. Deň:
    1. Radca: Volám sa Romanus.
“Čo sa im stalo?” čudoval sa Paulus. “To tí temní čarodejníci!” odpovedal Michal VII. “Prednedávnom sa objavili neďaleko paláca, jasnovidec Jerguš to všetko videl!” ”Presne tak Paulus,” znenazdajky sa ozval Jerguš, ktorý sa pri nich objavil, ”sú to nebezpeční černokňažníci, prišli sem ovládnuť naše kráľovstvo. Musíš ísť na dobrodružstvo a poraziť ich! Zober si tento Epický Meč Sily a môžeš ísť. “Na cestu si môžeš vziať jedného z mojich najlepších koní, určite sa ti zíde,” povedal kráľ.

3. príklad

Kráľ Michal VII má vo svojej stajni 8 najlepších koní, ktorých mená sú Pejko I, Pejko II, Pejko III a tak ďalej až po Pejka VIII (teda každý kôň má iné číslo od 1 do 8). Tieto kone sú usporiadané v nejakom poradí, pričom platí, že: Kde všade v poradí sa môže nachádzať Paulov obľúbený kôň Pejko II?
Rytier si zobral svojho obľúbeného koňa a hneď sa vydal na cestu. Netrvalo dlho a prišiel k malej dedinke s krčmou a keďže bol hladný, rozhodol sa najesť. Na jeho veľké prekvapenie sa ale v krčme nedalo jedlo kúpiť za peniaze, namiesto toho sa tam súťažilo o špecialitu šéfkuchára, cementové knedle.

4. príklad

O knedle sa súťažilo takto: na začiatku hry bolo na tanieri 42 knedlí a potom sa Paulus striedal v ťahoch s iným súťažiacim, zbojníkom Lámačom, pričom Paulus začínal. Vo svojom ťahu musí súťažiaci zjesť buď práve dve, alebo štyri knedle. Pokiaľ nemôže nič spraviť (na tanieri sú menej ako 2 knedle), prehral. Ktorý zo súťažiacich si vie zaručiť výhru bez ohľadu na to, čo ten druhý spraví?
Paulus sa na chvíľu zamyslel, preto prehral. Podľa pravidiel súťaže mal zaplatiť Lámačovi za všetky knedle, ktoré zjedol. Lámač, ale povedal, že mu bude stačiť, ak sa k nemu Paulus pridá na jeho výprave. “Na akej výprave?” spýtal sa Paulus. “Idem poraziť zlých čarodejníkov, ktorí sa tu objavili. Počul som, že spravili niečo zlé kráľovským radcom!” “Naozaj?” prekvapene sa spýtal Paulus, ktorý sa bál, že ak prezradí, že na toto dobrodružstvo sa vydal aj on sám, Lámač bude chcieť svoje peniaze. “Rád sa k tebe pridám, ak je to pre dobro kráľovstva.” Tak teda spolu pokračovali ďalej. Práve keď sa začalo stmievať, dostali sa k tmavému lesu. Už boli unavení, a nikto z nich nevedel ako zapáliť oheň, tak len dúfali, že nájdu nejakú chalúpku (každý vie, že v tmavých lesoch sa v noci vyskytujú chalúpky). Namiesto chalúpky, ale našli iba starú zrúcaninu podivného tvaru.

5. príklad

Na obrázku vidíme pôdorys starej zrúcaniny aj s niektorými dĺžkami a pravými uhlami. Akú dĺžku má strana označená otáznikom?
Vďaka tme im chvíľu trvalo všimnúť si, že časť zrúcaniny bola obývateľná a okrem toho z nej vychádzal dym. Keď prišli bližšie, všimli si dvere, tak na ne skúsili zaklopať. Po chvíľke im otvorila čarodejnica Sára, ktorá sa tvárila pomerne frustrovane. "Rada by som vás pohostila, mládenci, ale mám plné ruky práce s veľmi náročným zaklínadlom. Musím ho stihnúť spraviť ešte dnes, pretože planéty sa nabudúce správne zoradia až ďalší štvrtok a to budem na návšteve u rodičov, ktorí nie sú radi keď im čarujem v dome. Ak by ste mi však pomohli, určite by som sa vám odvďačila!"

6. príklad

Na kúzlo treba odrecitovať všetky päťciferné násobky 7, pre ktoré platí:
  1. súčet prvých troch cifier je 10
  2. súčet prostredných troch cifier je 10
  3. súčet posledných troch cifier je 10
Nájdite ich.
Keď čarodejnica Sára odrecitovala všetky čísla, objavil sa pred ňou vo vzduchu čarovný bankomat. Postláčala niekoľko tlačítiek a zobrala si peniaze. "Kam ste sa vôbec vybrali?" spýtala sa potom Paula a Lámača. "Ideme poraziť temných mágov, ktorí sa objavili na okraji nášho kráľovstva! Zakliali kráľovských radcov, teraz hovoria samé nezmysly!" "Hm… A to je všetko?" "Chcú ovládnuť naše kráľovstvo, povedal nám to Jerguš!" "Presne tak, sú to nebezpeční votrelci," povedal obraz Jerguša, ktorý sa pri nich zrazu objavil. "Nepochybne sa vás budú len pokúšať zmiasť, ak sa s nimi čo i len pokúsite dohodnúť - keď ich uvidíte musíte sa s nimi okamžite pustiť do boja!" "Nevedel som, že s nami viete takto na diaľku komunikovať!" začudoval sa Lámač. "Som jasnovidec, je súčasťou môjho povolania ovládať zaklínadlá, ktoré spravia, že ma jasne uvidíte." "Aha ok." povedal Paulus. "Pokiaľ je to takto, rada vám pomôžem," povedala Sára. Ale najprv si oddýchnime, už je neskoro. Keď sa ráno zobudili, Sára im ukázala mapu lesa, v ktorom sa nachádzajú. Bola to však čarodejná mapa, Paulus s Lámačom sa v nej nevyznali, preto videli iba rovnobežník s rôznymi inými útvarmi vo vnútri.

