Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 2. kola

Termín: 13. november 2025 22:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk

Lukáš mlčky pozeral na modrý horizont. Odkedy opustili Strigin prst a vydali sa hlbšie do Medzizeme, nevideli okrem Pútnika ani živej duše. Mapa, ktorú im dali agenti Astraq síce ukazovala kopu bodov, ktoré podľa Alexových výpočtov už mali registrovať, no nech si išli oči vyočiť, nikde ničoho. Kým minule mali obavy o palivo, tentokrát tkvel ich problém inde. Ani jeden z nich v Košeiro netušil, akú dlhú cestu idú podstúpiť a začínalo to vyzerať, že situáciu silno podcenili v ohľade potravín. Jedlo sa na vzducholodi stabilne míňalo, bolo treba začať rozrátavať porcie.

1. príklad

Kategórie:
5

Lukáš a Alex na lodi skladujú buď chleby, alebo ovocie. Toto jedlo sa nachádza buď v kuchynke, alebo v sklade. Lukáš si pamätá, že najprv videl v kuchynke iba 1 chlieb. Potom však v meste vymenili všetky chleby z kuchyne za toľko isto kúskov ovocia. Následne chlapci odniesli polovicu ovocia z kuchynky do skladu. Vtedy boli v kuchynke 2 kúsky jedla a v sklade 8. Chlapci však potom vyniesli do kuchyky všetky chleby zo skladu, a vtedy narátali v kuchynke až 6 kúskov jedla. Koľko bolo čoho kde na začiatku?

„V najbližších dňoch musíme nájsť civilizáciu,“ odtušil jeho myšlienky škeriaci sa Alex. „Dúfam, že tu majú nejaké epické exotické kultúry.”

“No, len aby nás zabiť nechceli,” povzdychol si Lukáš a vybral mapu. “Stále veríš tomu Esarpu?”

Alex len s úsmevom prikývol. Včera večer totiž padlo rozhodnutie - ak niekde nájdu ľudí, bude to na najväčšom bode mapy, čo bolo v tejto novej zemi miesto označené ‚Esarp‘. Pred spaním nastavili kurz, a teraz napäto plachtili smerom k destinácii.

„Neviem sa dočkať, idem nastaviť vyššiu rýchlosť,” vyhlásil a ponáhľal sa do strojovne.

2. príklad

Kategórie:
5
6

Na vzducholodi sa rýchlosť nastavuje nasledovne: chlapci majú niekoľko vrtúľ, pričom zapojených je vždy niekoľko z nich (môžu byť aj všetky). Každá zapojená vrtuľa poháňa loď kladnou celočíselnou rýchlosťou dopredu alebo dozadu. Ak sú dve vrtule zapojené do rovnakého smeru, ich pohon sa sčíta, a ak do opačného, ich pohon sa odčíta. Chlapci vedia so svojimi vrtuľami dosiahnuť ľubovoľnú celočíselnú rýchlosť od 1 do 13 (vrátane). Koľko najmenej môžu mať vrtúľ? Aký môžu mať tieto vrtule pohon? Ukážte, že menej vrtúľ naozaj nemôžu mať.

„Hodil som tam 11,” oznámil Alex, keď sa vrátil zo strojovne. Lukáš len ďalej zachmúrene sledoval horizont.

„Skontrolujme ešte ten kurz,” vyhlásil, vyberajúc z vrecka tajomnú pergamenovú mapu, ktorú si so sebou niesli od Košeiro.

„Vidíš? Niet sa čoho báť, stále sme na kurze,” veselo upokojoval Alex Lukáša, ten sa však s narastajúcim strachom mračil na mapu.

„Včera na tej mape bol ešte aj Strigin prst.” Alex stíchol a zadíval sa na mapu. A naozaj, na mape sa už žiadny Strigin prst nenachádzal. Všimol si však ešte niečo iné.

„Pozri, včera nám ukazovalo, že sme k Esarp bližšie,” ukázal na viditeľne väčšiu vzdialenosť medzi nimi a tajomným mestom.

„Aj mierka je zlá,” poznamenal Lukáš, poukazujúc na štvorcovú mriežku, na ktorej bola celá mapa nakreslená.

