Zadania 3. kola
Keď sa vedúci spýtali Fatimy a Orloka, či ich majú zobrať späť domov, nadšene súhlasili. Najprv sa ale museli zbaliť. Fatima potrebovala pomoc pri balení a preto pozvala dievčatá vedúce do jej zaujímavej izby tvaru trojuholníka.
1. príklad
Alicka si všimla, že izba v tvare trojuholníka má obvod 21. Dĺžky stien tejto izby sú celočíselné. Navyše pre každý pár stien platí, že dĺžka jednej je deliteľná dĺžkou druhej. Koľko rôznych miestností v tvare trojuholníka (ktoré spĺňajú podmienky) by mohlo existovať?
Poznámka: Pre ľubovoľný trojuholník platí, že súčet kratších dvoch strán je väčší ako posledná strana. Teda vieme, že trojuholník s dĺžkami strán 2,3,4 existuje, ale trojuholník s dĺžkami strán 1,2,3 neexistuje.Keď sa Fatima a Orlok zbalili, Sebik išiel naložiť batožinu do ich obdĺžnikového kufra. Usporiadaval ju hodnú chvíľu, kým prišiel s pekným riešením.
2. príklad
Na náčrte je vidno pohľad spredu na uložené kufre, kde sa javia ako farebné obdĺžniky usporiadané do štvorca. Každý kufor je vyznačený inou farbou. Všetky kufre na náčrte majú rovnakú plochu. Vieme, že kratšia dĺžka zeleného kufra je 3.
Zistite dĺžku kratšej strany červeného kufra, ktorú vidíte na obrázku.
Poznámka: Obrázok v zadaní je len ilustračný, odmeraním jeho dĺžok nedostanete presnú odpoveď, ani body za úlohu.Onedlho zistili, že sa spolu s Orlokom a Fatimou sa do Sebikovho auta nezmestia. Orlok si ale spomenul na svoje staré auto, ktoré mal odparkované na samom konci cintorína. Rozdelili sa teda na dve skupiny. Jedna šla s Orlokom na Oravský hrad, druhá s Fatimou na Trenčiansky.
Keď prišli k starodávnemu autu, Prutky si všimol, že má nezvyčajnú ŠPZ-ku. Orlok z jeho zmäteného pohľadu vytušil, čo sa deje a ihneď mu odpovedal: „Za našich čias boli iba také ŠPZ-ky. Pekné matematické, nie tieto moderné gýče...“
3. príklad
Za Orlokových čias vyzerala ŠPZ-ka ako obdĺžnik z dvoch riadkov a troch stĺpcov. V každom políčku je nejaká cifra. Keď sa Sebik pozrel na celý horný riadok (na všetky čísla v ňom dokopy) videl, že cifry za sebou nasledujú vzostupne a sú nenulové.
Nájdite všetky možnosti, ako vyplniť ŠPZ-ku (obdĺžnik) tak, aby keď sčítame riadky, dostaneme 999 a keď sčítame stĺpce, tak dostaneme 99.
Orlok sa tak veľmi rozvášnil pri spomienke na staré časy, že pokračoval v rozprávaní. Vyrozprával vedúcim príhodu o upírčích narodeninových oslavách.
4. príklad
V Orlokovej mladosti žili v dedine tri upírie rodiny. Každá rodina mala iný počet detí - upírčat. Pekár im na narodeniny upiekol tri rovnako veľké torty - pre každú rodinu jednu. Upírčatá z každej rodiny si svoju rodinnú tortu rozdelili spravodlivo (teda každé upírča dostalo rovnaký diel). Keby sa stretli 3 upírčatá (každé z inej rodiny) a spojili svoje kúsky torty, dostali by jednu celú tortu. Koľko upírčat môžu mať jednotlivé rodiny? Nájdite všetky možnosti.
Keď Orlok skončil svoj monológ, skupinka sa konečne vydala na cestu. S Orlokom v aute išli Danko, Kai a Prutky. Orlok dovolil Prutkymu šoférovať, lebo sa chcel rozprávať s ostatnými. Kai sa nudil, a tak sa pozrel, či nemá niečo zaujímavé vo vreckách. Našiel zápalky. Skôr, ako ho niekto stihol zastaviť, povedal: „Aha, mám zápalky. Môžeme si ich zapáliť a konečne niečo uvidíme.“ Vtom sa Orlok zarazil - upíri predsa v tme vidia aj bez zápalek. Už nebola iná možnosť. Vedúci sa museli priznať, že nie sú upíri, ale ľudia. Na ich prekvapenie ich však Orlok nenapadol, práve naopak. Potešil sa, že ho jeho kamaráti môžu naučiť všetky veci, ktoré túžil vedieť. Napríklad pozerať sa do svetla.
