Zadania 1. kola
Viktor prišiel na jarmok s býkom Zuzíkom a s pevným úmyslom ho nepredať pod cenu.
Z ničoho nič sa objavil ujo v tmavej kapucni. Predstavil sa ako Krivoš, obišiel Zuzíka zo všetkých strán a ponúkol zaňho tak málo, že aj Viktor sa urazil.
„To ani náhodou. To aby som ho radšej nepredal vôbec.“
Krivoš si ho chvíľu obzeral. Nebol zvyknutý na to, že mu jednoduchí sedliaci kladú odpor. Nemohol si ale ušetriť prefíkaný úsmev.
„Dobre teda. Zaplatím poriadne. Ale najprv musíš zistiť, v ktorom mešci mám falošné mince,“ lišiacky pred Viktora položil desať mešcov a malú váhu.
1. príklad
Krivoš dal Viktorovi 10 mešcov. V každom je 10 mincí. V deviatich mešcoch váži každá minca 10 gramov, v jednom mešci sú však všetky mince falošné a každá z nich váži iba 9 gramov.
Viktor má čarovnú váhu, ktorá ukáže hmotnosť položených mincí v gramoch, avšak zobrazí iba cifru na mieste jednotiek. Viktor si mince na váženie môže vyberať ako chce a vážiť môže aj viacero mincí naraz.
Na koľko najmenej vážení vie Viktor s istotou zistiť, v ktorom mešci sú falošné mince? Vysvetlite aj, prečo to na menej vážení nejde.
Krivošovi sa vyparil úsmev z tváre. „No toto…“
Zaplatil a zamrmlal si popod fúzy:
„Keď si taký premúdrelý…“
Potom dupol čižmou do zeme. Zdvihol sa taký oblak prachu, že Viktor musel zavrieť oči. Keď ich otvoril, Krivoša ani Zuzíka nebolo.
Na zemi zostal ležať podozrivý papier, ktorý si Viktor nesmelo zobral.
Kým Viktor stál nad desiatimi mešcami a rozmýšľal, ako Krivoša prekuknúť, odohrával sa v jeho hlave nečakane zložitý proces.
Dodnes je trochu záhadou, ako to, že na riešenie vôbec prišiel. Mozgových buniek totiž Viktor veľa nemal. Tých pár, čo sa mu v hlave nachádzalo, však muselo byť rozložených mimoriadne šťastne.
Jeho mozog mal päť komôr a ktoviekoľko mozgových buniek.
2. príklad
Viktorov mozog má v jednej rade päť za sebou idúcich komôr. V každej komore Viktorovho mozgu sa nachádza aspoň jedna mozgová bunka.
Dve mozgové bunky sú susedné, ak sa nachádzajú v tej istej komore alebo v dvoch susedných komorách. Samotnú bunku medzi jej susedov nepočítame.
Každá Viktorova mozgová bunka má presne 5 alebo presne 10 susedov.
Koľko mozgových buniek má Viktor?
Po príhode s Krivošom mal Viktor záhad na jeden deň dosť. Zuzíka už aj tak nenájde, a tak sa rozhodol venovať dôležitejším veciam. U Sama sa dnes konali kohútie zápasy.
Keď tam dorazil, kohúty Sebík, Radko aj Majko už netrpezlivo krúžili po dvore. Viktor sa chcel pozrieť, kedy zápasí jeho obľúbený kohút, no z rozpisu zostal visieť iba odtrhnutý kus.
Bolo na ňom z každého kola vidieť akurát jeden zápas.
3. príklad
Samo má šesť kohútov, ktoré sú na rozpise označené A, B, C, D, E a F. Každý z nich zápasí práve raz s každým z ostatných.
Zápasy sú rozdelené do piatich kôl. V každom kole prebiehajú naraz tri zápasy, takže každý kohút v každom kole zápasí práve raz.
Viktorovi sa z rozpisu zachovalo:
V ktorom kole proti sebe zápasili kohúty D a F?
