Zadania 3. kola
Nastal deň D. Pred nasvieteným Louvrom zastala luxusná limuzína a z nej vystúpili tri elegantne oblečené postavy.
„Všetci pripravení?” spýtal sa don Chladivý. Big J. s Yekaterinou prikývli.
„Tak poďme.”
Všetci traja vstúpili na červený koberec a pobrali sa ku dverám.
Avšak skôr, ako stihli prejsť do polovice, zastal im cestu komisár Krivý: „Aká drzosť ukázať sa tu, Chladivý. Ja viem, čo máš za lubom, ale dnes ti to nevyjde. Osobne na to dám pozor.” Danko sa len záhadne pousmial.
Kým stihol odpovedať, už k nim pribehol hlavný správca: „Ahá, pán Chladivý, vitajte na tejto skromnej výstave. Prosím, ospravedlňte pána komisára, viete, dnes už sme tu mali pár roztržiek, keď sa nejakí neoprávnení hostia bez pozvánky pokúsili vniknúť na slávnosť…”
1. príklad
človek A: „Obaja ľudia, čo stoja vedľa mňa, hovoria pravdu.“
človek B: „Obaja ľudia, čo stoja vedľa mňa, klamú.“
človek C: „Práve jeden z dvoch ľudí, čo stoja vedľa mňa, klame.“
človek D: „Práve jeden z dvoch ľudí, čo stoja vedľa mňa, klame.“
„Nechajte nášho hosťa na pokoji.” odbil komisára správca. „Tak, pán Chladivý, užite si slávnosť. A vy, ctená dáma, ste kto?” prihovoril sa Yekaterine. „Smiem Vás požiadať o spoločnosť v tento krásny večer?”
Yekaterina sa koketne usmiala a pobrala sa dovnútra so správcom.
„Toto celé je vaše?” pýtala sa Yekaterina nevinne. „Nie, nie,” zasmial sa správca, „ja na to iba dávam pozor a všetko organizujem. Ale dovolím si tvrdiť, že je to veľmi náročná a hlavne dôležitá robota,” pochválil sa.
„Jejda!” spadla Yekaterina správcovi do rúk a pritom mu nenápadne odopla kartu z opasku. „Nejako sa mi zatočila hlava, nedoniesli by ste mi, prosím, niečo na pitie?”
2. príklad
Správca našiel 3 poháre. Jeden má objem 10dl, druhý 4dl a tretí neznámy celočíselný, ktorý je ale určite menší ako 11dl. Ten s objemom 10dl je po okraj napustený vodou.
Správca vie preliať vodu z ľubovoľného pohára do ľubovoľného iného, kým ho úplne nevyprázdni, alebo kým sa druhý pohár nenaplní až po okraj.
Ak je nejaký pohár plný až po okraj, správca to vidí. Vie správca vždy určiť objem tretieho pohára? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?
„Prístupová karta zabezpečená”, zašepkala Yekateriana do mikrofónu skrytého v náušnici. Vtom ale kútikom oka zachytila pohyb, niekto si k nej razil cestu davom.
„Myslím, že si ma všimol policajt, nemôžem kartu predať ďalej! Big J, poď ju vyzdvihnúť. Je zastrčená v torte na stole č. 3,” povedala a kým policajt prišiel, už sa obratne strácala v dave.
„Čo!? To nebolo v pláne!” rozčuľoval sa Big J. „Sakra! Veď tento stôl je plný koláčov, v ktorom z nich len je?”
3. príklad
Prístupová karta je schovaná v obdĺžnikovom koláči s obvodom 22 cm. Ten sme rozrezali na 3 menšie obdĺžniky. Jeden z nich mal rozmery 2\times 6 cm^2 a súčet obvodov všetkých troch menších obdĺžnikov bol o 18 cm väčší ako obvod pôvodného obdĺžnika. Aké rozmery mohol mať pôvodný obdĺžnik? Nájdite všetky možnosti.
Timo sedel v dodávke ukrytej v tieni Louvru. Čakal a schovával sa pred dažďom.
„Už majú kartu. Môžeš ísť,” povedal mu z predného sedadla operátor Hladký. Na tento signál čakal. Zhlboka sa nadýchol a začal šplhať po mokrej stene. Prsty sa mu šmýkali, dážď mu stekal do očí. Zrazu - šmyk! Noha mu ušla, stratil rovnováhu a len v poslednej chvíli sa zachytil. Na sekundu visel v prázdne. Zaťal zuby a liezol ďalej.
