Zadania 2. kola
Na Prutkyho nos kvapla kvapka. A potom aj na líce. A aj na líce Sebika. Zrazu na všetkých kvapkalo. Majko sa ich snažil upokojiť: „Nebojte sa tých zvukov, to sú len hromy z diaľky - vyzerá to na poriadnu búrku. Predpokladám, že nejak poškodila vysielače, a preto nemáme nikto signál. Poďme sa radšej schovať pod tú strechu neďaleko.“
1. príklad
Pod strechu dobehli Kai, Majko, Sebik, Prutky a Zuzka Š. Podľa toho, koľkí v poradí dobehli, si pripísali poradové číslo od 1 do 5. Zároveň na nich padlo počas behu 3, 3, 6, 7 a 8 kvapiek dažďa (na každého jedno z daných čísel). Spolu má teda každý poradové číslo podľa toho, koľký dobehol a kvapkové číslo podľa počtu kvapiek, ktoré naňho padli. Vieme, že:
- Súčet kvapkových čísel ľudí, ktorí prišli skôr ako Sebik, je menej ako 7.
- Majko, Sebik a Prutky majú nepárny súčin kvapkových čísel.
- Prvá prišla Zuzka Š. alebo Kai.
- Súčin kvapkových čísel tretieho a štvrtého človeka je 56.
- Prutky ako jediný prišiel medzi Zuzkou Š. a Majkom.
Zistite, v akom poradí dobehli a kto mal aké kvapkové číslo.
Ani skupinka pri kostole nebola ušetrená pred búrkou. „Začína pršať. Poďme sa radšej schovať do kostola, aby sme nezmokli. Aspoň si ho poriadne poobzeráme,“ navrhla Alicka. Dvere na ich prekvapenie išli otvoriť. Vošli cez ne a očarila ich nevídaná krása interiéru kostola. Štepiho najviac zaujali fresky, obzvlášť jedna, ktorá vyzerala ako tabuľka. Okolo nej bolo namaľovaných niekoľko čísel.
2. príklad
Štepi vypĺňal tabuľku nasledovne: číslo v riadku alebo v stĺpci predstavuje súčet dvoch najväčších, prípadne najmenších číslic v danom riadku alebo stĺpci. Aby to nebolo také ľahké, Štepi sa rozhodol vypĺňať tabuľku iba ciframi od 1 po 9. Každú použil práve raz. Nájdite všetky možnosti, ako mohol Štepi vyplniť tabuľku.
Pod strechou sa krčilo 5 premočených postáv. Z tieňa sa k nim blížila ďalšia, k údivu zúčastnených úplne suchá. Vyžarovala temnú žiaru a ako sa približovala, tuhlavedúcim krv v žilách. Tvár mala mŕtvolne bledú, skoro priesvitnú. Okrem toho ale pripomínala krásnu mladú ženu s arabskými črtami tváre. V ruke držala košík a hmkala si melódiu, ktorá znela ako orientálny žalospev. Úplne ich opantala. Ani si nevšimli, ako z košíka vyťahuje 6 dlhých kobier.
3. príklad
Máme mriežku 5 \times 5 štvorcov. Na hrany dĺžky 1 tejto mriežky umiestňujeme kobry dlhé 10 (lomená čiara). Vieme umiestniť 6 kobier tak, aby na každej hrane bol práve jeden kus hada?
Poznámka: Lomenou čiarou myslíme takú postupnosť úsečiek, ktoré na seba nadväzujú (majú spoločné koncové body). Čiara sa navyše nikdy sama so sebou nekrižuje, ani sa sama seba nedotýka.„Štepi, nečmáraj po kultúrnej pamiatke! To je, ako keby si-“ Alica sa zarazila uprostred vety, pretože začula vŕzganie dverí. Kus steny sa sčista-jasna otvoril a pred vedúcimi stál vchod do tajnej miestnosti. Hnaní zvedavosťou vošli dnu. Celá miestnosť bola plná haraburdia - zaprášené šperky, knihy, nábytok. Zo stropu viseli netopiere. Krivoša ale najviac zaujali 4 starožitné nádoby, lebo boli vyleštené a jagali sa ako z čistého zlata.