Viktor si rozpis chvíľu prezeral. Pred pár hodinami by bol radšej počkal, kým mu to niekto povie. Dnes sa mu však v hlave ešte stále činilo tých pár šťastne rozmiestnených mozgových buniek.
Boli to najlepšie kohútie zápasy jeho života. Celý čas skákal, kričal. Lenže sa aj potil a všade bol prach. Jaaaj, ako mu vyschlo v hrdle. Musí sa niečoho napiť.
Cez oči plné prachu rozoznal človiečika s klobúkom a piatimi fľaštičkami. Keď prišiel bližšie, spoznal Alexa 13, miestneho čarodejníka.
„Čo to bude?“
„Kolu.“
„Kolu nemáme, ja som čaro…“
„Tak kľudne Pepsi.“
„Asi nemáš moc mozgových buniek. Ja som čarodejník, môžem ti namiešať, čo si len zažiadaš. Elixír života, nápoj mudrcov, ale Pepsi nie…“
„Dám si teda Siti kolu, tú máte?“
Keď toto Alex 13 počul, zdvihol sa a razantne odišiel.
Na stole Viktorovi zostalo niekoľko očíslovaných fľaštičiek. Možno ak ich správne zmieša…
4. príklad
Na piatich fľaštičkách sú napísané kladné celé čísla. Súčet čísel na ľubovoľných dvoch rôznych fľaštičkách je vždy jedno z čísel 31, 38 alebo 45. Každý z týchto troch súčtov sa pritom pri nejakej dvojici fľaštičiek vyskytne.
Čísla na rôznych fľaštičkách nemusia byť rôzne.
Nájdite všetky možnosti, aké čísla môžu byť na fľaštičkách.
Viktor elixír vypil na jeden dúšok.
Tentoraz sa mu v hlave nezobudilo pár mozgových buniek. Zobudili sa všetky.
Viktor zrazu videl hudbu a počul chuť. Celým telom mu pulzovala genialita.
Pozrel na kohúty a v tej chvíli pochopil všetko. Ktorý je silnejší, ktorý rýchlejší. Videl dvoch farmárov, Laffa a Sama, ktorých kohúti akurát idú začať zápas.
Doteraz by Viktor jednoducho stavil na jeho obľúbeného kohúta Radka. Teraz však vedel, že by to bolo primitívne.
Chvíľu behal medzi kohútmi, niečo si zapisoval do prachu a nakoniec ich začal zoraďovať podľa čísel. Potom sa dohodol so Laffom, požičal si peniaze a stavil všetko.
Samo sa len zachechtal a sebavedomo stavil všetko na svojho kohúta Sebíka.
5. príklad
Viktor označil deväť kohútov číslami 1 až 9, každého iným číslom.
Kohúty chce rozostaviť do tabuľky 3 \times 3. Každému z troch riadkov a troch stĺpcov pritom priradí práve jeden z nasledujúcich šiestich popisov, každý práve raz:
- párne,
- nepárne,
- prvočíslo,
- štvorec (druhá mocnina celého čísla)
- násobok 3,
- deliteľ čísla 240.
Každý kohút musí stáť na mieste, kde jeho číslo spĺňa popis svojho riadka aj svojho stĺpca. Na každom mieste stojí práve jeden kohút.
Koľkými spôsobmi možno tabuľku vyplniť, ak záleží aj na poradí popisov okolo nej?
Viktorov plán vyšiel dokonale.
O chvíľu mal vo vreckách viac peňazí, než kedy videl pokope.
Žiaľ, tie vyhraté peniaze predtým patrili niekomu inému, koho táto investícia veľmi nenadchla.
Viktorova genialita nedomyslela jednu maličkosť.
Kým on vyhrával, ostatní prehrávali.
Najprv sa ozvalo hundranie. Potom krik. A keď sa Samo postavil na sud a ukázal prstom priamo na Viktora, bolo jasné, že čas na vysvetľovanie sa skončil.
