Zadania 1. kola
Začínalo sústredko a vedúci už netrpezlivo čakali na hlavnej stanici. Všetci vedúci boli veľmi rozospatí a nikomu sa nechcelo zbierať peniaze, kartičky na vlak a celkovo riešiť nejakú byrokraciu takto skoro ráno. Preto sa vedúci rozhodli že si každý vytiahne z magického erárového kufra jedno číselko od 1 do 6, možno 7, proste do toľko koľko ich tam bolo. Ako tam tak náhodne stáli na schodoch stanice a všetci ľudia do nich narážali, tak si zrazu Danko uvedomil, že predsa nemôžu stáť len tak náhodne a musia sa nejak usporiadať.
1. príklad
Vedúci majú čísla 1 až 7. Chcú sa usporiadať do kruhu tak, že medzi vedúcimi so susednými číslami je vždy práve jeden ďalší vedúci. Za susedné čísla považujeme také, ktoré majú rozdiel 1, a 7 je ešte navyše susedná s 1. Ako to majú urobiť?
Čo ak by siedmy vedúci odišiel, vedeli by sa podobne usporiadať aj zvyšní šiesti vedúci? Tentokrát je zase 6 susedná s 1. Ak vedia, ako to majú spraviť? Ak nie, prečo sa to nedá?
"Super, že sme takto pekne rozostavení, ale vieme vôbec, koľko účastníkov ide na sústredko? Lebo už sa nám tu nazbierala celkom nemalá skupinka," spýtal sa po úspešnom usporiadaní sa Duško.
Po jeho otázke sa všetci zamysleli a začali vášnivo diskutovať a polemizovať o tom, koľko ide vlastne účastníkov na sústredko. Z jednej strany bolo počuť 36, z druhej však niekto namietal že to je naozaj 42. Pár krát sa dalo začuť aj také extrémy ako žiadny, 3 s tromi alebo 8 039 835 190.
2. príklad
Počet účastníkov nazveme ish palindróm ak keď k nemu pripíšeme na začiatok nejakú číslicu (inú ako 0), vieme dostať palindróm, a keď k pôvodnému číslu pripíšeme nejakú číslicu na koniec, tiež vieme dostať palindróm. Koľko je 9-ciferných ish palindrómov? Koľko ich je 10-ciferných?
Poznámka: Palindróm je také číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj odzadu, napríklad 12321."Mišo, ako si môžeš byť tak istý že to bol ish palindróm, podľa mňa účastníkov fakt vždy malo byť 36," spýtal sa Mati.
"No to je preto, že som si ešte doma vravel, že nás je toľko, že z toho aj Kobyla ma maly boK"
Vedúci sa následne tak rozrozprávali o kobylách s malými bokmi, že sa mi pri písaní príbehu k zadaniam úplne pomiešali účastníci s kobylami.
3. príklad
Pamätám si našťastie, že kopa účastníkov a kobýl mala presne 162 nôh a 45 hláv. Presne dve sedminy účastníkov bolo zhrbených nad telefónmi, takže som ich hlavy nevidel (a teda ani nezapočítal). Koľko bolo účastníkov a koľko kobýl?
Keď sme si dali kobyly a účastníkov naspäť do poriadku tak môžeme pokračovať v príbehu.
Po chvíľke diskutovania o kobylách sa zo staničného rozhlasu ozvalo:
"R-r-r-r -ik R13.85+7i Polnočná vifonka železničnej sp-*prásk a bum* -vensko. Pri-ri-ri-ri-ri dza na nástupi- *dlhý pískavý tón* " -laj s-"
"To je náš vlak, počuli ste niekto, z ktorého nástupišťa odchádza?" Ozval sa Sebik ktorému sa konečne podarilo zavrieť kufor so šantiloptičkami.
"Nie, musíme to zistiť z tejto prekliatej tabule," odpovedal mu Štepi.
4. príklad
Prekliata železničná tabuľa je štvorec skladajúci sa z deviatich menších štvorcov. V každom štvorci je napísané jedno kladné celé číslo. To by nebolo samo o sebe prekliate. V prekliatej tabuli však platí že súčin čísel v každom riadku, v každom stĺpci a na každej uhlopriečke je 216. Vieme že všetky čísla na tabuli sú navzájom rôzne. Pomôžte veducim zistiť ako môžu byť čísla uložené na tejto prekliatej tabuli tak, aby bolo v prvom riadku čo najväčšie číslo.
"Už to tam vidím, náš vlak odchadza z nástupišťa 9 a ¾. Počkať, to nesedí, téma sústredenia nie je Harry Potter!" zvolala Alicka.
"To je čas, kedy mal odchádzať rýchlik do Prahy, pozri sa napravo od toho, tam je nástupište. Ak dobre vidím, tak odchádza z nástupišťa 3," odpovedal jej Oliver. "No, dúfam že tie tri nehody budú až po tom ako vystúpime."
“Mohli by sme sa začať presúvať ku vlaku!” zvolal Erik. “Budem nastupovať prvý a nájdem nám miesta.”
“Nie, ja nastúpim prvá a vyberiem miesta,” namietala Sima.
Toto bol spor ktorý museli vedúci vyriešiť pekne demokraticky. Ale ako, keď ich bolo v tomto momente na stanici práve 6, to sa nikdy nedohodnú. Dokonca aby toho nebolo málo tak nikto nechcel dávať pozor na deti na konci a teda mali 2 problémy o ktorých museli rozhodnúť.
