Zadania 3. kola
Viktorovi sa čierňava pred očami pomaly rozpúšťala. Kde je? Čo sa stalo? Netušil. Pomaly sa ešte omámený zviechal. Vyzeralo to, že ležal na nejakej posteli v maličkej miestnosti s jedným veľkým oknom. Začínal tušiť, že táto realita nebude až tak príjemná, a táto predtucha sa po rýchlom pohľade na kalendár na stene a von z okna potvrdila. Nočná mora každého slovenského študenta. Koniec januára v Brne. Skúškové. Začal sa zdvíhať z postele, keď rukou zavadil o farebný kus látky.
„Dávaj bacha, vole!“ Viktor sa otočil.
Zamračene sa naňho pozeral akýsi iný študent z opačnej strany miestnosti.
„Nechaj na pokoji moju štátnu vlajku, rozumieš?“
Viktorovi sa halucinácie iba potvrdili, keď vlajku uvidel.
1. príklad
Vyzerala ako na obrázku a tú českú pripomínala iba farbami - modrou, červenou a bielou. Obdĺžnik vpravo dole bol modrý, pričom žiadne dve susedné oblasti nemali rovnakú farbu. Koľkými spôsobmi mohla byť vlajka vyfarbená?
Po neobratnom zoznámení Viktor zistil, že jeho spolubývajúci sa volá Mišo. A zistil aj, prečo má zlú náladu. Mišo sa totiž nevedel ani za svet dostať do svojho účtu v Counter-Strike, lebo zabudol svoje heslo. „Bol to PIN, mal iba cifry,“ povedal mu Mišo. „Ja som si hovoril, že to zabudnem, spísal som si teda nápovedy. Teraz to ale neviem dešifrovať.“
2. príklad
Mišovo heslo sa skladalo z cifier 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, každá práve raz. Súčet žiadnych troch po sebe idúcich cifier nebol deliteľný ani 2, ani 3. Mišo si tiež poznačil, že ide o najmenšie takéto číslo. Nájdite Mišovo heslo.
„Ja viem, ja viem, niekto mi už povedal, že som už príliš starý, aby som takéto veci hral,“ mrmlal si Mišo popod nos, keď zapínal videohru, „ale dnes mám fakt zlú náladu.“ „Cítiš sa po hraní lepšie?“ vyzvedal Viktor.
Mišo sa na chvíľu zamyslel. „Iba keď vyhrám.“ Viktor prikývol, toto bolo dobré vysvetlenie. „Kto ti hovorí, že si príliš starý? Koľko máš rokov?“
„To sa nepýta,“ odsekol Mišo.
„Aha,“ uznal Viktor.
Viktora ale stále zaujímalo, koľko má Mišo rokov.
3. príklad
Viktor chce zistiť, koľko má Mišo rokov. Mišo mu povedal, že má viac ako 12, ale menej ako 36 rokov. Viktor mu kladie otázky, na ktoré Mišo pravdivo odpovedá, a obaja správne logicky uvažujú.
„Aký je ciferný súčin tvojho veku?“ spýtal sa Viktor.
„To ti nepoviem. Ale keby som ti ho povedal, stále by si nevedel jednoznačne určiť môj vek.“
„A keby si mi prezradil aj to, či je tvoj vek párny?“
„Keby som ti povedal okrem súčinu aj to, vedel by si jednoznačne určiť môj vek. Takže ti to nepoviem. Ha.“
„Ha? Aj bez toho, aby si mi tie údaje prezradil, teraz viem presne, koľko máš rokov.“
Koľko rokov má Mišo? Vysvetlite, ako na to Viktor prišiel.
„Prečo máš vlastne zlú náladu?“
„Lebo sa ma ľudia pýtajú de-… sprostosti,“ odsekol Mišo. Po chvíli však pokračoval:
„Vychádza mi zlá známka z predmetu. Písali sme záverečný test a ja som to pokazil.“
Viktor si prezrel jeho známky, chvíľu počítal a potom sa na Miša otočil. „Ako rátate koncoročnú známku? Lebo tvoja známka bude možno lepšia.“
4. príklad
Mišo písal cez rok päť testov a z každého dostal známku 1 až 5. Keby počítal koncoročnú známku ako zaokrúhlený priemer, dostal by o 1 stupeň horšiu známku, ako keby zobral medián. Keby ju však vyhodnotil ako modus, ktorý bol jednoznačný, dostal by o 1 stupeň lepšiu známku, ako keby zobral medián. Aké známky dostal Mišo z testov? Nájdite všetky možnosti.
