Zadania 2. kola
Anička vytiahla z vrecka kompas a jemne poupravila smer, ktorým skupina kráčala. „Kedy tam už budeme?” Spýtala sa Ivka. Z jej tónu bolo cítiť, že hoci má piesok len v topánkach, pocitovo ho má až po krk. „Keď naprší a uschne,” usmiala sa Alic pri pohľade na čistú modrú oblohu. „Asi už uschlo,” povedal Macker pri pohľade z hrebeňa duny, za ktorou sa črtala sfinga, ktorá mala pre nich hádanku.
1. príklad
Zistite všetky navzájom rôzne cifry A, B, C, D, E, F a G, pre ktoré platí, že:
\begin{aligned} ABCDA \\ -EFGF \\ \hline FBGE \end{aligned}
„Správne,” ozvala sa mierne prekvapená sfinga. Túto hádanku už dlho nikto nevyriešil. Vlastne žiadnu jej hádanku nikdy nikto nevyriešil. Matne si spomínala na to, že keď niekto správne uhádne hádanku, má mu niečo dať. Po chvíli rozmýšľania si spomenula, že má nejaké vombatie kocky. Keďže sú to takí matematici, možno ich využijú na nejaké zaujímavé výpočty alebo sa s nimi budú môcť ohadzovať.
2. príklad
Niekoľko vedúcich, aspoň 1, dostali od sfingy 54 vombatích kociek. Kocky boli zelené a sivé, pričom počet sivých bol deliteľný 4 a počet zelených bol deliteľný 6. Hodnota zelenej kocky je rovnaká ako hodnota 3 sivých kociek. Vedúci si rozdelili kocky tak, že každý dostal rovnakú hodnotu a zároveň platilo, že každý vedúci mal aspoň dvakrát viac sivých kociek, ako zelených kociek a každý vedúci dostal minimálne jednu zelenú kocku. Nájdite všetky možnosti, koľko vedúcich mohlo byť.
„Mne z toho riešenia príkladov a hádaniek nejako vyhladlo,” oznámil Merlin, ktorému zaškvŕkalo v bruchu. Ivka si zložila z chrbta ruksak a zalovila do jeho hlbín. Po čase slávnoste vytiahla akési popučené gule posypané na nerozoznanie pieskom a kryštálovým cukrom: „Mne ostali z domu nejaké buchty a rada sa podelím pod podmienkou, že mi necháte tú čerešňovú.”
3. príklad
Ivka vytiahla z batohu 15 buchtičiek a položila ich do kruhu na tanier v tomto poradí: 7 kapustových, 7 mäsových, 1 čerešňová. Vedúci sa o tanier išli pobiť a pootočili tanier. Ivka chce nájsť buchtu, v ktorej sú čerešne, dokážte, že jej stačí zjesť 3 buchty.
Kým dojedli, padla noc. Na oblohe sa ligotala mliečna dráha a so slnkom odišla aj páľava. „Počujte, my sme to s tým teplom až tak dobre nevymysleli, veď tu je teraz hádam väčšia zima ako doma,” drkotal sa znovu Danko, ktorý si z tašky vyťahoval piatu vrstvu ponožiek. „Podáš aj mne jedny? Ideálne rovnakej farby.” Poprosila ho Alic.
4. príklad
Danko má v batohu 10 červených 13 žltých 12 bielych 16 zelených a 18 modrých ponožiek. Koľko musí náhodne vytiahnuť, aby mal istotu, že potom budeme mať aspoň z niektorej farby kladný párny počet. Nezabudnite vysvetliť, prečo pre menšie počty nebude mať istotu.
O budíček sa postaral Macker: „AAA! Čo to dokelu je?!?” Pozeral sa čerstvo rozlepenými očami na čosi, čo vyzeralo ako nepriznané dieťa škorpióna a pavúka. „Jeeej, aká pekná solifuga!” prišla sa pokochať Ivka. „Neboj, tá ti nič neurobí, pozri, už zaliezla do diery. Ale to, čo spravilo tú zvláštnu trojuholníkovú pavučinu, možno aj hej. Poďme radšej predsa len ďalej... ”
5. príklad
Sieť má tvar trojuholníka. Dokážte, že nech má tvar akéhokoľvek trojuholníka, možno ju rozdeliť na 22 trojuholníkov, z ktorých majá každý aspoň jeden uhol rovný 22^\degree, a ďalších 23 trojuholníkov, z ktorých každý má aspoň jeden uhol rovný 23\degree.
