3. príklad - Vzorové riešenie

Náčrtok (ak vás zaujíma len rýchly dôkaz, toto môžete preskočiť)

Na začiatok je najdôležitejšie si poriadne nakresliť obrázok. Uvidíme, ako zadané tvary vyzerajú a možno o niektorých tvrdeniach hneď budeme tušiť, či bú pravdivé. Budeme myslieť vždy aj na to, či má obrázok viacero možností ako môže vyzerať, bez toho nezistíme, či sú výroky (ne)pravdivé vždy.

Bodov máme v úlohe 5, z toho 4 sú v obdĺžniku ABCD, začneme teda ním. O dĺžkach strán vieme iba to, že AB, takže útvary budú môcť vyzerať trochu rôzne. Vieme z toho ale, že obdĺžnik má strany AB, BC a tým pádom zvyšné budú CD a DA (čo zodpovedá štandardnému označeniu útvaru v geometrii - body vymenujeme postupne v proti-smere hodinových ručičiek). Môžeme si nakresliť viacero obrázkov s rôznymi dĺžkami, aby sme uvideli, či to ďalej bude rovnaké, alebo môžeme napríklad použiť Geogebru, kde môžeme s bodmi aj na konci hýbať.

Bod E potrebujeme pridať k ostatným bodom tak, aby vznikol deltoid BCDE. Deltoid je útvar ktorý má dve a dve strany rovnako dlhé, ale na rozdiel od obdĺžnika sú rovnaké susedné a nie protiľahlé strany. Spomedzi strán deltoidu už vďaka obdĺžniku vieme, že BC a CD sú rôzne dlhé. Preto rovnaké dvojice sú EB, BC a CD, DE. Potrebujeme teda dokresliť bod E tak, aby \left|EB\right|=\left|BC\right| a zároveň \left|CD\right|=\left|DE\right|. 

V náčrtku stačí, ak si polohu bodu E odhadneme, ale ak by sme chceli rysovať presne, narysujeme si kružnice, na ktorých musí E ležať. Prvá z bodu B s polomerom BC a druhá z bodu D s polomerom CD. E bude ležať na ich priesečníku. Z toho aj vidíme, že je vždy iba jedno miesto, kam bod E umiestniť, pretože druhý priesečník kružníc leží v bode C.

Vzniknutý útvar ABDE na pohľad vyzerá ako rovnoramenný lichobežník, ako tvrdí Alex, a to aj pri viacerých rôznych rozmeroch odbĺžnika ABCD. Poďme ešte ukázať, že to tak naozaj aj bude.

Na obrázku sú červenou a zelenou označené strany, ktorých rovnakú dĺžku dokážeme, a modrou strany, ktoré chceme ukázať, že sú rovnobežné.

Dôkaz tvrdení

Pokúsme sa teda ukázať, že Alex má vždy pravdu. Nemôžeme ale nakresliť všetky možné prípady (rozmery ABCD a k nim bod E). Musíme to vyvodiť iba zo zadania. 

Rovnoramenný lichobežník je taký štvoruholník, pre ktorý platia 2 podmienky:

• Jeho základne sú rovnobežné (BD \parallel AE)
• Jeho zvyšné strany sú rovnako dlhé (\left|AB\right|=\left|DE\right|)

Druhú podmienku dokážeme celkom jednoducho. Vieme, že v obdĺžniku ABCD sú strany AB a CD rovnako dlhé. V deltoide BCDE sú zas rovnaké CD a DE. Platí preto:

\left|AB\right|=\left|CD\right|=\left|DE\right|

a teda AB a DE sa rovnajú.

Prvá podmienka je o niečo náročnejšia. Pozrime sa napríklad na porovnanie trojuholníkov ABD a EDB. Ako už vieme, \left|AB\right|=\left|ED\right|. Podobne vieme usúdiť, že \left|AD\right|=\left|BE\right|, pretože \left|AD\right|=\left|BC\right| (obdĺžnik) a \left|BE\right|=\left|BC\right| (deltoid). Posledná strana trojuholníkov je pre oba rovnaká. Tieto trojuholníky majú rovnaké rozmery, a teda aj rovnako veľké výšky na stranu BD z bodov A a E. Preto celá strana či priamka AE je rovnako vzdialená od BD, a teda sú rovnobežné.

Keď už vieme, že BCDE je vždy rovnoramenný lichobežník, vieme presne určiť kto hovorí pravdu:

Mišo: Vždy klame, lebo v obdĺžniku sú všetky uhly pravé. Uhol ABD je uhol uhlopriečky v obdĺžniku, čiže určite menej ako 90\degree

Alex: Vždy hovorí pravdu

Lukáš: Vždy klame, ukázali sme, že dve strany sú vždy rovnobežné

Kapitán: Vždy klame, ukázali sme, že dve strany majú vždy rovnakú dĺžku

Komentár

Rovnobežnosť BD\parallel AE sa dala dokázať aj ďalšími spôsobmi. Napríklad sme mohli z podobnosti trojuholníkov ukázať rovnosť uhlov DBE a BDA. Taktiež bolo možné povedať že výška z bodu A je rovnako dlhá ako výška z bodu C na úsečku BD, zo symetrie obdĺžnika. Potom je jasné že tie sú rovnako dlhé ako výška z E, vďaka uhlopriečke deltoidu. Iné riešenia obsahovali dokreslenie obdĺžnika na druhú stranu od úsečky AD (kde AE je časť uhlopriečky), alebo dokreslenie symetrického lichobežníka cez stranu BD.