Zadania 1. kola
Dážď dopadal na predné sklo auta rútiaceho sa tmavými uličkami nočného mesta. Pneumatiky zaškrípali na mokrom asfalte, keď operátor Hladký prudko stúpol na plyn a auto preletelo cez červenú. V spätnom zrkadle vytrvalo blikali modré majáky policajnej sirény a neúprosne sa blížili.
„Do kýblika!” precedil cez zaťaté zuby, „myslel som si, že som ich už striasol!”
„Všetci sa držte, v tejto uličke ich stratíme.”
„Tá je príliš malá, tam sa nezmestíme!” zvrieskol Big J. „Máš snáď lepší nápad?” oponoval operátor Hladký a prudko strhol volantom.
„Do kýblika! AJAJÁJ!”
!BUM!
Auto sa rúti do uličky zvláštneho tvaru. Ale zmestí sa tam?
1. príklad
Zistite veľkosť uličky (obsah tmavo vyfarbenej časti obrázka), ak všetky 6-uholníky na obrázku sú pravidelné a majú obsah 6m^2. Nezabudnite odôvodniť, ako ste dospeli k výsledku.
Pred 3 mesiacmi - vila mafiánskeho bossa dona Daniela Chladivého
Don Daniel Chladivý sedel so založenými rukami v kresle pri okne a bez slova pozoroval tri osoby sediace oproti nemu. V priebehu ostatných dní sa k nemu dostávali chýry o príležitosti, ktorú si nemohol nechať ujsť - výstava drahých šperkov, klenotov, obrazov a iných vzácností. Tipy však prichádzali z rôznych strán a nie všetkým sa dalo veriť. Niektorí informátori radi prikrášľovali pravdu. Iní zas bez zaváhania klamali aj tvárou v tvár Dankovmu mrazivému pohľadu. Don Chladivý má na určovanie dôveryhodnosti informátorov špeciálny test.
2. príklad
Informátori sa delia do troch skupín:
- Dôveryhodní - vždy podávajú pravdivé informácie
- Nedôveryhodní - vždy podávajú nepravdivé informácie
- Neskúsení - môžu podať aj pravdivé aj nepravdivé informácie
Don Chladivý o trojici informátorov vie, že práve jeden z nich je dôveryhodný, práve jeden nedôveryhodný, a práve jeden neskúsený. Postupne ich zavolá do prázdnej miestnosti a každého sa spýta jednu otázku:
Don Chladivý: Kto si?
Informátor č. 1: Som neskúsený.
Don Chladivý: Kto je informátor č. 1?
Informátor č. 2: Č. 1 je dôveryhodný.
Don Chladivý: Povedal mi už niekto pred tebou pravdu?
Informátor č. 3: Nie.
Na základe týchto odpovedí pomôžte Dankovi zistiť dôveryhodnosť všetkých informátorov.
Po nekonečnom vypočúvaní sa Danko dozvedel, že pred slávnostným otvorením výstavy v najzabezpečenejšom francúzskom múzeu budú šperky prevážané cez mesto trojicou obrnených nákladiakov.
Danko (ako mozog celej operácie) vymyslel plán prepadu. Na cestu umiestnia prekážku a keď kamióny zastavia nad vyhovujúco umiestneným kanálovým poklopom, jednoducho vyrežú do spodku otvor, nenápadne nastúpia, vyhodia von šperky a kým sa kolóna znova pohne, budú dávno preč. Vskutku jednoduchý a elegantný plán. Čo by sa mohlo pokaziť?
3. príklad
Kamióny pôjdu po rovnej ceste rozdelenej na 12 častí (12 políčok), pričom na prvých troch stoja tri nákladiaky v rade za sebou. V každom “ťahu” sa jeden z nákladiakov posunie dopredu na najbližšie voľné políčko. Teda ak na políčku hneď pred ním už stojí iný nákladiak, jednoducho ho obíde a zaradí sa na najbližšie voľné políčko.
Koľkými rôznymi spôsobmi sa môžu všetky kamióny na 10 ťahov dostať na posledné 3 políčka? A koľkými rôznymi spôsobmi to vedia spraviť na 11 ťahov?
Poznámka: Rôzne spôsoby sú také, pri ktorých sa v niektorom ťahu hýbu rôzne kamióny.
