2. príklad - Vzorové riešenie

Máme zistiť koľko najmenej môže byť vrtúľ. Oplatí sa teda skúšať od najmenších čísel.

No a okrem toho vie vzducholoď aj stáť.

To znamená, že pre 2 vrtule existuje presne 9 pohybov, akými vie vzducholoď ísť. Takže rýchlosti od 1 do 13 to nepokryje.

Poďme teda na 3 vrtule.

Koľko rôznych pohybov vie byť v tomto prípade?

(Vrelo odporúčam čitateľovi si pár takýchto možností vypísať. Pokojne aj všetky. Je ich dosť, no nie až tak strašne veľa.)

Predstavme si, že vrtule s pohonmi A, B, C. Každá z vrtúľ má tri spôsoby ako vie byť zapojená:

• vie ísť dopredu
• vie byť vypnutá
• vie ísť dozadu

Takže pre vrtuľu s pohonom A sú tri možnosti ako vie ísť. Pre každú z týchto možností existujú tri možnosti ako vieme zapojiť vrtuľu B. Toto si vieme pekne ilustrovať na tomto obrázku:

Možnosti zapojenia vrtule A sú vo fialovom rámčeku a každému z nich prislúchajú 3 možnosti zapojenia vrtule B, ktoré sú v zelenom rámčeku. Plus v červenom znamená dopredu, Mínus v modrom znamená dozadu a Nula v bielom znamená, že je vrtuľa vypnutá. Dokopy teda 3\cdot3=9 možností.

A pre každú z týchto možností existujú 3 možnosti ako zapojiť vrtuľu C. takže ešte 9 \cdot 3=27 možností. (Preto sa nám ich tu nechcelo vypisovať :D.)

No dobre. Máme teda informáciu, že pre 3 vrtule by to teoreticky vedelo fungovať, keďže majú dostatočný počet možných pohybov. Teraz nám už iba stačí nájsť nejaké také tri hodnoty pohonov A, B, C, že to pre ne bude naozaj fungovať a overiť to.

V zadaní sa nás pýtajú, že “Aký môžu mať tieto vrtule pohon?”. To znamená, že stačí nájsť jednu trojicu, ktorá to bude spĺňať. Je teda v tomto bode úplne korektné aj iba skúšať rad za radom trojice, kým nejaká nebude sedieť :D.

My na to ale skúsime ísť trošku systematickejšie.

Začnime rýchlosťou 1. Ak chceme aby vzducholoď vedela ísť rýchlosťou 1, znamená to, že:

1. buď bude mať jedna vrtuľa pohon 1
2. alebo bude rozdiel pohonov nejakých dvoch vrtúľ 1

Poďme najprv zistiť, či by nemohlo existovať nejaké riešenie pre prvý prípad. Ak ho nájdeme, nemusíme sa tým druhým vôbec zapodievať :)).

Povedzme teda, že hodnota pohonu A=1.

Ako teraz docieliť rýchlosť 2?

Máme viac možností:

1. Pridáme vrtuľu s pohonom B=1, takže súčet A+B=2 a máme pokryté rýchlosti 1 a 2. 
2. Pridáme vrtuľu s pohonom B=2, takže súčet A+B=3 a máme pokryté rýchlosti 1, 2 a 3.
3. Pridáme vrtuľu s pohonom B=3, takže súčet A+B=4 a rozdiel (ak A pôjde dozadu) B-A=2. Budeme mať teda pokryté rýchlosti 1, 2, 3 a 4.

Ak je naším cieľom pokryť všetky hodnoty od 1 do 13, očividne sa najviac oplatí dať tam ako druhú vrtuľu B=3.

Postupným skúšaním už jednoducho prídeme na to, že posledná vrtuľa musí mať hodnotu pohonu 9. Je to v zásade podobný postup ako pri hľadaní vrtule s pohonom 3. Skúšame vrtule 4, 5, 6, 7, 8, 9 a zistíme, že 9 sa oplatí najviac, lebo tak vieme pokryť najviac hodnôt. Dokonca všetky, ktoré potrebujeme:

Ak sa vám zdá, že sme si ten pohon 9 na konci akosi “tipli” a neviete kvôli tomu spávať, odporúčam pozrieť si prvý bod zo sekcie poznámok na záver.

Odpoveď: Potrebujeme aspoň 3 vrtule a môžu mať pohon napríklad 1, 3, 9.

Komentár

Väčšina z vás zvládla nájsť správne hodnoty pohonov. Dokonca sa váš postup hľadania do veľkej miery podobal tomu, ako sme to hľadali my.

Avšak, to, že sme hodnoty pohonov hľadali fakt efektívne neznamená, že sa to nedá aj na menej vrtúľ. Bolo treba venovať zvlášť časť riešenia odôvodneniu, že na menej ako 3 to fakt fakt nejde :))

Poznámky na zamyslenie

To, že loď vie ísť rýchlosťami od 1 do 13 dopredu automaticky znamená, že vie ísť rýchlosťami od 1 do 13 aj dozadu (iba vymeníme znamienka - smer jazdy pri každom zo spôsobov vyššie). Preto sa na čísla 1, 3, 9 dalo prísť tak, že ich súčet musí byť presne 13. Inak by 27 možností pohybov skrátka nestačilo. Lebo 13+1+13=27, čo je súšet možných pohybov dopredu, dozadu, a státie (kedy nejde žiadna vrtuľa). Uvedomiť si toto je však pomerne náročné, preto sme sa rozhodli to vo vzorovom riešení uviesť až takto na záver.

Okrem toho, pozornému čitateľovi isto neušlo, že 1, 3, 9 sú postupne zväčšené trojnásobne. To Znamená, že ak by ďalšia vrtuľa mala hodnotu 27, vedeli by sme pokryť všetky rýchlosti od 1 do 40 (1+3+9+27=40). Zároveň je to dôvod, prečo sú 1, 3, 9 jediné pohony, ktoré pri 3 vrtuliach vyhovujú zadaniu.