Vedúci na chvíľu zastavili, aby si oddýchli a najedli sa. Keď vysypali to málo, čo im ešte ostalo, ozval sa vystrašene Macker: „To je všetko?!” „Chcelo by to zastaviť sa niekde a dokúpiť jedlo a vodu,” Skonštatoval Danko. „To najprv musíme nejaký obchod nájsť. Neviem ako vy, ale ja sa o to snažím už dobrú chvíľu...” ozvala sa Alic a o čosi viac pragmaticky dodala, „to je teraz jedno. Máme ešte niekoľko kusov vifoniek, tak poďme prísť na to, ako si ich rozdeliť.”
6. príklad
Nájdite všetky prirodzené čísla n, ktorých súčet deliteľov vydelený n je 1{,}2.
Keď Merlin dojedol, spýtal sa Aničky, či si s ním nezahrá šach. Anička sa netvárila moc nadšene: „Šach už som hrala toľkokrát, až ma to začalo nudiť.” Merlin sa zamyslel a po chvíli prišiel s riešením: „Čo keby sme šachovnicu poupravili? Potom by to už nebol obyčajný šach.” „Ale ako?” zaujímalo Aničku. Nakoniec nehrali šach, ale trochu inú hru:
7. príklad
Merlin a Anička majú čierno-bielu šachovnicu 2n \times 2n. Definovali si na nej operáciu, že vymenia všetky biele políčka za čierne políčka a všetky čierne políčka za biele políčka v štvorci 2\times2. Pre ktoré n sa dá zjednofarebniť šachovnicu po konečnom počte operácií?
Vedúci kráčali iba chvíľku, keď Alic vystrašene vykríkla: „Škorpióni!” Ivka fascinovane poznamenala: „Pozrite koľko majú rôznych farieb.” „Raz, dva.. dokopy 5,” počítal rýchlo Macker. Danko si ako správny vedúci matematického sústredenia na počte škorpiónov hneď všimol niečo zaujímavé:
8. príklad
Nájdite všetky prirodzené čísla a > b > c > d > e > 0, aby platilo:
\left\lfloor\frac{a+b}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{b+c}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{c+d}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{d+e}{3}\right\rfloor^2 = 38
Kde \lfloor x\rfloor je dolná celá časť x, teda najväčšie prirodzené číslo nanajvýš x, napríklad \lfloor 5\rfloor = 5, \lfloor 4,7\rfloor = 4 a \lfloor 3,1\rfloor = 3.
„AU! On ma uštipol!” vykríkla vystrašene Anička. Ivka začala panikáriť: „Zrovna ten je jedovatý! Musíme rýchlo zohnať protijed.” Merlin prispel svojou troškou: „Mhm.. hlavne že máme aspoň jedlo a vodu?” Danko si panikárenia svojich druhov nevšímal. Bol plne fascinovaný škorpiónmi. Najprv ich farbami, teraz tvarom poranenia, ktoré zanechali na Aničkinej nohe. Všimol si, že klepetá škorpiónov majú zaujímavý tvar.
9. príklad
Škorpión má zaujímavé klepeto trojuholníkového tvaru s vrcholmi A, B, C. Nech A’, B’, C’ sú postupne na stranách BC, AC, AB tak, že AA’ je výška, BB’ je ťažnica a CC’ je os uhla. Dokážte, že A’B’C’ je rovnostranný trojuholník práve vtedy keď ABC je rovnostranný trojuholník.
Kým ostatní vedúci boli zaneprázdnení panikárením (alebo v Dankovom prípade škorpiónmi), Macker si všimol v diaľke nejakého muža s ťavami. Zakričal naňho a muž sa vybral k vedúcim. Po zoznámení a krátkom rozhovore vedúci zistili, že muž sa volá Matej a práve cestuje do púštneho mesta. Je tam vraj aj lekár, ktorý bude vedieť ošetriť Aničku. Vedúci sa teda vybrali spolu s Matejom do púštneho mesta. Aby im cesta plynula rýchlejšie, zahrali si s Matejom hru.
10. príklad
Majme tabuľku 2024\times1, 2 hráči - vedúci a Matej sa striedajú v ťahoch. Začínajú vedúci. V každom ťahu hráč umiestni do voľného políčka S alebo U. Hráč, ktorý vytvorí tri políčka po sebe, v ktorých je nápis SUS vyhráva. Ak sa minú všetky políčka a žiaden hráč nevyhrá, tak nastáva remíza. Určite, ktorý hráč má výhernú stratégiu, prípadne dokážte, že si obaja hráči môžu vynútiť remízu.
Keď vedúci dorazili do mesta, ihneď zašli za lekárom. Ten Aničku ošetril. Kým ona oddychovala, zvyšní vedúci doplnili zásoby jedla a vody. Po tom ako si pár dní v meste oddýchli a kúpili aj nejaké ťavy, boli pripravení na ďalšiu cestu.