Komisár Krivý sa namosúrene prechádzal popred nástenku plnú novinových výtlačkov, máp, svedectiev a fotografií podozrivých. Všetko poprepájané červenou niťou a v strede toho fotka usmievajúceho sa dona Daniela Chladivého na nejakej charitatívnej slávnosti, plná dier z mnohých tref šípkami.
„Raz ťa dostanem, ty zmrznutý cencúľ! Však počkaj!”
Sedem lúpeží. Sedem lúpeží a stále žiadne dôkazy. Aspoň nie dosť na to, aby ho zavreli tam, kam patrí. Komisár Krivý musel uznať, že takého súpera, ako je don Chladivý, ešte jakživ nestretol. Už to bude niekoľko dlhých rokov, čo na tomto prípade začal pracovať, a stále sa k jeho dolapeniu nepriblížil ani o krok. Odrazu zastal, odhrnul si z čela šticu mastných vlasov a usmial sa.
„To je triviálne!” vykríkol. Kúsky skladačky do seba konečne dokonale zapadli.
4. príklad
Skladačka (puzzle) má tvar obdĺžnika, v ktorom sa nenachádzajú žiadne diery. Skladá sa z 851 do seba zapojených a navzájom sa neprekrývajúcich dielikov piatich rôznych tvarov. Tvary sú usporiadané do mriežky - každý riadok a stĺpec má rovnako veľa dielikov. Zistite, koľko dielikov môže byť typu E. Nájdite všetky možnosti a ukážte, že iné neexistujú.
Poznámka: Dieliky pri skladaní môžeme otáčať, nie však preklápať.
Kolóna obrnených nákladiakov neprešla ani 10 kilometrov, keď bola náhle nútená zastaviť. Z áut sa rýchlo vyhrnula skupina ozbrojených mužov a začali prehľadávať okolie. Nikomu z nich však nenapadlo pozrieť sa pod kamión, kde sa za tichého škripotu pomaly otváral poklop. Dankov plán prebiehal bez akýchkoľvek komplikácií. Cez hukot bežiacich motorov nebol počuť ani zvuk šperkov dopadajúcich do nachystaného vreca. Všetko išlo ako po masle. Možno až príliš…
„To nie je možné,” všimol si jeden z donovich mužov, „tento náhrdelník je falošný! Je v ňom primálo drahokamov! A ani vzor nesedí!”
5. príklad
Pravý náhrdelník má tvar štvorca 5 \times 5 rozdeleného na niekoľko nepravidelných oblastí. V každom políčku je vsadených nejaký počet drahokamov (nezáporné celé číslo), pričom políčka, ktoré sú v rovnakej oblasti, majú v sebe rovnaký počet drahokamov. Čísla na boku udávajú celkový počet drahokamov v danom riadku alebo stĺpci. Aké počty drahokamov mohli byť v jednotlivých políčkach? Nájdite všetky možnosti.
„Banda amatérov,” zúril Danko, keď sa o tom dozvedel, „ani nevedia rozoznať návnadu od pravého nákladiaku so šperkami!” Alebo… Že by ho niekto zradil? Že by niekto vyzradil jeho plány? To si nemôže dovoliť riskovať. Je potrebné, nie, nutné zostaviť poriadny tím profesionálov, ktorým môže dôverovať.Takýto tím musí určite obsahovať: niekoho, kto vymyslí plán, niekoho, kto sa obratne vyhne všetkým nástrahám, niekoho, kto svojím šarmom zvedie pozornosť od lúpeže, niekoho, na všetku ťažkú prácu a niekoho, kto, keď sa celý plán náhodou pokazí, bude pripravený všetkých rýchlo odviesť preč. Pár takých kontaktov mal… Ale aké to len mali telefónne čísla???
6. príklad
Telefónne číslo mafiánskeho bossa dona Chladivého je 5-ciferné číslo. Každý z jeho piatich bývalých kolegov si vybral inú cifru donovho čísla a zmenil ju. Potom každý z nich vyskúšal, koľkými z čísel 2, 3, 4, 5 a 6 je jeho číslo deliteľné bezo zvyšku. Následne povedali:
Kolega 1: Moje číslo je deliteľné práve jedným z týchto čísel.
Kolega 2: Moje číslo je deliteľné práve dvomi z týchto čísel.
