Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 2. kola

Termín: 26. marec 2026 22:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk

Krištáľové lustre osvetľovali mramorový bar. Čulý hluk podnapitých rozhovorov sprevádzala hudba v pozadí. Yekaterina sa jemne usmiala na muža sediaceho oproti nej.

„Aké nádherné hodinky,” povedala s jemným prízvukom, „určite boli drahé.” „To bude musieť počkať na inokedy,“ ozval sa za ňou hlas budiaci rešpekt, „mám pre teba prácu.”

Yekaterina sa ani neobzrela. „Moment, zlatko, dospelí sa rozprávajú.“ Don Daniel Chladivý si pritiahol stoličku a prisadol si k stolu. „Choď preč. Kazíš mi večer,“ odvrkla Yekaterina. „A ak si si nevšimol, práve niečo robím.”

Danko položil na stôl prsteň s krásnym drahokamom. Yekaterina ho zobrala a natočila proti svetlu.

„Tak dobre,“ zaškerila sa. „Povedz mi, drahúšik… o čo presne sa jedná?“

1. príklad

Kategórie:
5
Prsteň (mriežka 3\times 3) je vyplnený číslami od 1 do 9, pričom každé je použité práve raz. Zrátajme súčet každej dvojice políčok susediacich hranou. Súčet všetkých týchto hodnôt je cena prsteňa. Aká je najväčšia možná cena prsteňa? A koľkými rôznymi vyplneniami sa dá dosiahnuť?

„Najskôr treba zohnať zvyšok tímu,” oznámil jej Danko. „Preto teraz skočíme do Monaka na najväčšie automobilové preteky sveta.”

Vo vzduchu sa vznášalo napätie a vôňa benzínu. Danko pristúpil k mužovi sklonenému nad motorom auta.

Skôr, než stihol otvoriť ústa, prerušilo ho rozhodné: „Nie. Po tom, čo sa stalo v Sydney, ma už neprehovoríš.”

„Veď nás nechytili, ušiel si im. Preto ťa potrebujem ešte jeden posledný krát. Okrem toho mi dlžíš.”

„S tým otravuj víťaza týchto pretekov.”

„Platí!” pousmial sa don.

„Nevzdal si sa nejako moc rýchlo?” vyzvedala Yekaterina.

„On súhlasil,” odvetil s arogantným kľudom Danko. „Veď uvidíš, operátor Hladký nikdy neprehráva.”

2. príklad

Kategórie:
5
6
10 áut s poradovými číslami od 1 do 10 prišlo za sebou do cieľa. Koľkými spôsobmi mohli doraziť do cieľa ak vieme, že:
  • Poradové čísla áut na nepárnych pozíciach klesajú.
  • Poradové čísla áut na párnych pozíciach stúpajú.
  • Auto č. 10 dorazilo ako prvé a auto č. 6 dorazilo ôsme.

„To je náš človek,” ukázal Danko na malú postavičku, ktorá liezla po 70-poschodovom mrakodrape.

„Dosť pôsobivý výber,” zhodnotil operátor Hladký. „Zaujímalo by ma, ako to robí.”

„To je jednoduché,” odpovedal Danko, „keď sa pozorne pozrieš, má špeciálne topánky, vďaka ktorým sa vôbec nešmýka.”

Odrazu postava, ktorá medzičasom vyliezla na úplný vrchol, skočila dole a tesne pred dopadom otvorila padák.

“Nový kšeft?” bolo počuť zhora, “rátajte so mnou!” A to už všetci videli na zem dopadnúť obrovské, staré, žlté, ledva pokope držiace kroksy a v nich vyškerený mládenec im podával ruku: “Čaute, ja som Timo.”

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Timove špeciálne kroksy majú tvar obdĺžnika ABCD. Na strane AB leží bod E a na strane CD leží bod H tak, že \lvert\sphericalangle HEB\rvert=45^\circ. Bod F leží na priamke DE. Bod G je rovnako ďaleko od B, ako je G od H. Body EFGH tvoria obdĺžnik. Dokážte, že štvoruholníky AEHD a EFGB musia mať rovnaký obsah.

Posledným členom tímu je stály zamestnanec dona Chladivého, informatik Bobor, ktorý sa hravo prehryzie každou nástrahou. Práve má na stole rozložený model bezpečnostného systému múzea a snaží sa prísť na to, ako ho obísť. No nikde nevie nájsť, aké veľké múzeum vlastne je.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Múzeum má tvar obdĺžnika, ktorý je rozdelený na 9 štvorcovových miestností tak, ako na obrázku. Aké sú rozmery strán obdĺžnika, ak má malý biely štvorec stranu dĺžky 1?

„Verím, že ste sa už všetci spoznali,” začal don monológ. „Toto,” ukázal na projekciu Louvru, „je náš cieľ. Tento mesiac sa verejnosti sprístupní nová výstava. Deň predtým bude slávnostné otvorenie pre sponzorov, na ktoré sme samozrejme pozvaní, a vtedy udrieme. Nejaké otázky?”

„Nie ste hladní?” prihlásil sa Timo. „Lebo ja by som si dal zmrzlinu!”

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Operátor Hladký, Timo a Big J. majú každý iný, celočíselný počet eur a chcú si kúpiť zmrzlinu. Operátor Hladký mal najmenej, iba 1 euro, a kúpil si dve porcie. Ostatní dvaja sa rozhodli, že si kúpia čo najviac zmrzliny, čo si vedia za svoje peniaze kúpiť. Timo si kúpil 6 porcií a Big J. 11. Ani keby dali svoje peniaze dokopy, nestačilo by im to na 18 porcií. Koľko centov môže stáť jedna porcia zmrzliny? Nájdite všetky možnosti.

„Samotný plán,” pokračoval Danko po prestávke na lahodné občerstvenie, „znie nasledovne. Na otvorení bude aj hlavný správca, ktorý má kartu od bezpečnostného systému. Prvý krok bude ju získať. Po vypnutí alarmu sa Timo cez strešné okno dostane do sály so šperkami. Tie vyhodí von z okna, pod ktorým bude čakať operátor Hladký s autom pripraveným na únik. Na vypnutie zabezpečenia ešte potrebujeme aj špeciálny kód. Ten sa každý rok mení, no ak sa nemýlim, už čochvíľa ho zistíme.”

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Kódom je najmenšie prirodzené číslo väčšie ako 2026, ktoré sa nedá zapísať ako súčet dvoch palindrómov. Nájdite ho.

Poznámka: Palindróm je také číslo, ktorého zápis v desiatkovej sústave je rovnaký spredu aj zozadu.

Komisár Krivý sedel vo svojej kancelárii a rozmýšľal nad problémom: minule sa mu síce podarilo zabrániť ukradnutiu pravých šperkov, no nikoho neprichytil pri čine. Teraz ho navyše znepokojovali nedávne úteky z väzenia - to si určite Chladivý skladá bandu profesionálov na pomoc s ďalším zločinom. Sám na nich nemá šancu… Čo keby si teda zohnal vlastný tím? Brilantný nápad! Ale musia to byť tí najlepší z najlepších. Ako to spraviť? Aha! Vyberie ich súťažou.

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Súťaží 25 policajtov. Každý z nich prebehne pripravenú dráhu vždy za konkrétny nemenný čas, pričom žiadnym dvom policajtom netrvá pretek rovnako dlho. Naraz môžu štartovať maximálne piati. Komisár má však len jedny stopky, ktoré spustí na štarte, a môže ich stopnúť iba, keď skončí hociktorý z policajtov. Teda po každom preteku pozná presný čas jedného z policajtov a celkové poradie, v akom dobehli. Na koľko najmenej pretekov vie určiť, ktorý policajt bude prvý, ktorý bude druhý a ktorý bude tretí?

Medzitým dorazili šperky do múzea a zamestnanci začali pripravovať výstavu.

Vyniesli ťažké krabice, rozložili šperky a pobrali sa domov, keď ich zastavilo rázne „Čo to robíte, vy babráci!?"

„Takto to nedáva zmysel!” rozčuľoval sa hlavný kurátor. „Presuňte to naspäť!”

A tak úbohí zamestnanci strávili celý deň nosením šperkov z jednej sály do druhej, až kým nakoniec nebol hlavný kurátor spokojný.

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

5 výstavných sál je usporiadaných do kruhu. V každej je na začiatku nejaký párny počet vystavených šperkov. Vždy, keď hlavný kurátor zavelí, z každej sály sa presne polovica šperkov prenesie do sály o jedna vpravo. Ak sa v nejakej sále nachádza nepárny počet šperkov, tak sa do tejto sály jeden prinesie zo skladu.

Dokážte, že bez ohľadu na to, koľko bolo na začiatku šperkov a ako boli rozdelené v sálach, tak po nejakom konečnom počte krokov bude v každej sále rovnako veľa šperkov.

„Komisár, toto by ste mali vidieť,” podával mladý policajt zväzok novín svojmu šéfovi.

Krivý sa začítal: „Už tento piatok sa v parížskom Louvri uskutoční slávnostné otvorenie novej výstavy vzácnych historických šperkov, ktoré budú na ďalší deň sprístupnené verejnosti. Nasledujúci galavečer je určený pre podporovateľov múzea. Pozvanie prijal aj známy podnikateľ a milovník umenia Daniel Chladivý, ktorý podporuje umelecké výstavy naprieč celou Európou…"

Zdvihol oči od textu. „Takže vtedy udrie. Zožeňte mi pozvánku a kontaktujte múzeum, nech sprísnia ostrahu!”

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Ochranku tvorí n (prirodzené číslo) strážcov. Strážcovia sa vedia rôznymi spôsobmi rozdeliť na niekoľko rovnako veľkých skupín, pričom v každej skupine je celočíselný počet strážcov. Ak si zoradíme všetky možné veľkosti týchto skupín od najmenšej po najväčšiu zistíme, že celkový počet strážcov n sa rovná súčtu strážcov trinástej najmenšej skupiny (d13), šestnástej najmenšej skupiny (d16) a sedemnástej najmenšej skupiny (d17). Koľko strážcov môže pracovať v múzeu? Nájdite všetky možnosti.

Aj u dona Chladivého sú prípravy v plnom prúde. Yekaterina si skúša nové šaty a šperky, Timo kontroluje svoj padák, Big Johnny pred zrkadlom dvíha činky, obdivuje svoje svaly a od potu sa lesknúce čelo a Danko sedí vo svojom veľkom koženom kresle a rozmýšľa, čo by sa mohlo zajtra pokaziť. Napätie by sa priam dalo krájať. Len informatik Bobor a operátor Hladký v kľude hrajú Gigantickú Trestnú Autolúpež VI (ktorú informatik Bobor, určite legálnym spôsobom, ziskal, keď ho už omrzelo, ako každý rok posúvali oficiálne vydanie).

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Hra má tvar konvexného päťuholníka GTAVI, v ktorom platí: |\measuredangle ATG| = |\measuredangle GIV|, |\measuredangle VAT| = |\measuredangle IVA|.

Ďalej platí, že GT + VI = GI + TA. Dokážte, že tento päťuholník musí byť osovo súmerný podľa výšky z bodu G na stranu AV.