5. príklad
Po dlhom tréningu zostalo Dankovi 31 vyhorených zápaliek. Rozhodol sa poskladať mriežku 3 \times 4. (viď obrázok).
- Koľko štvorcov bolo v mriežke?
- Koľko najmenej zápaliek musel odobrať, aby nezostali v tabuľke žiadne štvorce?
Keď prišli Fatima a ostatní vedúci do Trenčína, uvideli mapku námestia. Malo tvar obdĺžnika. Bol tam vyznačený aj trojuholníkový kvetinový záhon. Štepi s Krivošom chceli vedieť, aký má plochu, aby vedeli, koľko hnojiva kúpiť, keby si chceli taký založiť na Matfyze.
6. príklad
Námestie ABCD je ľubovoľný obdĺžnik s obsahom 1. E je stred strany DC, F je stred strany AD, G je stred strany FE. Nakoniec I leží na úsečke GB tak, že |GI|=3|BI|. Aký je obsah trojuholníkového záhonu FIG?
Keď sa vedúcim konečne podarilo vymotať Krivoša a Štepiho z kvetín, dostali sa k bránam Trenčianskeho hradu. Zastavil ich zamknutý zámok. Aby odomkli zamknutý hrad, museli najprv zadať do zámku správny číselný kód.
7. príklad
Na otvorenie zámku museli do klávesnice zadať 5 rôznych cifier a, b, c, d, e a kladné celé číslo x, pre ktoré platí: a! \cdot b! \cdot c! \cdot d! \cdot e!=x!. Nájdite všetky možnosti cifier, pre ktoré existuje kladné celé x, aby daná rovnica platila.
Poznámka: Faktoriál čísla n sa definuje ako súčin n \cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 = n!. Ak n = 0, tak 0! = 1. Potom napr. 4 faktoriál: 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24.Aj Orlokova skupina už prichádzala k svojmu cieľu a pomaly sa blížil čas lúčenia. Orlok mal ale ešte jednu prosbu. Keďže sú naši vedúci tak skvelí matematici, spýtal sa ich, či mu nepomohli s jednou nespratnou tabuľkou.
8. príklad
Orlok má tabuľku n \times n. V prvom riadku sú čísla postupne od \frac{1}{1}, \frac{1}{2},\dots, \frac{1}{n}, v druhom riadku \frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{n+1}, až v poslednom riadku sú čísla \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \dots, \frac{1}{2n-1}. Dokážte, že ak z nej vyberieme čísla tak, že z každého riadka a stĺpca vyberieme práve jedno, ich súčet bude aspoň 1.
Po vyriešení tabuľky vyložili Orloka na Oravskom hrade a ponáhľali sa vlakom za svojimi kamarátmi do Trenčína.
V Trenčíne sa vedúci už dostali cez zámok do hradu. Zaviedli Fatimu k fontáne, kde ju dlhé roky čakal Omar. Tú radosť na ich tvárach, keď sa konečne videli, si budú pamätať do konca života. Omar im od samého šťastia poďakoval a chcel sa im odvďačiť komentovanou prehliadku hradu. Začal v pokladnici plnej drahokamov.
9. príklad
Majme 7 kôpok drahokamov s 2014 drahokamami a jednu kôpku s 2008 drahokamami. Dvaja hráči sa striedajú v ťahoch, pričom v každom ťahu hráč z každej kôpky odstráni iný počet drahokamov od 1 po 8. Hráč, ktorý nemá ťah, prehráva. Určte, ktorý hráč má výhernú stratégiu.
Keď vyšli naplnení kultúrou z Trenčianskeho hradu, pred bránami ich už čakali Danko, Kai a Prutky. Zvítali sa a spokojne nastúpili do Sebikovho auta.
„Aký zaujímavý a neobyčajný výlet!“ poznamenala Zuzka T. „Dokonca sme si aj našli nových kamarátov a pomohli im,“ doplnilla Alic. Všetci súhlasili. Cestou domov im bolo smutno, že ich výlet už končí. Krivošovi napadlo, že ich rozptýli trocha matematiky, a tak im dal posledný príklad dobrodružstva:
10. príklad
Nájdite všetky celé čísla n>2 také, že existuje deliteľ čísla n, označený d, spĺňajúci n = a^3 + d^3, kde a je najmenší deliteľ n väčší ako 1.
To bolo ale dobrodružstvo! Dúfame, že ste si ho užili rovnako ako my. Snáď sa vidíme na zimnom sústredku!