Kolega 3: Moje číslo je deliteľné práve tromi z týchto čísel.
Kolega 4: Moje číslo je deliteľné práve štyrmi z týchto čísel.
Kolega 5: Moje číslo je deliteľné práve piatimi z týchto čísel.
Môžu všetci hovoriť pravdu? Ak áno, aké môže byť telefónne číslo dona Chladivého? Ak nie, prečo nemôžu všetci hovoriť pravdu?
Danko sa bohužiaľ nikomu nedovolal. Väčšina jeho bývalých kolegov totiž sedí za mrežami (samozrejme, všetci boli odsúdení neprávom - predsa ide o obyčajnú skupinu ľudí s poctivou robotou), takže ich najprv bude musieť vyslobodiť. To ale nejde len tak ľahko. Najprv si musí naštudovať mapu, nájsť slepé uhly kamier a iné slabé miesta.
7. príklad
Väzenie má tvar päťuholníka ABCDE, ktorý má všetky strany rovnako dlhé (ale nemusí mať rovnaké všetky uhly). Taktiež platí, že |\measuredangle BCD| = 2 \cdot |\measuredangle ACE|. Aby sa z väzenia dalo dostať, treba vedieť veľkosť uhla ACE. Zistite ju.
„Hmm, ani toto väzenie nemá žiadne slabiny,” povzdychol si Danko a hodil ďalší pokrčený papier do koša. „A aj toto má príliš dobrú ostrahu…” Už-už sa vzdával, keď tu dostal brilantný nápad: síce sa nevie dostať do väzenia, aby niekoho vyslobodil, ale možno by sa doň dali aspoň poslať informácie, ako nepozorovane utiecť. Na to samozrejme poslúži Brutálne Funkčná Sieť agentov, ktorá doručí správu do tých správnych rúk.
8. príklad
Danko sa rozhodol poslať správu po svojej ultra tajnej sieti pozostávajúcej z niekoľkých agentov. Každý agent patrí buď do sektoru A, alebo do sektoru B. Aby sieť zostala bezpečná, iba niektorí agenti sa navzájom poznajú. Konkrétne každý agent (bez ohľadu na to, z ktorého je sektoru) pozná presne 4 agentov zo sektoru A a 3 agentov zo sektoru B. Koľko najmenej agentov môže byť v Dankovej informačnej sieti?
Glokva práve raňajkoval päťhviezdičkové väzenské jedlo, suchý chleba s porát nesplesnivenou paštékou, a vyrezával drevenú debničku, keď mu niekto podstrčil dokrčený papier s odkazom: „Don odkazuje, že Big Johnny musí utiecť z väzenia. Dnes v noci.“
Hneď na prvý pohľad je jasné, prečo sa don rozhodol do svojho tímu naverbovať práve Big Johnnyho. Najsvalnatejší chlap v celej väznici, celé telo mu križujú jazvy z nespočetných bitiek. Hovorí sa, že jednu utŕžil, keď ako osemročný holými rukami porazil medveďa hnedého. Na vyholenej hlave sa mu leskne záhadné tetovanie. Jednoducho drsný chlap.
9. príklad
Tetovanie má tvar trojuholníka ABC. |\measuredangle BAC| = 15° a |\measuredangle ACB| = 45°. Na polpriamke CB za bodom B leží bod D taký, že |BD|=2|BC|. Aká je veľkosť |\measuredangle ADC|?
Glokva nenápadne kývol hlavou v smere Big J., aby upútal jeho pozornosť. Stretli sa v upratovacej miestnosti ďaleko od nežiaducich uší a dohodli sa na pláne úteku: o polnoci sa nenápadne vykradnú zo svojich ciel (v Johnnyho prípade to znamená, že sa holými päsťami prebije cez meter hrubú betónovú stenu) a opatrne sa vykradnú von. Nemusia sa báť, že ich zachytia kamery, keďže ešte predtým ich vypne donom podplatený dozorca a rýchlo prídu k bráne, za ktorou ich už bude čakať únikové auto. Len čo ju odomknú, budú na slobode.
10. príklad
Na otvorenie väzenskej brány je potrebný kód. Kód sa skladá z dvojice prvočísel p a q, pre ktoré platí, že p^2+q^3 je druhá mocnina celého čísla. Nájdite všetky takéto dvojice.