„Aha!” vyštekol zrazu Alex, „však ono sa to iba priblížilo. Vidíme detailnejšiu verziu včerajšej mapy, proste na jednej strane chýba pár stĺpcov.”

3. príklad

Kategórie:
5
6
7

Mapa je nakreslená na obdĺžnikovej štvorcovej mriežke. Ak preškrtneme jeden riadok a jeden stĺpec, dokopy sme vyškrtli 25 políčok, a na mape ostane počet políčok deliteľný 7. Ďalej (na tej istej mape) vyškrtneme znova niekoľko riadkov a stĺpcov, pričom vyškrtneme 67 políčok. Aké rozmery mala pôvodná mapa? Nájdite všetky možnosti.

Po objave, že mapa ich zatiaľ neoklamala, pokračovali dobrodruhovia ďalej. Trvalo im len pár dní, kým sa dostali na údajnú lokáciu tajomného mesta. Avšak na ich sklamanie nevideli vôbec nič. Boli v ideálnej výške pre tradičné balóny, ktoré vo vzduchu kotvili mestá všemožných veľkostí.

„Toto nie je možné!” zaúpel Lukáš, kým Alex vytrvalo skúmal horizont. „Však tu má byť METROPOLA! Sprostá mapa.”

„Ticho!” zvolal zrazu Alex, „Zdalo sa mi na chvíľu, že počujem detektor zeme. Ale však sme nad morom… AHA!”

Lukáš však stále nič nevidel.

„Otoč vzducholoď a klesaj!”

Alex odložil ďalekohľad a napäto sa hrnul do paluby. Po dlhom klesaní až k hladine mora sa im naskytol naozaj bizarný pohľad. Na drobnom ostrovčeku asi dva krát dva metre uprostred vĺn mora sa nachádzal poklop s číselníkom a drobný polorozpadnutý papierik. Ten si Lukáš našťastie všimol - okrem nadávok na nového údržbára tam totiž bola aj nápoveda ku kódu, keby ho dotyčný znova zabudol.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Kód k číselníku je také číslo, ktoré je jedenásť násobkom svojho ciferného súčtu. Nájdite všetky čísla, ktoré môžu byť kódom a ukážte, že žiadne iné nemôžu existovať.

„Ideme?” obrátil sa nadšene Alex na Lukáša, ktorý stále nedôverčivo sledoval tmavú šachtu s rebríkom, ktorá sa donedávna skrývala pod poklopom. Lukáš síce nebol z tohto vývoja nadšený, ale aj on musel uznať, že šachta a papierik s nadávkami na pracovníkov indikujú, že smerom dole sa nachádza civilizácia. A civilizácia znamená zásoby.

Šachta viedla do zvláštneho priestoru, akejsi spleti opustených tmavých chodieb. Nebolo v nich vôbec nič. Chlapci sa s výbavou, ktorú považovali sa potrebnú, vybrali na prieskum. V chodbách nachádzali rôznorodé dvere, všetky vybavené číselníkom alebo nápisom ‚Upratovací sklad‘, ale nijaké neboli otvorené a celkovo nikde nikoho nebolo. Lukáš chcel už-už navrhnúť, nech sa vrátia, ale zrazu si všimol niečo zvláštne. Obrazov a čarbaníc tu na stenách bolo habadej, no táto v sebe mala príliš veľa štruktúry.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Obrazec na stene zobrazoval násobenie pod seba. Písmenká sú rôzne cifry.

??A
×??

BCBC
?DE?

FGFG?

Nájdite číslo ABCDEFG.

Kým Alex nadšene riešil, Lukáš sa zadíval aj na okolité čarbanice.

„Niekto sa to snažil skryť,” skonštatoval, pričom skúmal rôzne kresby, podivne zarovnané do tvaru šípky, „ale myslím, že ukazujú na tamtie dvere.” Myslel tým jedny z hŕby obyčajne vyzerajúcich dverí, ktoré sa nachádzali na druhej strane chodby.

„Výsledok tohoto celého mišmašu je jednoducho kód… Myslíš, že je to kód k tým dverám?” mávol Alex na stenu.

„Máš nejaký iné vysvetlenie?” pozrel naňho Lukáš.