4. príklad
Krivoš uvidel 4 nádoby označené A, B, C a D, ktoré na sebe mali vyryté kladné celé čísla. Všimol si, že nádoby A a B nemajú rovnaké čísla. Ďalej si všimol, že pokiaľ vynásobí čísla na nádobách A a C, tak mu vyjde rovnaké číslo, ako keď ku číslu vyrytému na nádobe B pripočíta 2. Ešte si všimol, že pokiaľ vynásobí čísla vyryté na nádobách B a D, tak dostane rovnaké číslo, ako keď ku číslu na nádobe A pripočíta číslo 1. Zistite, aké všetky štvorice čísel mohli byť vyryté na nádobách.
Po krásnej dievčine bol ďalší vnem vedúcich až nepríjemné precitnutie. Zobudil ich plač. Plač dievčaťa. Boli na cintoríne. Vedeli to preto, lebo v diaľke matne videli kostolnú vežu. Nevedeli, ako sa tam dostali ani kto bola tajomná postava, vedeli však, že teraz pred nimi sedí a narieka. Kai k nej prišiel a snažil sa ju upokojiť, zoznámiť sa s ňou. Medzi vzlykmi vyrozumeli, že sa volá Fatima a že sa stratila. Žalostivo fňukala, že jej chýba Omar. Prutkymu sa niečo marilo, už tie mená počul, ale nedokázal si ich zaradiť. Dohodli sa, že najlepšie bude priviesť Fatimu na iné myšlienky. Vyzvali ju preto na partiu šachu s prosbou, či ich nevie zaviesť niekam, kde by menej fučalo a pršalo. Odviedla ich hlboko do katakomb. Boli prekvapení, keď zistili, že miestnosť v ktorej sa nachádzali, bola priestranná a mimoriadne útulná na pomery hrobky. Boli v nej stoly, stoličky, hudba a ďalší duchovia, ktorí spolu veselo hrali spoločenské hry a vrelo ich privítali medzi sebou.
5. príklad
V šachovom turnaji hrali každí dvaja hráči proti sebe práve jednu partiu. Za výhru dostal hráč 2 body, za remízu 1 a za prehru 0. Víťaz mal 8 bodov a na druhom mieste sa umiestnil hráč so 7 bodmi. Hráči, ktorí skončili na treťom a štvrtom mieste, mali obaja 4 body. Koľko bodov mohli mať zvyšní hráči? Nájdite všetky možnosti a nezabudnite odôvodniť, prečo žiadne iné byť nemohli.
Poznámka: V šachovom turnaji sa mohli, ale nemuseli zúčastniť všetci vedúci a mohli sa zúčastniť aj duchovia navyše.Keď sa vedúci dostatočne pokochali starožitnými nádobami, začali sa poriadne obzerať po miestnosti. Zuzka T. ale omylom zakopla o jednu z hromady kníh a za značného rachotu sa spolu s nimi zosypala na zem. Vtom sa splašil netopier visiaci zo stropu a pred ich očami sa okamžite premenil na muža. Vysokého, štíhleho a bieleho ako smrť. Vedúcich to tak vystrašilo, že nadobudli podobný odtieň pleti ako mal muž pred nimi. „Ale som sa zľakol! Čo tu chcete?!“, prehovoril muž. „Ja som upír Orlok. Kto ste vy a čo tu robíte?“ Vedúci by sa aj predstavili, ale báli sa, že im upír ublíži, pokiaľ by sa dozvedel, že sú ľudia a potenciálny zdroj krvi, a tak mu radšej povedali, že sú tiež upíri. Bolo to celkom uveriteľné, lebo boli tiež celí bledí. Orlok sa potešil („To je vzrušujúce! Upírov som nevidel už celé veky!“) a hneď ich viedol hlbšie do bludiska katakomb - konkrétne do spoločenskej miestnosti noci. Vedúci ho s búšiacimi srdcami potichu nasledovali. Keď zastali, nemali čas sa ani len poriadne poobzerať a Orlok im už vysvetľoval pravidlá spoločenskej hry.
6. príklad
Na začiatku je číslo n. Dvaja hráči - Orlok a skupinka vedúcich - sa striedajú v ťahoch, pričom v každom z nich hráč na ťahu odčíta od aktuálneho čísla jedného jeho deliteľa. Kto sa dostane na 0 prehráva. Určte v závislosti od n, ktorý hráč má výhernú stratégiu.