Nahmatal okno a s tichým cvaknutím ho pootvoril. Prešmykol sa dnu. Pred ním sa v prítmí leskli vitríny plné šperkov.
4. príklad
Šperky sú vo vitríne uložené v rade vedľa seba. V každom zo šperkov je vložených niekoľko drahokamov (nenulové celé kladné číslo). Timo si všimol, že nech zoberie ľubovoľných 19 šperkov ležiacich vedľa seba, celkový počet drahokamov v nich je párny. Taktiež, ak vezme ľubovoľných 20 šperkov ležiacich vedľa seba, celkový počet drahokamov v nich je nepárny. Koľko najviac šperkov môže byť vo vitríne?
Medzitým Big J. úspešne našiel prístupovú kartu, pričom sa poriadne najedol koláčov. Nenápadne sa vytratil zo sály a šiel vypnúť alarm.
Otvoril dvere do malého zaprášeného kumbálu, kde bol na stene panel s malou obrazovkou. Keď Big J. zadal kód, ktorý sa kvôli bezpečnosti pravidelne vymieňa, rozsvietil sa na nej nápis: „Vložte kartu a zadajte operáciu.”
5. príklad
Máme 6 čísel: 2, 3, 4, 5, 6 a 7 a ďalej máme 6 operácií: +, -, -, \times, \times a \div.
Big J. zadal kód - ľubovoľné prirodzené číslo k. Potom vložil kartu a tým na k aplikoval jednu z operácií spojenú s jedným z čísel (napríklad k+3 alebo k\div 7). Toto zopakoval ešte 5-krát s novovzniknutým číslom, pričom po každej operácii vzniklo nejaké prirodzené číslo. Každú operáciu a každé číslo použil práve raz a posledná operácia nebola delenie.
Nájdite všetky možnosti aké operácie a čísla mohli byť spolu na kartách a v akom poradí sa aplikovali (napríklad jedna možnosť je \div 2, \times 6, -7, -3, +5, \times 4) tak, aby bez ohľadu na to, aké bolo pôvodné číslo k, na konci vždy vzniklo toto číslo.
Svetlo vo výstavnej sále zablikalo a zhaslo.
„Výborne, alarm je vypnutý,” potešil sa Timo a pustil sa do práce. Do skla vyrezal malý kruhový otvor, len na veľkosť dlane, a začal cezeň vyberať náramky, náušnice, prstene a náhrdelníky plné farebných drahokamov. Keď ich všetky vytiahol, prešiel k oknu, ktorým predtým vošiel dnu, a postupne hádzal šperky do pripraveného auta. Hádzal ich pod presným uhlom, dával pozor, aby sa pri dopade nepoškodili.
6. príklad
Je daný pravidelný 15-uholník s vrcholmi A_1 až A_{15}. Vypočítajte menší z uhlov, ktorý zvierajú úsečky A_1A_{10} a A_8A_{12}.
Don Daniel Chladivý sa napäto prechádzal medzi hosťami. Zatiaľ všetko išlo hladko, ale znervózňovala ho prítomnosť komisára Krivého. Už niekoľko ráz mu skoro prekazil plány, no a dnes sú stávky o to vyššie. Kým jeho tím pracuje, bude musieť komisára nejako rozptýliť.
„Užívate si večer, komisár?“ prihovoril sa mu. „Vonku prší, my sedíme v najslávnejšom múzeu na svete - atmosféra ako z mafiánskeho filmu, nemyslíte si? Už len čakám, kým to tu niekto prezlečený za upratovača vykradne. Ale vo Vašej prítomnosti sa toho určite nemusíme obávať, všakže?” „Vysmievate sa mi?” zamračil sa naňho Krivý.
„To by som si nikdy nedovolil,” pokojne odvetil Danko, „viete, vždy som Vás považoval za dôstojného protivníka. Čo myslíte, dokázali by ste to aj pri hre?”
Danko vyhodil do vzduchu mincu, chytil ju a vyzývavo natiahol ruku ku komisárovi.
7. príklad
Don Chladivý a komisár Krivý hrajú hru, pričom don Chladivý začína. Na stole leží v rade za sebou 13 kôpok po jednej minci. Chladivý si vo svojom ťahu vyberie 5 kôpok za sebou a na vrch každej z nich pridá jednu mincu. Krivý si vo svojom ťahu vyberie ľubovoľné 3 kôpky a z každej z nich odoberie jednu mincu.
