Zadania 3. kola
Všetci sa konečne dostali k autobusu a účastníci sa hneď začali hádať o to kto bude kde sedieť.
1. príklad
Účastníci sa rozhodli, že si spravia turnaj o to, v akom poradí si vyberú miesta. O turnaji vieme tieto informácie:
- Jožo začal proti siedmakovi.
- Turnaja sa zúčastnilo 5 ľudí - piatak, šiestak, siedmak, ôsmak a deviatak.
- Deviatak skončil prostredný
- Mišo skončil hneď za šiestakom
- A Štefan skončil tesne pred ôsmakom, ktorý ale nebol posledný
- Víťaz vyhral tak, že v poslednom súboji porazil piataka, ktorý nakoniec skončil o jednu pozíciu za ním.
Na ktorej pozícii skončil siedmak?
Účastníci sa po turnaji usadili a autobus mohol vyraziť. Cesta na chatu bola ako vždy, veľmi divoká.
Autobus sa vydal závratnou rýchlosťou smerom k chate a vedúci dokonca niekedy mali pocit, že autobus prekročil maximálnu rýchlosť.
2. príklad
Vedúci sa snažili zistiť akou rýchlosťou išiel autobus, v autobuse bolo vidno, že číslo na tachometri bolo trojciferné tzn. ABC. Toto číslo sa zároveň odrážalo od skla, ktoré kryje tachometer, takže bolo vidno aj číslo, ktoré malo opačné poradie číslic ako číslo na tachometri tzn. CBA. Keďže sa tieto dve čísla prekrývali, tak vedúci vedeli prečítať iba ich súčin ktorý bol 92565. Aké všetky čísla mohli byť na tachometri?
Autobus letel dedinami a poliami, dolinami a horami. Rezal zákruty v takých rýchlostiach, že odstredivá sila v zákrute bola niekedy aj 5 násobne silnejšia ako gravitačná sila.Vedúcim sa preto rozsypali všetky papieriky, ktoré si pripravovali na zoznamovačky.
Našťastie príprava prebiehala na kruhovom stole, na ktorý si písali poznámky. Teraz treba hodnoty na jednotlivých papierikoch zrekonštruovať, to prebieha nasledovne.
3. príklad
Máme kruhový stôl, ktorý má na obvode vyrezaných 6 celých čísel (môžu byť aj záporné). Medzi číslami je vložených 6 papierov. Macker prišiel k jednému papieru, pozrel sa na číslo naľavo od papiera a odčítal od neho číslo napravo od papiera. Výsledok zapísal na papier. Napríklad, ak naľavo bolo na stole číslo 2 a napravo číslo 5, tak na papier napísal 2-5=-3. Tento postup zopakoval pre všetky papiere. Mohli byť na konci na papieroch napísané po sebe idúce čísla? Aké čísla by museli byť na začiatku na stole? Čo ak by na začiatku bolo na stole vyrezaných 7 čísel a medzi nimi 7 papierov?
Keď sa autobus pokúsil v svojej obrovskej rýchlosti prejsť kruhovým objazdom, nestihol šofér otočiť volantom a autobus preletel jeho stredom. Pod dopade autobus dostal šmyk, narazil do múrika a účastníkov rozsypal po okolí.
4. príklad
Účastníci sa rozleteli na 5 kôpok, pričom na každú kôpku pristál iný, celočíselný, kladný počet účastníkov. Koľko mohlo byť účastníkov, aby sme vedeli jednoznačne povedať, aké budú veľkosti kôpok? Nezáleží nám pri tom na ich poradí.
Poznámka: Ak by sme mali v zadaní iba 2 kôpky, fungovalo by 3 = 1 + 2 a 4 = 1 + 3, no napríklad 10 = 2 + 8 = 1 + 9, už nie.Aby sa z nášho sústredka nestala úplná pohroma tak si vedúci museli navzájom pomôcť v zbieraní detí, zháňaní nového autobusu a ďalších činnostiach, ktoré bolo treba spraviť aby sa všetkým podarilo dostať na sústredko.
5. príklad
Okolo autobusu je vo vrcholoch pravidelného 9-uholníka rozostavených 9 vedúcich. Ak vezmeme hocijakú dvojicu vedúcich, tak buď pomohol prvý vedúci druhému, alebo druhý prvému. Vedúci však sú veľmi dobre pripravení na krízové situácie, a preto každý vedúci najprv pomohol vedúcemu, ktorý bol hneď naľavo od neho. Dokážte, že v takomto prípade existuje trojica vedúcich A,B,C taká, že A pomohol B, B pomohol C a C pomohol A.
Vedúci vďaka sile priateľstva hneď vybavili nový autobus a vyriešili ako dostať účastníkov na sústredko. V tom si ale uvedomili, že vlastne musia ešte pozbierať účastníkov, ktorí sa rozleteli po okolí. Nemôžu ich predsa presunúť do autobusu, ak sú rozletení po celom kruhovom objazde.