Keď vedúci dohrali šachový turnaj s Fatimou, cítila sa oveľa lepšie. Sebik sa obzrel okolo seba a bol absolútne šokovaný, keď uvidel, ako pri blízkom stole sedí Danko so svojou skupinkou. „Pozrite! To sú zvyšní vedúci! Konečne sme sa našli,“ zvolal Sebik. Podišli k druhej skupinke a Prutky povedal: „Neuveríte, čo sa nám stalo! Cestou sme našli Fatimu. Žiaľ, jediné čo o nej vieme, že sa stratila a chýba jej Omar. Nehovorí vám to niečo náhodou? Nám sa to zdá povedomé, ale nie a nie na to prísť.“ „Nepamätáte si na legendu o Studni lásky?” opýtala sa Zuzka T. „Tá je predsa o Trenčíne, priamo na hrade. Jej láska Omar ju kopal celé tri roky, len aby ju oslobodil.“
7. príklad
Studňa mala tvar obdĺžnika ABCD. Na stranách CD a BC vyznačme body X a Y také, že platí |\angle AXD| = |\angle CXY| = 45^\circ. Označme stred úsečky AX ako W a veďme ním priamku p rovnobežnú s XY. Tá pretne úsečku AB v bode Z. Nakoniec veďme bodom Y priamku q rovnobežnú s AB a označme jej priesečník s AD ako V. Ak platí |WZ| = |XY|, určte pomer obsahov obdĺžnikov ABCD a VYCD.
Potom sa Alicka s naliehavosťou v hlase opýtala: „My sme sa zasa zoznámili s týmto sympatickým, vysokým, bledým, vôbec nie strašidelne vyzerajúcim upírom Orlokom. Netuší niekto, odkiaľ je?“ A potom rýchlo dodala: „Bolo by ideálne to zistiť skôr ako on zistí, že nie sme upíri.“ Zuzka Š. - ako pravý milovník hororových filmov - hneď poznala odpoveď: „Ale veď on je hlavnou postavou z vyše sto rokov starého filmu Upír Nosferatu! Nikdy by som nepovedala, že skutočne existuje. Až mi naskočili zimomriavky.“ Dankovi niečo odrazu napadlo a odbehol aj so svojou automapou k susednému stolu. Vtom k nim pristúpila Fatima a vyzvala ich na partiu nezvyčajnej kartovej hry.
8. príklad
Majme 52 rôznych žolíkových kariet, teda máme z každého zo 4 znakov 13 rôznych kariet. Ideme hádať, aký znak má horná karta. Po každom pokuse sa pozrieme na danú kartu a potom ju zahodíme preč, teda sa už nebude nachádzať v balíku. Dokážte, že ak budeme hádať znak, ktorého je v balíku aktuálne najviac (v prípade remízy ľubovoľne), tak uhádneme aspoň 13 znakov.
Keď hru dohrali, doľahla na nich nesktočná únava. Krivoš zívol a ozval sa: „Počúvajte, ja by som aj išiel spať. Veď nás čaká ešte veľa cestovania.“ Pomaly sa začal dvíhať od stola. „To už chceš ísť spať?“, spýtal sa Orlok. „Veď sme sa iba pred chvíľou zobudili. Noc je ešte mladá!“ Krivoš odvetil: „No, to je síce pravda, ale my sme na nohách celý deň…“ V strede vety ho zahriakol Kai. „Musíme byť predsa nenápadní - upíri nechodia von cez deň!“ pošepol mu. Potom ho rýchlo opravil: „Vlastne máš pravdu, nie sme vôbec unavení, to len Krivoš by najradšej spal celé noci. Radi si s tebou zahráme ešte nejakú špecialitku, podľa tvojho výberu, samozrejme.” Orlokovi to prišlo síce trochu podozrivé, ale nedbal - hlavne, že si s ním zahrajú jeho obľúbenú hru.
9. príklad
Orlok sa rád hrá so šesťcifernými číslami. Vždy zoberie posledných niekoľko cifier a presunie ich (v pôvodnom poradí) na začiatok. Takže napríklad z 123456 môže spraviť 561234, ale nie 465123. Dokážte, že ak takto upraví ľubovoľný násobok 37, tak môže dostať len násobok 37.
Danko si spomenul, že predtým, ako sa stratili a našli v Banskej Štiavnici, boli predsa na Tour de Slovakia. Ich trasa viedla neďaleko Trenčianskeho a Oravského hradu a s trochou plánovania sa tam mohli zastaviť. Tak by si prezreli krásne hrady a zároveň vrátili Fatimu a Orloka späť domov. Začal si teda medzitým čmárať do svojej automapy a upravovať trasu.
10. príklad
Majme rovnobežník ABCD, označíme M stred strany BC a N stred strany CD. Bod X je priesečníkom AM a BD. Bod Y je taký, že AYBD je rovnobežník. Dokážte, že body N, X a Y ležia na jednej priamke.