7. príklad

Majme rovnobežník ABCD a stredy jeho strán M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}, M_{DA}. Ďalej spravíme kružnice k_1, k_2 tak že majú stredy postupne v M_{AB}, M_{CD} a polomery |M_{CD} M_{BC}|, |M_{AB} M_{BC}|. Ukážte, že tieto dve kružnice sa pretínajú v bode M_{DA} a na priamke BC.
A tak teda pokračovali v ceste. "Už to nie je vôbec ďaleko, za týmto kopcom by sa mal nachádzať tábor tých zákerných černokňažníkov!" informovala ich Sára. Keď ale vyšli na vrchol kopca, žiaden tábor nikde nevideli. Namiesto neho videli iba malú dymiacu vec pripomínajúcu akýsi domček. "Tábor temných mágov sa maskuje ako akýsi domček. Musíte sa pozrieť cez túto tu vec, zabudol som ako sa to volá. To do čoho vhodíte peniaz a viete sa cez to potom pozerať ako cez ďalekohľad." povedal Jergušov obraz. A naozaj, hneď vedľa nich sa nachádzala taká tá vec, do ktorej vhodíte peniaz a viete sa cez ňu potom pozerať ako cez ďalekohľad. Vhodili do nej teda peniaz, čoskoro ale zistili, že tá vec, do ktorej vhodíte peniaz a viete sa cez ňu potom pozerať ako cez ďalekohľad, bola pokazená.

8. príklad

Vec, do ktorej vhodíte peniaz a viete sa cez ňu potom pozerať ako cez ďalekohľad, má v sebe celú sadu 81 setových kartičiek.

Koľko existuje platných setov, ktoré obsahujú aspoň jednu modrú kartičku?
Sety sú kartová hra. Každá setová karta má 4 vlastnosti: farbu, tvar, počet a výplň. Každá z týchto vlastností môže na karte nadobúdať tri stavy. Napríklad karta môže mať modrú, červenú alebo zelenú farbu. Balík obsahuje všetky rôzne kombinácie týchto vlastností, každú práve raz (teda celkovo 81 kariet). Setom nazývame v hre takú trojicu kariet, že pre každú z vlastností sú všetky stavy na kartách buď rovnaké, alebo rôzne.

Keď opravili tú vec, do ktorej vhodili mincu, pozreli sa cez ňu ako cez ďalekohľad. A naozaj - pod kopcom uvideli obrovský temný palác - boli nad ním víriace sa búrkové mračná s kopou bleskov a okolo neho zas obrovské jazero lávy. Našťastie sa cez lávu dalo prejsť po pätnástich kameňoch, ale najprv sa musia uistiť, že aspoň jeden z nich sa určite nemôže rozdeliť na menšie kamene, keď naň stúpia.

9. príklad

Každý z 15 kameňov je označený nejakým číslom od 2 po 2020, pričom čísla žiadnych dvoch kameňov nemajú spoločného deliteľa väčšieho ako 1. Dokážte, že aspoň jedno z čísel na kameňoch je prvočíslo.

Keď si zapamätali, kde je bezpečný kameň, vydali sa potichu dole kopcom. Až dorazili k miestu, kde sa podľa tej veci, do ktorej vhodili peniaz a potom sa cez ňu pozerali ako cez ďalekohľad, začínala neviditeľná láva, opatrne prešli miestom, kde sa kameň nachádzal. Popreskakovali cez neviditeľnú lávu zdvihli hlavy a zrazu pred sebou uvideli neznámu postavu. Stáli čelom voči trom černokňažníkom…

ReKlAmNá PrEsTáVkA

Určite to poznáte! Vaši hrdinovia idú čeliť temným zaklínačom, no nikdy sa nevrátia späť. A klasické prostriedky ako obyčajné kovové meče a brnenia im nepomáhajú! Nezúfajte, pretože spoločnosť Jergušove Magické Veci je tu! Nesmierne mocné artefakty, prastaré zvitky a primordiálne relikvie vašim hrdinom určite dodajú dostatok sily, aby sa tentokrát vrátili! A ak nie? Tak im ich nabudúce kúpte viac! Tak napríklad detektor falošnosti, chcete ho vidieť v akcií?

Prémia 1

Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Máme 130 zlatých nugetiek a dozvedeli sme sa, že jedna z nich je falošná. Na pohľad a dotyk sú úplne identické, ale nezúfajte! Máme predsa detektor falošnosti! Používa sa takto: Koľko najmenej zlatiek môžeme mať na účte, aby sme isto našli falošnú nugetku? Popíšte spôsob, vďaka ktorému určite nezaplatíme viac, bez ohľadu na to, ako bude detektor odpovedať.