Poznámka: Modus sa počíta ako údaj s najviac záznamami, napr. ak by mal známky 1, 3, 4, 4, tak je modus 4 (modusov môže byť aj viac, ale v tomto príklade vyžadujeme, aby bol v známkach iba jeden). Medián sa nájde ako „stredná hodnota“, keď zoradíme namerané údaje od najmenšieho po najväčší, tak medián je „číslo v strede“ (napr. pri 1, 1, 2, 3, 5 je to 2), ak máme párny počet čísel, je to aritmetický priemer dvoch stredných čísel.
Mišo si zamračene čítal stránku svojho predmetu. Potom sa mu tvár rozžiarila. „Mal si pravdu!“ Viktor prikývol. Mišo vyzeral byť spokojný. Viktor nevedel, čo má robiť, aby sa z tejto miestnosti dostal. Jeho halucinácie mu nejako nedovolili odísť, nechápal, čo sa teraz má diať. Vyriešil úlohu pred ním a nevedel, kde je ďalšia. Až dokým sa Mišo nezdvihol, nezobral počítač a nevyhodil ho von oknom so slovami: „Prehral som.“ Následne Mišo z vrecka vytiahol strašne veľa kariet. „Ideme hrať hru.“ Aha. Tu je ďalšia úloha.
5. príklad
Na stole ležia kartičky s číslami od 1 do 2029, každé číslo práve raz. Mišo a Viktor sa striedajú v ťahoch, Mišo začína. V každom ťahu si hráč vezme zo stola jednu ľubovoľnú kartičku a nechá si ju.
Hra sa skončí, keď na stole nezostane žiadna kartička. Potom si každý hráč spočíta čísla na svojich kartičkách. Ak je súčet jedného hráča deliteľný tromi, tento hráč prehráva a druhý vyhráva. Ak ani jeden súčet nie je deliteľný tromi, hra sa skončí remízou.
Má niektorý z hráčov stratégiu, ktorá mu zaručí výhru bez ohľadu na ťahy súpera? Ak áno, tak akú a prečo sa nedá poraziť? Ak nie, prečo sa taká nedá vymyslieť?
„Skvele,“ povedal Mišo. „Tvoje schopnosti v tejto hre mi dokázali, že si pravý kandidát na moju misiu.“
Viktor sa potešil. Dozvie sa, čo má robiť. Mišo sa nadýchol a rozhovoril sa.
„Už roky sa snažím zistiť čo najviac o tajomnom zariadení, ktoré mi ale stále uniká. Chcem, aby si ho našiel a povedal mi, čo to je. Hovorím o zariadení menom ‚KLAPKOBŘINKOSTROJ‘,“ predniesol Mišo. „Zájdi za slávnym lingvistom Matejom do New Yorku. Hovoria mu tiež cisár.“
„Ja však o takomto zariadení nič neviem,“ namietol Viktor. „Povedz mi aspoň základné informácie.“ „Dobre.“
O tajomnom zariadení Mišo vie málo, jednu vec však pozná: jeho tvar.
6. príklad
KLAPKOBŘINKOSTROJ má tvar štvoruholníka ABCD, v ktorom sú strany AB a CD rovnobežné, pričom strana AB je dvakrát dlhšia ako strana CD. Bod S je priesečníkom uhlopriečok štvoruholníka ABCD a trojuholníky ABS a CDS sú oba rovnostranné. Bod E je taký bod úsečky BS, že veľkosť uhla ACE je 30^\circ. Určte pomer obsahov štvoruholníka ABCD a trojuholníka EBC.
Viktor, šťastný, že konečne môže opustiť Brno, sa teda vydal na cestu do New Yorku. Veľké jablko ho čakalo. Viktor bol veľmi nadšený, nikdy totiž v Amerike nebol a dúfal, že si v New Yorku stihne pozrieť všetky slávne budovy, Sochu slobody a podobne. Keď pristál, hneď sa šiel prejsť do najpopulárnejšej časti celého New Yorku, slávneho Manhattanu. Tu stálo veľa mrakodrapov a Viktor sa tiež dozvedel, že Manhattančania si na meranie výšky mrakodrapov vymysleli vlastnú jednotku - žeriavy. To bolo pohodlné, lebo žiadny mrakodrap nemeral viac ako 16 žeriavov, tak nikto nemusel veľa rátať. A hlavne nemuseli používať metre!
7. príklad
V meste je na úsečke s pravidelnými rozostupmi niekoľko mrakodrapov, ktorých výšku domáci merajú vo svojich vlastných jednotkách - žeriavoch. Každý mrakodrap má výšku aspoň 1 žeriav a najviac 16 žeriavov, každý v celočíselných žeriavoch.
Z vrcholu mrakodrapu vidieť na vrchol iného, ak ich spojnica nepretína žiadny mrakodrap - inak povedané, všetky vrcholy mrakodrapov medzi nimi sú pod ich spojnicou alebo na nej.
Z každého mrakodrapu vidieť na vrcholy najviac troch ďalších mrakodrapov. Koľko najviac mrakodrapov môže byť v meste?