„Nie.”

„Tak to skúsme.”

Alex zadal číslo do číselníku a dvere šťukli. Čo nasledovalo, bola najúchvatnejšia a najväčšia miestnosť, ktorú kedy chlapci videli. Pologuľový strop sa ťahal ďaleko do výšky, stĺpy po bokoch boli vyzdobené ornamentami a celej miestnosti dominoval nekonečne obrovský tmavý stôl, za ktorým sedeli významne vyzerajúci ľudia.

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Za okrúhlym stolom sedí 420 výprav z rôznych kráľovstiev. Presne polovica kráľovstiev vyslala ako výpravu iba svojho kráľa, a druhá polovica s ním vyslala aj kráľovnú. Bez ohľadu na usadenie výprav, dokázali by sme rozdeliť stôl na dva súvislé neprekrývajúce sa úseky tak, aby každá výprava bola v nejakom úseku a každý úsek obsahoval rovnako veľa ľudí? A čo ak by boli úseky 3? Vedeli by sme to spraviť aj vtedy? Ak áno, nezabudnite ukázať, že to ide vždy.

„Vyzerá to tak, že sme vkĺzli na nejaké dôležité stretnutie,” zašepkal Alex, „radšej sa schovajme.”

Kým sa presúvali v tieni stien miestnosti, Lukáš len udivene sledoval akéhosi pána v obleku, ktorý rečnil uprostred okrúhleho stola pred zhromaždenými.

„...a vďaka snahe našich spolkových vedcov a vašej finančnej podpore sa nám konečne podarilo získať výsledky z dlhotrvajúceho oceánskeho výskumu.”

„Kašli na to, tu sa schovaj,” súril Alex Lukáša do akejsi diery.

„Už roky sa ľudstvo bojí oceánu, v ktorom žije. Je načase, aby sme ho sami ovládli a boli strojcami vlastného osudu. Je mi preto cťou vám dnes ukázať výplody našej vedeckej práce. Vládca vĺn - Poseidón.”

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Majme zariadenie v tvare trojuholníka ABC, nech D, E sú na strane BC tak, že |BD| = |DE| = |EC|, nech F je stred CA a nech G je na strane AB tak, že 2|BG| = |GA|. Predpokladajme, že uhol \sphericalangle BGE je pravý. Nech P je priesečník DF s AB. Nech veľkosť AP je 8 a obsah ADF je 4. Nájdite veľkosť GE.

„Čo sa deje?” zašepkal vyľakane Lukáš, keď ho zrazu hádzalo zo strany na stranu.

„Netuším,” odvedtil usmievajúci sa Alex, „ale pozri, našiel som tu cool súčiastky. Chcelo to trochu snahy ich odmontovať, ale budú sa hodiť na vzducholodi.”

„Ticho!”

„...vieme, že je o experimenty s prototypom už teraz veľký záujem, avšak prosím, nechajte ma prístroj aspoň odprezentovať. Problém s poradovníkom vyriešime neskôr. Tak, tu ho máte!”

Lukáš a Alex pozerali na šokovanú sálu z prostredku stola.

„Uhmmm, eeeh, noo…” habkal šokovaný pán v obleku, narýchlo vymýšľajúc vysvetlenie, „aaaa toto sú naši slávni matematickí asistenti z akadémie vied, ktorí vám iba za 1 minútu povedia, v akom poradí môžete s prístrojom experimentovať!” „ČO?”

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

420 výprav z rôznych krajín sedí za okrúhlym stolom. Úlohou je každej výprave priradiť číslo v poradovníku (od 1 do 420, každé práve raz), avšak s jednou podmienkou. Ak tri výpravy s číslami A, B, C sedia vedľa seba (obsadzujú 3 miesta vedľa seba za stolom v poradí tak, že B je medzi A a C), musí platiť že (A + C) je deliteľné B+1. Je možné s touto podmienkou rozdeliť čísla?

„No vidíte! Problém vášho usadenia je naozaj zapeklitý! Ani bystré akademické hlavy Esarpu nedokázali túto náročnú úlohu vyriešiť!”

„HEJ! Daj mi tak ešte 2 minúty! Toto je celé nejaká hlúposť. My ani nie sme…” Alex sa zrazu zvalil bezvládny na zem. Lukáša zamrazilo a stuhol. Tesne pred Alexovým kolapsom si totiž všimol jemný pohyb dvoch prstov pána v obleku, ktoré na Alexa namieril.

„Nič sa však nebojte, tento neúspech neostane bez trestu!” prezentoval ďalej pán v obleku, ktorého toto prekvapenie takmer ani vyviedlo z miery. „Ich osud bude rozhodnutý v hre o mincu! Budú odsúdení na smrť kliatbou znaku, alebo ich hlava odsúdi do vyhnanstva? Sledujte a bavte sa!”

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

V špeciálnej hre o mincu hodíme mincou 100 krát. Prvý hod je určite hlava, a druhý hod je určite znak. Každý nasledujúci hod funguje nasledovne. Ak sme už doteraz hodili A hláv a B znakov, tak pravdepodobnosť, že v tomto hode hodíme hlavu je \frac{A}{A+B}. Naopak, šanca že hodíme znak je \frac{B}{A+B}. Aká je pravdepodobnosť, že zo 100 hodov padne v práve 50 hlava?

Kým sa hádzalo mincou, všimol si Lukáš, aký pokojní boli členovia výprav. Nikoho netrápi, že ich tu možno pred všetkými popravia?

Našťastie sa však pán opäť ozval: „A vyhráva hlava! Viem, že niektorí z vás sa budú cítiť sklamaní, avšak bez šance sklamania to nie je napínavá hra!”

Pán sa obrátil preč od Lukáša skrčeného pri Alexovi, ale ešte na nich stihol mávnuť rukou. „Dosť ale bolo zábavy! Najprv odprezentujem hlavné funkcie Poseidóna, ako napríklad…”

Pod dobrodruhmi sa otvorila zem a Lukáš stratil vedomie. Keď sa opäť spamätal, triasol s ním Alex: „VSTÁVAJ!! SME V AKEJSI KOVOVEJ KRABICI POD MOROM A MÁME PROBLÉM. KLESÁME A STÚPA TLAK, ROZPUČÍ NÁS TO!”

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Chlapci chcú zvnútra vystužiť kocku pomocou kovových trámov. Kocka má rozmery 1000\times1000\times1000, teda vnútro sa skladá z 1000^3 prázdnych kociek vzduchu. Trám má rozmery 1000\times1\times1, a do kocky ho vieme vložiť iba celý tak, aby zaberal presne 1000 kociek vzduchu. Pre správne vystuženú kocku musia platiť nasledovné podmienky:

  • Každá stena trámu musí susediť buď so stenou veľkej kocky, alebo s iným trámom. Inými slovami, nemôže existovať taká stena trámu, ktorá celá susedí so vzduchom
  • Do kocky musíme vložiť aspoň jeden trám
  • Trámy sa nemôžu ohýbať ani prekrývať

Koľko najmenej trámov je potrebných na správne vystuženú kocku?

Po chvíli vystužovania strašidelné vŕzganie prestalo.

„Fuh,” klesol na zem uťahaný Alex, “čo sa dopekla stalo?”

„Netuším. Ale vyviazli sme ešte dobre, čo si spomínam.” Lukáš pozrel na kovovú miestnosť, v ktorej sa nachádzali. Citeľne sa na druhej strane kovu nachádzala iba voda. Strašidelnejší bol však fakt, že voda nebola iba vedľa nich, ale hlave POD nimi. Rýchlo totiž klesali. Alexovi sa za pár minút otázka „Aké hlboké to je?” zodpovedala sama, a to vo forme obrovského tresku, keď kovová krabica dopadla na akýsi povrch. Všetko stíchlo.

„No, a čo teraz?” Kým Alex chodil hore dolu po ich podvodnom väzení, Lukáš sedel v kúte a rozmýšľal, čo sa im to vlastne stalo. Nevedel, kde sú, ani ako sa odtiaľto dostatnú. Ako chlapci chodili a rozmýšľali, ticho vody okolo nich sa zintenzívňovalo. Vtom Lukáš vyskočil. Niečo klopalo na krabicu.