Viktor sa rozbehol. Samo za ním. Za Samom dedinčania. A za dedinčanmi niekoľko ľudí, ktorí ani nevedeli, čo sa stalo, ale nechceli zmeškať naháňačku.
Pred uháňajúcim Viktorom sa rozprestieralo jeho 2012 polí.
6. príklad
Viktorov útek si predstavme ako hru na doske s 2012 riadkami a k>2 stĺpcami.
Viktor začína niekde v ľavom stĺpci. Dvaja hráči sa striedajú v ťahoch. V každom ťahu posunú Viktora o jedno políčko doprava, hore alebo dole, pričom nesmú vstúpiť na políčko, na ktorom už Viktor bol.
Hra sa skončí vo chvíli, keď Viktor vstúpi do pravého stĺpca.
Hráči spočiatku nevedia, či hráč, ktorý vstúpi do pravého stĺpca, vyhrá alebo prehrá. Dozvedia sa to až vo chvíli, keď Viktor prvýkrát vstúpi do predposledného stĺpca.
Pre ktoré začiatočné políčka má niektorý hráč stratégiu, ktorá mu zaručí výhru? Ak ju má, povedzte ktorý a dokážte, že funguje.
Dedinčania napokon Viktora stratili.
Mal iba jeden problém.
Aj Viktor stratil Viktora.
Keď sa konečne zastavil, dedinu už nebolo vidieť.
Nebolo vlastne vidieť nič známe.
Pred Viktorom sa cesta rozdeľovala na niekoľko smerov a v diaľke bolo zopár miest. Sadol si k ceste a chvíľu rozmýšľal, kam sa vydať.
Vtom si spomenul na papier, ktorý po sebe nechal Krivoš.
Vytiahol ho z vrecka.
Doposiaľ sa pri všetkom tom zhone nestihol ani zamyslieť nad tým, čo tam je. Keď sa teraz pozrel poriadne, zistil, že to je mapa.
Viktor na nej našiel mestá okolo seba. A ďaleko od nich Egypt. Cez mapu sa tiahli čiary a uprostred jednej z nich bolo nakreslené veľké červené X.
Ten Krivoš vyzeral ako zaujímavý týpek. Možno aj pod X-kom bude niečo zaujímavé.
Najprv však Viktor musel zistiť, kde je X a kde je Viktor.
7. príklad
Nech D, E sú postupne stredy strán AB, BC trojuholníka ABC a F je stred úsečky AD. Označme priesečník priamok CD a EF ako bod X.
Dokážte, že bod X je stred úsečky EF.
Viktor pochopil, kde je X a vydal sa tým smerom.
Netušil, čo hľadá.
Na polceste k mestu Viktor zišiel z cesty.
Podľa mapy mal ešte kus pokračovať pomedzi skaly a potom zabočiť pri vyschnutom strome. Za ním našiel malú jamu. Niečo v nej slabo svietilo.
Bola to kocka. Veľká kocka poskladaná z dvadsiatich siedmich malých kociek. Z každej strany vyzerala ako krásny štvorec.
Viktor ju chytil a skoro si vykĺbil plece.
Kiežby si ju mohol nejako odľahčiť tak, aby stále vyzerala tak pekne z každej strany… Aby vyzerala z každej strany ako štvorec…
8. príklad
Magická kocka má rozmery 3 \times 3 \times 3 a je zlepená z 27 jednotkových kociek.
Viktor z nej chce odstrániť čo najviac malých kociek tak, aby zostávajúce kocky spĺňali obe podmienky:
- Pri pohľade z každej zo šiestich strán zostane celý štvorec 3 \times 3 bez ľubovoľnej diery cez ktorú by bolo vidieť skrz kocku.
- Zvyšné kocky tvoria jeden súvislý kus, pričom dve kocky považujeme za spojené iba vtedy, ak sa dotýkajú celou stenou.
Koľko malých kociek môže Viktor najviac odstrániť?
Dokážte, že viac odstrániť nemôže, a ukážte rozloženie, pri ktorom sa tento počet dosiahne.
