2. príklad - Vzorové riešenie

Zadanie nám o tabuľke ponúka veľa informácii. Aby sme zistili, aké čísla vedia byť v tabuľke, treba týmito informáciami nejako štrukturovane postupne prechádzať a skúsiť z nich vyťažiť čo najviac.

Prvým takým zaujímavým pozorovaním je, že horný riadok má dve čísla. Súčet najväčších dvoch cifier bude teda 13 a súčet najmenších dvoch bude 5. Keďže máme v riadku ale len tri cifry, znamená to, že jedna z nich (tá stredne veľká) bude v oboch týchto súčtoch.

To isté platí aj pre pravý stĺpec, keďže tam máme hore 11 a dole 9.

Ďalej sa v zadaní spomína, že tabuľku vypĺňame ciframi od 1 do 9 a každú použijeme práve raz. To znamená, že najväčší možný súčet vie vzniknúť súčtom dvoch najväčších cifier 9 + 8 = 17. Čo si môžeme všimnúť je číslo 16 pre prostredný stĺpec. Je len o 1 menšie od 17, takže možnosti ako dostať 16 sú 8 + 8 = 16 (to sme akoby znížili o 1 cifru 9 v súčte 9 + 8 = 17) a 9 + 7 = 16 (to sme akoby znížili o 1 cifru 8 v súčte 9 + 8 = 17). Keďže sú ale cifry v tabuľke rôzne, určite sa využije druhá možnosť. Takže v prostrednom stĺpci budú cifry 9 a 7. Zatiaľ ale ešte nevieme, kde presne môžu byť.

Teraz sa pozrime na napríklad na 13 v hornom riadku. Súčet 13 vieme získať ako 9 + 4, 8 + 5 alebo 7 + 6. Všimnime si ale, že v rovnakom riadku je aj 5, ktorú vieme získať len ako 1 + 4 alebo 2 + 3.

My už ale vieme, že jedno číslo musia mať tieto súčty spoločné. Teda pre 13 nám zostáva len možnosť 9 + 4 a pre 5 nám zostáva možnosť 1 + 4, keďže toto je jediná dvojica súčtov, ktorá má spoločné jedno číslo, konkrétne 4. V hornom riadku musia byť čísla 1, 4, 9.

My sme ale už prišli na to, že 9 potrebujeme aj v prostrednom stĺpci. To znamená, že vieme jej finálnu polohu.

Pozrime sa teraz späť na prostredný stĺpec. Vieme, že v ňom musí byť 7 a máme už 9 v hornom políčku, teda 7 môže byť buď v strede alebo dole. V prostrednom riadku máme zadaný súčet 14. Ak by v tomto riadku bola 7, tak nemôže byť súčasťou súčtu 14, lebo druhé číslo tohto súčtu by tiež muselo byť 7, aby platilo 7 + 7 = 14, a potom by sa nám cifry opakovali.

To by ale znamenalo, že zvyšné 2 cifry sú buď obe menšie, alebo obe väčšie a dávajú súčet 14. Ak sú ale obe väčšie (menšie) ako 7, tak aj ich súčet bude väčší (menši) ako 2 \cdot 7 = 14. Teda ak chceme splniť súčet 14, tak 7 nemôže byť v strede a bude v spodnom políčku.

Teraz sa pozrime na pravý stĺpec. V tomto stĺpci máme zadané dva súčty (11​ a 9​) a už vieme, že v hornom políčku musí byť buď 1 alebo 4. Poďme zistiť, ktorá z týchto dvoch cifier tam môže byť.

Súčet dvoch najmenších cifier v tomto stĺpci je 9. Ak by 1 bola jednou z nich, tá druhá by musela byť 8. Lenže aby sme mali splnený aj súčet 11, posledná cifra v tomto stĺpci by musela byť 3. Potom by ale súčet dvoch najmenších cifier nebol 1 + 8 = 9, ale 1 + 3 = 4. Z toho teda vyplýva, že 1 v hornom políčku byť nemôže. To znamená, že 4 bude vpravo hore a 1 vľavo hore.

Teraz sa pozrime na pravý a ľavý stĺpec. V každom sú ešte dve prázdne políčka, ktorých súčet má byť 11. (Cifry 1 a 4, ktoré tam už sú, na tento súčet nevieme využiť, keďže k 1 by sme potrebovali 10, čo nie je cifra a k 4 by sme potrebovali 7, ktorú sme už použili). Súčet 11 vieme získať ako 9 + 2, 8 + 3, 7 + 4 a 6 + 5. Cifry 9 a 7 sme už ale použili v prostrednom stĺpci, takže zostávajú možnosti 8 + 3 a 6 + 5.

Ak by v pravom stĺpci boli čísla 3, 4 a 8, tak súčet najväčších 2 cifier je 4+8=12 a najmenších dvoch 3+4=7. Teda táto možnosť nesedí. Ale ak by tam boli čísla 4, 5 a 6 tak súčet najmenších dvoch je 4+5=9 a najväčších dvoch je 5+6=11.

Teda v pravom stĺpci sú čísla 4, 5, 6 a v ľavom 1, 3, 8.

Zostávajúce číslo 2 bude v prostrednom stĺpci.

Teraz sa nám už stačí pozrieť na prostredný riadok. Tam je číslo 14, ktoré vieme dostať ako 9+5, 8+6 alebo 7+7. Keďže cifru 9 sme už použili v hornom riadku a pri súčte 7+7 sa cifry opakujú, v prostrednom riadku budú cifry 8 a 6.

Tabuľka je týmto kompletne vyplnená: