Zadania 1. kola
Po rušnom období sústredení a letných táborov sa vedúci rozhodli, že si zaslúžia zaslúženú dovolenku. Kai s Dankom naplánovali celú trasu Tour de Slovakia. Vyrážali z Bratislavy už skoro ráno. Hlavným šoférom zájazdu bol Sebik. Na svojom 7-miestnom modrom Volkswagene dokázal odviezť všetkých 11 vedúcich. Ak sa pýtate, ako je to možné, Kai, Alica a obe Zuzky sedeli v kufri a hrali celú cestu na gitare.
Prvou zastávkou bola malebná Nitra. Ako tak fičali po rýchlostnej ceste 1, na čelné sklo sa im nalepilo zopár jedincov zaujímavo vyzerajúceho hmyzu.
1. príklad
Na čelnom okne boli nalepené štyri druhy cifruší. Každý druh bol inej farby a na chrbte mal škvrnu v tvare nejakej cifry. Usporiadali sa do obrazcov tak, že vyzerali ako matematické príklady. To zaujalo Krivoša a hneď z toho vymyslel úlohu, ktorú dal vypočítať Štepimu.
Máme 4 rôzne cifry A, B, C, D, pre ktoré platí, že:
\begin{aligned} &AB\\ +&CA\\ \hline &DA \end{aligned}
\begin{aligned} A&B\\ -C&A\\ \hline &A \end{aligned}
Aká cifra je D?
Poznámka: Žiadne dvojciferné číslo sa nezačína 0.Keď vedúci dorazili do Nitry, zamierili si to rovno do historickej časti mesta. Prešli popri soche Corgoňa, ktorému pohladili nohy, lebo podľa legendy sa im potom splnia tajné želania a túžby. Želali si, aby ich výlet bol nezabudnuteľný.
Neskôr dorazili do úplného centra. Na Svätoplukovom námestí ich očarila nádherná pestrofarebná dlažba, ktorá bola práve pokladaná partiou veselých robotníkov.
2. príklad
Námestná dlažba sa skladá z troch typov kachličiek. Robotníci ich vedia otáčať (nie však preklápať). Potrebujú položiť už iba malú plochu námestia.
Vyplňte dlaždicami spodnú tabuľku tak, aby vždy susedila rovnaká farba s rovnakou farbou aj pre vami pridané druhy kachličiek. Nájdite všetky možnosti.
Keď robotníci dokachličkovali námestie, vedúci si všimli fontánu, ktorá sa nachádzala neďaleko. Čľapkalo sa v nej niekoľko kačiek a bolo v nej veľké množstvo vodotryskov, sôch a svetiel. Obe Zuzky sa k nej hneď rozbehli a začali skúmať všetky jej krásy.
3. príklad
Vo fontáne je po obvode rovnomerne umiestnených 14 vodotryskov. Vyplňte modré políčka označujúce vodotrysky vo fontáne číslami od 1 po 14 tak, aby na každej strane bol súčet čísel rovnako veľký. Každé číslo môžete použiť iba raz. Takýchto vyplnení existuje viacero. Nájdite ľubovoľné vyplnenie, v ktorom je súčet čísel napísaných na strane najväčší možný a ukážte, že väčší súčet sa dosiahnuť nedá.
Kým si prezreli celé centrum mesta, zvečerilo sa a vyhladli. Išli sa teda najesť do malého zašitého podniku, keďže všetky slušne vyzerajúce už boli o takejto hodine zatvorené. V bistre U bosorky podávali iba veľmi podozrivo znejúce pokrmy typu Pečené pavúčie hniezda a Netopierie krídelká so skorocelovou omáčkou. Hostinská - neskutočne vyziabnutá starenka s dlhým nosom, na ktorom trónila obrovská bradavica - im odporúčala Opekané uši kamenného obra – chrumkavé zvonka, mäkké zvnútra, plnené prísadami neznámeho pôvodu. Všetci okrem Alicky a Prutkyho si z neobyčajného menu vybrali ešte neobyčajnejší pokrm. Keď dojedli, hostinská im ponúkla ubytovanie a hoci mali zajednaný hotel inde, jednoducho nemohli odmietnuť túto ponuku. Akoby im v tom niečo bránilo. Hostinská ich odviedla na izby a vysvetlila im podivuhodné pravidlá.
4. príklad
V bosoráckej ubytovni je 16 izieb a dokopy 16 ubytovaných (vrátane vedúcich). Izby sú rozmiestnené do štvorca 4 \times 4 a sú číslované po riadkoch. Ubytovaní si ale každú minútu menia izby, aby si vychutnali nezabudnuteľný zážitok pobytu v tomto podniku zo všetkých uhlov.
V plániku nižšie vidíte čísla izieb a tiež, do ktorej miestnosti sa ubytovaný posúva po pobyte v danej izbe.
Na začiatku (v prvej minúte) bol Majko v izbe č.1, Sebik v č.2, Krivoš v č.4 a Štepi v č.16.
- V koľkej minúte budú Krivoš a Štepi prvýkrát v susedných miestnostiach?
- V koľkej minúte budú Sebik a Majko 42-krát v susedných miestnostiach (okrem prvej minúty)?
Po hektickej noci nastalo ráno druhého dňa. Z podniku odišli najskôr, ako im telá a hostinská dovolili. Všetci sa zhodli na tom, že to bola mimoriadne divná skúsenosť.
Ich cesty ďalej viedli do Banskej Štiavnice. Tam sa akurát konal rytiersky festival, plný historických šermiarov, hudobníkov, grófov a šľachticov a samozrejme nechýbal ani pán kráľ so svojím početným potomstvom. Súčasťou hudobného festivalu bola aj poriadna tancovačka.