6. príklad
Účastníci boli rozletení po kruhovom objazde tak, že sa dalo povedať, že ležali v tabuľke 2 \times 8. Každý účastník v tabuľke mal ešte od kupéčkovej hry (úloha 4, 2.kolo) na čele číslo od 1 do 17. Vieme že na kruhovom objazde neboli dvaja účastníci s rovnakým číslom. Koľkými spôsobmi mohli byť účastníci rozdelení, ak súčet čísel v každom z ôsmich stĺpcov bol rovnaký a súčet čísel v dolnom riadku bol dvojnásobok súčtu čísel v hornom riadku?
Naši nešťastní účastníci sa z nehody otriasli a pobrali sa sťažovať vedúcim, tí však mali všetko už vybavené a vedeli že sa nemá už čo pokaziť. Preto začali účastníkov upokojovať a sľúbili im že sústredko bude už iba úžasné. Potom Danko poslal účastníkov pozbierať si veci a Ela zatiaľ navigovala nový autobus k miestu kde sa vykotil ten starý.
7. príklad
Nový autobus má divný tvar a vedúci nevedia, či sa do neho zmestia všetci účastníci, pomôžte im zistiť koľko miest na sedenie má.
Autobus je štvorec so stranou 12m, ktorý je rozdelený tak, ako na obrázku. V tmavších častiach sú miesta na sedenie a bledšie miesta sú priestory na batožinu. Zistite, aká plocha autobusu má miesta na sedenie, ak obsah bielej časti v strede je 12m^2.
“Tak ak sa tam nezmestíme tak môžu nejakí účastníci sedieť v batožinovom priestore, to už zvládneme,” povzbudila vedúcich Uršuľa a všetci nastúpili do autobusu.
Keď vedúci počítali účastníkov v autobuse, zistili, že ich je o jedného viac. Ale lepšie viac ako menej a teda to nebrali ako problém.
8. príklad
Jeden problém, ktorý ale vznikol bol, že teraz nevedeli ako rozdeliť účastníkov. Na začiatku cesty bolo n účastníkov, ktorí sa dali rozdeliť do rovnakých skupiniek 4 rôznymi spôsobmi, pričom nezáleží, ktorý účastník je v akej skupinke. Avšak teraz keď jeden pribudol, dá sa to iba 3 rôznymi spôsobmi, pričom znovu nezáleží, ktorý účastník je v ktorej skupinke. Koľko mohlo byť účastníkov?
Poznámka: Aj 1 skupinka je spôsob rozdelenia na skupinky.“Nemusíme riešiť koľko je účastníkov ak ich je dosť. Čo však treba spraviť je nájsť mapu a navigovať autobusára ku chate,” povedal Sebik.
“To je pravda, neviete kam sme dali mapu?” spýtal sa Mati.
“Neviem, nemal ju Johnny?” povedal zmätene Prutky.
“Ja? A vlastne možno aj hej,” odvetil Johnny a vybral mapu.
9. príklad
Na mape tvorí cesta Stanica-Objazd-Chata trojuholník, pričom vzdialenosť zo Stanice k Objazdu je 21km a vzdialenosť zo Stanice na Chatu je 20km. Na ceste zo Stanice k Chate je nakreslená Rekonštrukcia mosta vzdialená od stanice 8km, kvôli ktorej nemohol ísť autobus priamo. Na ceste zo Stanice k Objazdu si vedúci všimli obchod, pričom jeho vzdialenosť od Stanice bola 10km. Ako ďaleko je to z Objazdu ku Chate, ak viete, že rieka idúca cez Rekonštrukciu mosta a Obchod je kolmá na cestu zo Stanice na Chatu?
Poznámka: Všetky cesty a rieky sú rovné úsečky.“Už to nie je tak ďaleko, poďme už na chatu” zavelil Šálka a autobus vyrazil smerom ku chate.
Zvyšok cesty už bol príjemný a bezpečný. Vedúci si konečne mohli oddýchnuť a neriešiť problémy s dopravou.
Po asi pol hodine kľudnej cesty autobus dorazil ku chate a začal parkovať na parkovisku pred chatou.
10. príklad
Parkovisko má tvar tabuľky n \times n a autobus stojí na ľavom hornom políčku. Chatár je veľký komediant a preto chce donútiť autobusára zastaviť na každom jednom políčku parkoviska tak, aby si autobusár nevšimol, že si z neho robí srandu. Preto vie autobusára navigovať iba tak, že zastaví o 2 políčka diagonálne, od miesta kde stojí, alebo zastaví na ľubovoľnom hranou susediacom políčku, od toho istého miesta. Navyše na žiadnom políčku autobusár nemôže zastaviť viac ako raz, inak by mu to prišlo podozrivé. Nakoniec vieme, že chatár strieda autobusárove pohyby, pričom prvý krát poslal autobusára o 2 políčka diagonálne od jeho pôvodnej polohy. Určte pre ktoré n sa chatárovi podarí, autobusára navigovať cez všetky políčka, bez toho, aby si autobusár všimol, že si z neho strieľa:
- pre n = 4,
- pre n = 8,
- pre n = 9
Keď autobus konečne zaparkoval, tak sa všetci vyložili z autobusu a vydali sa vybaliť si veci na izby.
Vedúcim sa teda nakoniec podarilo v poriadku dostať na sústredko a sústredko bolo lepšie ako hocijaké iné sústredko doteraz.