Zadania 2. kola
Zo spánku vytrhol vedúcich nechutný zápach dymu, ktorý sa začal šíriť vlakom. Zmätení vedúci sa rýchlo prebrali a začali prehrabávať batožinu a hľadať všetko, čím by sa dal požiar vo vlaku uhasiť.
1. príklad
Vedúci našli vo veciach iba jednu flašu plnú vody. Aby vedeli efektívnejšie hasiť, tak vodu z tejto flaše rozliali do 3 pohárov rovným dielom. Následne si všimli, že prvý pohár je naplnený do jednej polovice, druhý do dvoch tretín a tretí do troch štvrtín svojho objemu. Aký je najmenší možný objem jednotlivých nádob, keď vieme, že je každý z nich celočíselný?
Keď si vedúci rozdelili vodu na hasenie, tak sa vydali na chodbu, aby zistili kde presne sa nachádza požiar. Dym prúdil smerom od lokomotívy. Cestou k lokomotíve našli vedúci hasiaci prístroj.
2. príklad
Na hasiacom prístroji sú 4 čísla určujúce jeho záruku. Čísla sú trochu rozmazané, zistiť sa z nich dá len nasledovné:
- Všetky štyri čísla sú kladné, menšie ako 50 a deliteľné 7
- Rozdiel súčtu dvoch väčších a súčtu dvoch menších čísel, je rovný najväčšiemu číslu.
- Rozdiel súčtu najmenšieho a najväčšieho čísla a súčtu prostredných dvoch je 7.
Pomôžte vedúcim zistiť, aké 4 čísla boli na hasiacom prístroji.
Keďže bol hasiaci prístroj ešte v záruke, tak sa vedúci rozbehli a začali hasiť požiar v lokomotíve.
Požiar bol celkom veľký, ale vedúcim sa ho po niekoľkých minútach podarilo uhasiť. Čo však vedúcich najviac prekvapilo bolo to, že vlak napriek požiaru pokračoval akoby sa nič nedialo.
Keď sa podarilo vedúcim oheň uhasiť, tak si všimli, že plamene poškodili čísla nad sedačkami a všetky číslice okrem 2,5 a 7 úplne zhoreli. Vedúci sa rozhodli, že skúsia očíslovať čo najviac sedačiek.
3. príklad
Vedúci majú čísla 2,5,7. Aké všetky čísla môžu vedúci jednoznačne vysčítať z týchto čísiel? Ako majú vysčítať tie, ktoré sa vysčítať dajú? A prečo sa tie zvyšné nedajú?
Napríklad č. 50 sa nedá vysčítať jednoznačne lebo ho vieme vysčítať ako 25 dvojok, ale aj ako 10 pätiek.Ako vedúci číslovali sedačky, tak si všimli, že na niektorých miestach majú miestenky a teda by tam mali sedieť účastníci, lenže nesedeli.
“Počúvaj Danko, chýbajú nám účastníci! Mali by sme sa ísť pozrieť, či tu niekde všetci sú, alebo sa nám niekto stratil pri požiari,” povedal Dušan.
4. príklad
Keď vedúci prechádzali vlak, tak našli 60 účastníkov usadených do kruhu v jednom kupé. Vedúci si všimli, že každý účastník má na čele napísané celé číslo (viacerí účastníci môžu mať rovnaké čísla). S údivom ďalej vypozorovali, že súčet ľubovoľných 8 po sebe idúcich čísel bol 30. Ďalej vieme, že súčet 14. a 54. čísla v kruhu je 12, rozdiel 38. a 7. je 4 a súčet 44. a 22. je 10. Aké číslo je na 1. pozícii?
“Fu, čo za hry to dnes tieto deti hrávajú? Za našich čias sme si šarádili,” posťažoval si Duško a išiel hľadať ostatných účastníkov. Aby sa už viac nestalo, že sa deti postrácajú, tak sa vedúci rozhodli rozdeliť ich do niekoľkých skupín.
5. príklad
Vedúci nevedeli, koľko presne má byť účastníkov, ale vedeli, že sa jedná o jedno z čísel tvaru \overline{ABC}, \overline{BAAB}, \overline{ABCBA}. Rozhodli sa, že ich rozdelia do n rovnakých skupín podľa toho, koľko ich je.
- Ak je počet účastníkov v tvare \overline{ABC}, tak ich rozdelia do 9 skupín.
- Ak je počet účastníkov v tvare \overline{BAAB},tak ich rozdelia do 5 skupín.
- A ak je počet účastníkov v tvare \overline{ABCBA}, tak ich rozdelia do 6 skupín.
Pre aké cifry A, B, C je môžné vždy (nezávisle na tvar) účastníkov rozdeliť do skupín vhodnej veľkosti?
Poznámka: \overline{XYZ} znamená číslo zložené z číslic X, Y, Z v tomto poradí za sebou.“Kubo, nerieš už účastníkov, nevieme na akej sme stanici. Musíme to zistiť, nech nezabudneme vystúpiť,” povedal Majko.
“Pravda, nemali by niekde vo vlaku byť cedule s nasledujúcimi stanicami?” spýtal sa ho Peťko.
“Tie po požiari nefungujú, ale vieme predsa, že po akej trase chodí vlak, a vieme aj ako sú stanice očíslované,” povedala Mária.
6. príklad
Vlak chodí po okružnej trase cez 9 staníc. Každá z nich je označená inou cifrou od 1 do 9 (nemusia byť v poradí).
- Dokážte, že existuje trojica po sebe idúcich staníc, ktorých čísla majú súčet aspoň 15.
- Dokážte, že existuje trojica po sebe idúcich staníc, ktorých čísla majú súčet aspoň 16.