5. príklad
Na dobovom plese sa zúčastnilo 102 princov a 103 princezien. Na konci sa ukázalo, že každý princ tancoval s rovnakým počtom princezien. Museli nutne existovať dve princezné také, že obe tancovali s rovnakým počtom princov? Ak áno, prečo? Ak nie, prečo a ako by to vyzeralo?
Na Námestí sv. Trojice stál obrovský morový stĺp, ku ktorému ich niečo neodolateľne tiahlo. Keď už boli úplne blízko, všimli si, že sú na ňom vyryté dátumy, ktoré majú veľmi zaujímavé vlastnosti.
6. príklad
Špeciálne číslo je také, ktorého súčet so sebou samým napísaným odzadu má všetky cifry nepárne. Napr. 12 je špeciálne číslo, lebo 12+21=33.
- Existuje špeciálne 5-ciferné číslo?
- Existuje špeciálne 6-ciferné číslo?
- Existuje špeciálne 7-ciferné číslo?
Jedine Prutkyho a Alicku morový stĺp nejako veľmi nezaujal a netiahlo ich to k nemu. Radšej medzitým sedeli na lavičke a niečo si kreslili na creo.
7. príklad
Na creo Prutky napísal 7 rôznych reálnych čísel so súčtom 10. Potom Alicka zobrala každé číslo a vynásobila ho súčtom zvyšných čísel a toto nové číslo si zapísala na papier. Takto na papieri vzniklo 7 čísel, no iba 4 z nich boli rôzne.
Existuje veľa rôznych sedmíc, ktoré mohol Prutky napísať na creo, ale všetky tieto sedmice zdieľajú jedno číslo. Nájdite ho a zdôvodnite, prečo bez neho nevieme splniť podmienky.
Keď vyriešili matematické úvahy na námestí, bol čas posunúť sa ďalej. Keď ale Sebik naštartoval auto, začala svietiť a pípať kontrolka ohlasujúca málo benzínu v nádrži. Bolo mu to síce dosť divné, lebo tankoval iba pred pár hodinami, ale aj napriek tomu museli ísť natankovať. Keď dorazili na čerpaciu stanicu, uvítala ich predavačka s neodolateľnou ponukou: „Ak správne uhádnete dve čísla, na ktoré myslím, dostanete 50% zľavu na benzín!“. Krivoš ale rýchlo spočítal, s akou pravdepodobnosťou by sa trafili - skoro žiadnou. Všetci teda poprosili predavačku o pár nápovied. Jediné, čo im poradila, bolo:
8. príklad
„Ak moje dve prirodzené čísla zaokrúhlim na desiatky, potom:
- Podiel zaokrúhlených čísel je rovnaký ako podiel pôvodných čísel.
- Súčin zaokrúhlených čísel je o 295 väčší ako súčin pôvodných čísel.
- Súčet zaokrúhlených čísel je o 6 väčší ako súčet pôvodných čísel.
Na aké čísla myslím?“
Vedúci tento príklad samozrejme hravo vyriešili a po lacnom doplnení nádrže sa vydali do ďalšieho mesta.
„Už sme vo Zvolene, vstávajte!“, zvolal Danko, držiac v ruke automapu. „Chystáme sa do Kostola sv. Matúša.“ Tento oznam vyvolal veľmi rozdielne reakcie. Polovica vedúcich sa tešila, ale tá druhá nebola veľmi nadšená. Kultúry už mali niektorí na dnes dosť, a navyše celkom vyhladli. Predsa len, naposledy jedli U bosorky, a ani to nebolo príliš chutné. Rozdelili sa teda na dve skupiny: 1. skupina pod vedením Danka pôjde obdivovať geometriu architektonických pamiatok Zvolena a 2. skupina pod vedením kai pôjde zháňať obživu. Keď prvá skupinka dorazila ku kostolíku, nedokázala sa vynadívať na toľkú krásu. Stáli v nemom úžase a pozorovali architektonickú sofisitikovanosť a matematickú exaktnosť stavby. Najviac sa im páčila veža.9. príklad
Veža má tvar pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Na odvesne BC sú body D a E (v tomto poradí) také, že |\angle BDA| = 150^\circ, |\angle DAE| = 30^\circ a navyše |BD| = |EC| = 15 cm. Určte obsah trojuholníka ABC.
Druhá skupina medzitým dorazila k automatu na jedlo a hoci mali pri sebe nejaké peniaze, narazili na problém: netušia, aká minca má akú hodnotu.
10. príklad
Vedúci majú 6 navzájom rozoznateľných typov mincí s hodnotami 1, 2, 5, 10, 20, 50 (z každej ľubovoľne veľa), ale nevedia, ktorá má akú hodnotu. Automat, ktorý našli, im vie poskytnúť cukríky, každý s cenou 1. Keď hodia do automatu nejaké mince, dostanú cukrík a výdavok, teda sumu o 1 menšiu ako vhodili. Výdavok dostanú iba v rovnakých typoch mincí ako mali na začiatku.
Koľko najmenej cukríkov si potrebujú kúpiť, aby bez ohľadu na to, ako bude automat vydávať, vedeli s istotou určiť hodnotu každej mince?
Začalo sa stmievať. Kai si to všimol a hneď sa pokúšal zavolať Dankovi. Vtom ale zistil, že nemá signál. Ešte horšie bolo, že ho nemal nikto. Domáci už spali a jediný zostávajúci zdroj navigácie je Dankova automapa. Skupinke po chrbte prebehli zimomriavky a oblial ich studený pot. Zrazu sa náhle ochladilo a začali počuť divné zvuky.
Ako sa skupinky medzi sebou nájdu v cudzom meste? Stihnú to skôr ako vylezú zdroje podivných zvukov?