Nájdite najväčšie K, pre ktoré vie Chladivý zaručiť (bez ohľadu na to, ako hrá Krivý), že v nejakom momente hry bude v rade za sebou K kôpok s aspoň 42 mincami.
Big J. sa zakrádal prázdnymi chodbami múzea. Už vypol alarm aj kamery, takže sa nemusel báť, že ho niekto uvidí. Ale ešte sa nemohol vrátiť. Mal totiž od dona špeciálnu úlohu, ktorú najskôr musel splniť…
Vošiel do kancelárie hlavného správcu. Nad honosným dreveným stolom visel obraz. Johnny ho opatrne zvesil. Za obrazom, presne, ako mu don povedal, bol železný trezor. Začal točiť obrovským kovovým kolesom, aby zadal kód. Odrazu sa ozvalo prasknutie a Big J. vyvalene pozeral na odtrhnutú kľučku vo svojich rukách.
„Keď nemôžem trezor otvoriť,” uvažoval, “tak logicky musím zobrať celý trezor.”
Z celej sily sa zaprel a vytrhol ho zo steny.
„Do kýblika!” ušlo mu. Zo steny trčali pretrhnuté káble a na strope začalo blikať červené svetlo alarmu.
8. príklad
Zo steny visí niekoľko káblov. Každý z nich je označený prvočíslom (viacero rôznych káblov môže byť označených rovnakým prvočíslom). Big J. si všimol, že súčet ľubovoľných troch z nich je taktiež prvočíslo. Koľko najviac káblov mohlo trčať zo steny?
Slávnostnú atmosféru sály náhle prerušil prenikavý zvuk alarmu.
„Čo sa to deje?” spýtal sa don Chladivý komisára Krivého. „Vyzerá to, že Vám naozaj niekto ukradol šperky priamo spod nosa. Stavím sa, že už sú aj preč.”
„Ako si to urobil!? Celý večer som ťa nespustil z očí!” rozčuloval sa komisár Krivý. „Ja viem, že si za tým ty! Ale tentokrát ti to neprejde. Chytím tvojich kumpánov a vďaka ich svedectvu ťa konečne dostanem za mreže! Muži, do áut! Chyťte ich, nemôžu nám utiecť!”
„To sa ešte uvidí,” pousmial sa don Chladivý. „Prajem vám veľa šťastia s prenasledovaním.”
9. príklad
Prenasledovania sa účastní niekoľko policajných áut troch rôznych farieb, ktoré sú reprezentované bodmi v rovine.
Platí, že žiadne 3 autá rovnakej farby neležia na jednej priamke. Taktiež na každej úsečke spájajúcej 2 autá rovnakej farby sa nachádza aspoň jedno auto inej farby. Zistite, koľko najviac policajných áut môže prenasledovať zlodejov.
Dážď dopadal na predné sklo auta rútiaceho sa tmavými uličkami nočného mesta. Pneumatiky zaškrípali na mokrom asfalte, keď operátor Hladký prudko strhol volant do úzkej uličky. Skoro narazili, ale stálo to za to. S úľavou si vydýchol, lebo v spätnom zrkadle už nevidel majáky policajnej sirény. Zvládli to. Úspešne vykradli Louvre a utiekli. Operátor Hladký vycúval z uličky a zamieril von z mesta naspäť do vily dona Chladivého.
10. príklad
Tri mestá tvoria trojuholník ABC, v ktorom platí: \lvert\sphericalangle ABC\rvert = 15^\circ a \lvert\sphericalangle BCA\rvert = 30^\circ. Donova vila, bod D, leží na priamej ceste medzi B a C tak, aby platilo, že \lvert\sphericalangle ADC\rvert = 45^\circ. Dokážte, že D musí ležať v strede strany BC.
Vo vile už všetkých s napätím čakal Daniel Chladivý. „Zvládli ste to?” vyzvedal. „Big J., máš to?”
Yekaterina nechápala. „Čo má mať? Ty si ho poslal na sólovú misiu? To preto sa ozval alarm, aj keď mal byť vypnutý a skoro nás chytili? Dúfam, že to stálo za to.”
„Stálo,” odpovedal s pokojom Danko, „ide o najvzácnejší obraz na svete.”
„My sme ukradli Monu Lízu?” potešil sa Timo.
„Nie,” odvetil Danko, „my sme ukradli originál: Monu Lízinku.”
A rozprestrel na stôl plátno obrazu.