“Na poslednej stanici som tuším videl šesťku, takže by sme mali ísť ešte 2 stanice,” povedal po pár minútach výpočtov Merlin.
“To by sme mohli…” zrazu Miša uprostred rozprávania prerušilo prudké zabrzdenie. “Prečo stojíme?” spýtala sa Alicka.
“Znie to, že sa niečo pokazilo. Musíme ísť pozrieť čo. Ak to je nejaký ďalší ešte silnejší požiar, tak tu nemôžeme len tak sedieť,” povedal Štepi.
Vedúci sa teda vybrali hľadať čo sa vo vlaku pokazilo. Celý vlak vyzeral napriek požiaru celkom v podobnom stave ako pred požiarom. Len z elektrickej skrinky pri lokomotíve lietali iskry.
“Toto vyzerá ako príčina tohto zastavenia. Musíme sa pozrieť, čo sa tam pokazilo,” povedal Macker a otvoril ju, pričom sa snažil vyhýbať iskrám.
7. príklad
Elektrická skriňa má vnútri niekoľko procesorov usporiadaných do n \geq 2 riadkov tvoriacich pravidelný trojuholník – postupne v riadkoch 1, 2,\dots , n procesorov. Chceme cez všetky procesory viesť kábel (lomenú čiaru) tak, že spojíme vždy dva susedné procesory. Určte, pre ktoré n sa to dá spraviť tak, že v žiadnom procesore nejdeme rovno.
- Dá sa to pre n = 3?
- n = 4?
- n = 5 a viac?
Po zapojení posledného procesoru sa Mackerovi podarilo opraviť vlak a ten sa zase začal pomaly rozbiehať.
Vedúci sa usadili a konečne si oddýchli.
Po pár minútach však ich oddych narušil oznam o sprievodcoch vo vlaku. Lenže oni to neboli obyčajní sprievodcovia, niektorí z nich už úplne zahodili morálny kompas a klamali o lístkoch.
8. príklad
Do vagóna prišlo niekoľko sprievodcov. Každý zo sprievodcov buď má morálny kompas, nemá morálny kompas, alebo jeho morálny kompas je narušený elektromagnetickým žiarením z telefónov a teda ukazuje len občas na sever:
- 17 vlakvedúcich má dobrý morálny kompas a vždy hovoria pravdu
- 8 vlakvedúcich svoj morálny kompas zahodilo a vždy klamú
- 13 vlakvedúcich má narušený morálny kompas a môžu aj klamať, aj hovoriť pravdu
Vedúci vedia ich počty z vlakového hlásenia dopredu.
Keď vlakvedúci prišli, tak sa hneď pohádali a niekoľko dvojíc vlakvedúcich si navzájom skontrolovali lístky. Vždy, keď si nejakí dvaja vlakvedúci skontrolovali lístky, tak si hneď navzájom povedali: “Nemáš dobrý morálny kompas.” Každý vlakvedúci pozná, aký morálny kompas má/nemá každý iný vlakvedúci.
Toto sa odohrávalo istú dobu, teda každý vlakvedúci môže byť aj súčasťou viac ako jednej dvojice. Vedúci potom všetkých vlakvedúcich chcú rozdeliť do niekoľkých prázdnych kupé tak, aby v žiadnej miestnosti neboli dvaja vlakvedúci, čo si navzájom skontrolovali lístky. Vedúci ale musia všetky kupéčka pre vlakvedúcich vyprázdniť, aby im vlakvedúci náhodou neskontrolovali lístky. Koľko najmenej ich musia vyprázdniť, aby im určite stačili?
Keď si vedúci poradili so sprievodcami bez zaplatenia jedinej pokuty, tak si uvedomili, že vlastne už na najbližšej stanici vystupujú a musia sa dostať ku dverám.
Vlak je však úplne ohorený a teda sa dá odísť normálne cez spálené steny.
9. príklad
Vagón s vedúcimi má po ohorení tvar trojuholníka. Vedúci si všimli, že všetky steny vagóna sú rovnako dlhé.
Oliver, Mišo a Kubo sa hneď rozbehli pozrieť ku ktorej stene to majú najbližšie, aby deti vedeli odviesť čo najrýchlejšie z vlaku. Dokážte, že bez ohľadu na polohu v trojuholníku z ktorej vedúci začínali, dokopy museli ubehnúť rovnakú vzdialenosť.
Vedúci vystúpili na veľmi škaredej a rozbitej stanici.
“Tu to vyzerá ako po výbuchu, kedy naposledy opravovali túto stanicu?” spýtal sa Mati.
“Neviem, ale hentam je ceduľa, poďme sa pozrieť,” odvetila mu Klaudia.
10. príklad
Na ceduľke sú napísané roky rekonštrukcie, ale ceduľa je tak stará, že sa nedá prečítať.
Na internete však vedúci našli, že stanica bola postavená v roku 863 Cyrilom a Metodom a potom prvýkrát zrenovovaná v roku 864. Stanicu potom rekonštruovali tak, že po rekonštrukcii v roku n ju nechali bez rekonštrukcie toľko rokov, koľko je ciferný súčet roku n. Teda ak by stanicu rekonštruovali v roku 123, tak nasledujúca rekonštrukcia sa udeje v roku 123 + (1+2+3) =129. Teraz je rok 2023.
- Kedy stanicu rekonštruovali naposledy?
- Kedy ju budú najbližšie rekonštruovať?
“Poďme už na autobus, už nás tu 2 hodiny čaká. Mali sme skoro 150 minútové meškanie,” povedala zadýchaná Sima po tom, ako dobehla z druhej strany stanice.