Viktor kocku napokon s veľkou námahou zdvihol a vydal sa ďalej jedinou cestou široko-ďaleko.
Cesta viedla do Egypta a bola dlhšia, než Viktor čakal.
Potom bola ešte dlhšia.
A potom sa ukázalo, že to, čo Viktor považoval za koniec cesty, bol iba začiatok púšte.
Kocka už síce vážila menej, ale po niekoľkých hodinách mu pripadala ťažšia než býk Zuzik.
Vzduch nad pieskom sa vlnil. V diaľke sa objavila pyramída.
Viktor prižmúril oči.
"presne 2017 metrov.", odhadol.
Urobil pár krokov a obraz pyramídy sa zavlnil. Nebola tam, kde ju videl. Lenže aj to zavlnenie sa v horúcom vzduchu zavlnilo. A potom sa zavlnilo ešte raz.
Viktorovi sa z toho vlnenia začala točiť hlava.
Ako ďaleko je pyramída?
9. príklad
Nech S(n) označuje ciferný súčet prirodzeného čísla n.
Skutočná vzdialenosť pyramídy od Viktora je n metrov.
Vlniaci sa vzduch vzdialenosť pyramídy skreslí znovu a potom ešte raz, takže Viktor nakoniec vidí pyramídu vo vzdialenosti
n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=2017
Nájdite všetky možné hodnoty n.
Pyramída bola presne tam, kde mala byť.
Pyramída sa už nestrácala vo vlniacom sa vzduchu. S každým krokom bola väčšia a väčšia, až Viktor musel zakloniť hlavu, aby dovidel na jej vrchol.
Kocka, ktorú celý čas vláčil so sebou, začala slabo pulzovať.
Čím viac sa blížil k pyramíde, tým silnejšie mu kocka vibrovala v rukách. Pred ním sa z piesku pomaly vynárala obrovská kamenná sfinga. Viktor ju z diaľky považoval za kus skaly. Teraz videl, že sedí presne pred jediným vstupom do pyramídy.
Prišiel až k nej. Zastal. Potom spravil ešte jeden krok.
Kocka sa mu náhle vyšmykla z rúk.
Vystrelila do vzduchu, Viktor sa po nej ešte márne zahnal, a s mohutným rachotom zapadla do štvorcového otvoru v hrudi sfingy.
Chvíľu bolo ticho.
Potom sa sfinge otvorili oči.
Piesok pod Viktorovými nohami sa zatriasol.
"KTO CHCE VSTÚPIŤ DO PYRAMÍDY?"
Viktor sa obzrel za seba.
"Ja asi."
"TEDA UKÁŽ, ČI SI HODEN VSTÚPIŤ."
"POZRI. SEDIA TU NA DRÔTE HOLUBICE. SPRAV NECH SÚ RÔZNE POHLAVIA K SEBE BLIŽŠIE NEŽ TIE ROZDIELNE."
Viktor si vtáky chvíľu prezeral.
Potom sa pozrel na sfingu.
"To sa nedá."
Kamenné oči sa prižmúrili.
"ČO SI TO POVEDAL?"
10. príklad
Na rovnom telegrafnom drôte sedí n holubov a n holubíc.
Dokážte, že súčet vzdialeností medzi všetkými dvojicami vtákov rôzneho pohlavia je väčší alebo rovný súčtu vzdialeností medzi všetkými dvojicami vtákov rovnakého pohlavia.
"Že sa to nedá. Nech ich poukladám akokoľvek, vždy budú rôzne pohlavia od seba dokopy aspoň tak ďaleko ako rovnaké."
Sfinga mlčala.
Viktor jej teda svoj dôkaz vysvetlil.
Keď skončil, kocka v jej hrudi naposledy zažiarila. Ozvalo sa hlboké dunenie a kamenná stena pyramídy sa pomaly rozostúpila.
Zvnútra vyšlo ostré biele svetlo.
Viktor sa ešte raz obzrel na púšť za sebou, potom vstúpil dnu.
Svetlo ho pohltilo.