V Manhattane býval aj slávny lingvista Matej, prezývaný cisár. Problém s tým, že vedel toľko jazykov, bol, že si občas pomýlil, ktorým má hovoriť.
„Sehr geehrter Herr Viktor, herzlich willkommen in unserem Sprachinstitut…“ začal Matej.
„Uhm, hallo, mein Deutsch ist nicht very gut,“ vyhabkal zo seba Viktor. „Hovoríte po česky alebo slovensky?“
„Natürlich, ehm, teda, áno.“
„Prišiel som sa vás spýtať na záhadu. Viete, čo to je KLAPKOBŘINKOSTROJ?“
„Nie, ale viem, kde jeden majú. V Area 51. Je to prísne tajné. Chcete tam ísť?“
„Noooo, hej.“
„Dobre.“ Matej luskol prstami a Viktor sa teleportoval pred slávnu oblasť Area 51.
8. príklad
Oblasť Area 51 je ohradená plotom v tvare jednoduchej uzavretej lomenej čiary. Priamka elektrického vedenia má 36 stĺpov (ktoré ležia na tej priamke) a neprechádza vrcholmi ohrady. Niektoré stĺpy sú vo vnútri oblasti a niektoré vonku, žiadne nie sú priamo na plote. Špión prejde raz okolo celého plotu tak, že má oblasť stále po pravej ruke. Vždy, keď prechádza cez elektrické vedenie, spočíta počet stĺpov, ktoré má naľavo (naľavo od priamky otočenej smerom, ktorým ide). Súčet všetkých jeho počtov je 2015. Koľko stĺpov stojí vo vnútri oblasti?
„Hej, you nemôžeš byť here, ty scoundrel!“ začal kričať jeden zo strážcov na Viktora.
„Jou jou, ale ja sa snažím nájsť KLAPKOBŘINKOSTROJ! Neviete, kde by som ho našiel?“
„What? I can’t rozumieť you! Spík ingliš!“
„Where nájdem KLAPKOBŘINKOSTROJ? Potrebujem zistiť what it is!!!“
„Ahhh, you chceš nájsť KLAPKOBŘINKOSTROJ…, wait, načo you need it?????? Na to, aby si mohol celý Manhattan wipenúť out??? TY TRAITOR!!! DO VÄZBY S YOU!!!“
9. príklad
Viktora zavreli do cely s minimálnym množstvom jedla. Jediné, čo dostal, bolo N>1 sušienok. Vie, že všetky sú rovnako ťažké okrem jednej, ktorá je otrávená a váži inak, viac alebo menej. Viktor ju hľadá pomocou rovnoramenných váh. Má však v cele potkana, ktorý ho pozoruje, a vždy, keď si je z doterajších vážení istý, že nejaká sušienka nie je otrávená, okamžite ju zje a Viktor ju už potom nemôže použiť na váženie. Viktor chce nájsť otrávenú sušienku a zistiť, či je ľahšia alebo ťažšia ako bežné sušienky. Nájdite všetky N také, že aj napriek potkanovmu obžerstvu a ľubovoľnej dávke smoly sa mu to vždy podarí. Prečo sa to pre ostatné nepodarí?
Viktor bol oficiálne bez hocičoho, nemal v cele ani jednu nejedovatú sušienku, potkan utiekol a vtom si všimol ominózny dáždnik v rohu miestnosti.
„JES! KONEČNE MÁM ČO ROBIŤ, JE TO NEUVERITEĽNÉ.“
Ako každý správny matematik začal rozmýšľať nad náhodnými príkladmi a jeden sa mu zasekol v mysli.
10. príklad
Dáždnik má tvar pravidelného 45-uholníka. Každému vrcholu priradíme jednu z troch farieb: 15 vrcholov je červených, 15 žltých a 15 zelených. Dokážte, že pre každé ofarbenie možno vybrať tri vrcholy každej farby tak, aby tri trojuholníky určené vybranými vrcholmi rovnakej farby boli navzájom zhodné.
Popritom, ako sa Viktor s dáždnikom hral, objavil pofidérny gombík. A predsa, čo je prvá vec, čo spravíš, keď uvidíš gombík? Stlačíš ho!!!! Gombík však vystrelil Viktora rýchlosťou rakety 10 km do vzduchu a Viktor začal prudko padať.
„TO MA PODRŽ! JA PADÁM!!! ÁÁÁÁÁÁÁ!!!!!“ Našťastie sa dáždnik v poslednej sekunde otvoril a spomalil pád.
„Čože?? Kde to som? Počkať čo?? Je hento predsa len ten KLAPKOBŘINKOSTROJ? Celý tento čas to bol len ffb4mox? H-uu–uh? Č-o–o-o s-a–a d-e–j-e???“