5. príklad
6 vedúcich sa ide rozhodovať hlasovaním medzi 2 možnosťami, pričom každý musí všetkými svojimi hlasmi hlasovať za práve jednu z týchto možností. Na sústredku bude 7 družiniek a každá z nich má ako družinkového vedúceho práve jedného z týchto šiestich vedúcich (jeden vedúci môže byť družinkový vedúci aj viacerých družiniek). Každý vedúci má toľko hlasov, koľkým družinkám je družinkový vedúci. Navyše ale tí, ktorí nie sú vedúci žiadnej družinky, majú jeden hlas. Vedia sa vždy rozdeliť na dve skupinky tak, aby v každej skupinke malo každé možné hlasovanie jednoznačný výsledok?
Po rozdelení sa na dve časti sa vedúci aj s účastníkmi vydali do podchodu, aby došli na nástupište ku vlaku. Podchod bol ale práve rekonštruovaný a teda sa po ňom dalo chodiť iba veľmi ťažko. Všade boli cedule zákazu vstupu a povolený prechod len jedným smerom.
Ako takto vedúci blúdili tunelmi bratislavskej železnice, si zrazu uvedomili, že dostať sa na nástupište je nemožné. Jednosmerky sú totižto rozmiestnené tak, že neexistuje cesta z vestibulu na 3. nástupište. Preto sa vedúci rozhodli konfrontovať jedného z opravárov na stanici s tým, či by sa nedali zmeniť smery jednosmeriek. Opravár neznel veľmi nadšene, že ho niekto otravuje pri práci (jedení chlebu a pozeraní na kvapkajúce prasknuté potrubie pri vstupe do podchodu), ale bol ochotný zmeniť smery jednosmeriek, museli však pri zmene dodržiavať nejaké pravidlá.
Opravár im nasledovne vysvetlil podzemie hlavnej stanice:
6. príklad
Podzemie si môžete predstaviť ako štvorcovú mriežku 6 \times 6. V mrežových bodoch sú križovatky a susedné križovatky spájajú podchody. Tie sa však všetky opravujú a tak musí byť každý podchod jednosmerný. Smery podchodov môžete určiť ľubovoľne.
- Navrhnite ku každému podchodu smer tak, aby sa podchodmi dalo dostať z každej križovatky na každú.
- Miestni vedúci stavby navrhol nejaké smery podchodov tak, že z každej križovatky aspoň jeden podchod vychádza a do každej aspoň jeden vchádza. Stačí to určite na to, aby sa dalo dostať odvšadiaľ všade?
- Cestujúcim sa nechce hodiny blúdiť popod celú stanicu, aby sa dostali na nástupište, ktoré je na susednej križovatke. Navrhnite smery tak, aby sa dalo dostať medzi každou dvojicou križovatiek tak, že prejdeme cez najviac dva "zbytočné" podchody. Zbytočný podchod je taký, že po jeho prejdení budeme ďalej od cieľa ako predtým.
- Dajú sa podchody navrhnúť tak, aby sme pri každej ceste prešli cez najviac jeden zbytočný podchod? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?
Na obrázku je príklad, ako môže vyzerať podzemie. Farebne je znázornená cesta z križovatky A na križovatku B, pričom červenou sú zvýraznené zbytočné podchody tejto cesty.
“No vidíte, keď takto nastavíme smery podchodov tak nebude nikto musieť hodiny blúdiť popod stanicu,” povedal opravárovi po nastavení smerov Macker.
Opravár sa hneď na to bez poďakovania vrátil naspäť do práce (sedenie a pozeranie na kvapkajúce potrubie) a v duchu bol rád, že za neho zas niekto spravil všetku prácu.
Po tomto incidente sa vystresovaní vedúci konečne dostali na nástupište. Lenže, na nástupišti nestál žiaden vlak, že by ho nestihli?
Nie, vlak iba typicky meškal. Všetci vieme, že meškanie zobrazené na tabuli je naozaj menšie ako reálne, a preto sa vedúci rozhodli, že vyrátajú, koľko mešká vlak.
7. príklad
Vyriešte v obore nezáporných reálnych čísel rovnicu:
\displaystyle 4\lfloor x \rfloor = 3x
Poznámka: Symbol \lfloor a\rfloor označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné a.Toto meškanie nebolo veľké, na to koľko meškávajú vlaky normálne a tak vedúci nemuseli dlho čakať a mohli aj s účastníkmi nastupovať do vlaku.
Vo vlaku sa účastníci aj vedúci usadili do kupéčiek a rozhodli sa, že si na skrátenie dlhej chvíle vo vlaku zahrajú nejakú spoločenskú hru. Čo čert však nechcel, dizajnéri vlakových interiérov sa rozhodli, že nové stolíky v kupé budú mať tvar trojuholníka, vraj to pôsobí moderne.
8. príklad
Stôl je trojuholník ABC taký, že |\sphericalangle ABC |= 30\degree a keď na strane BC zvolíme bod D tak, že |BD| = 2 \cdot |DC|, tak platí, že |BD| = |DA|. Aký veľký je uhol BCA?
Krajina fičala za oknami a vlak sa náramnou rýchlosťou rútil po koľajniciach. Johnny tomu nechcel uveriť, ale mal pocit, že sa vlak snaží dohnať pôvodné meškanie a prísť do ďalšej stanice načas. Vlak bol poloprázdny a tak presúvanie sa po ňom nebolo náročné. Johnny postupne prešiel celým vlakom až kým nedošiel na koniec vlaku, tam sa na chvílu zapozeral cez zadné dvere na utekajúce koľajnice a vybral sa naspäť ku vedúcim.
Cestou späť si všimol, že čísla miest vo vlaku nie sú všetky prirodzené čísla od 1 po x ako by človek čakal (1, 2, 3, 4, \dots), ale sú to len niektoré čísla. Ako tak prechádzal okolo, tak si po chvílke uvedomil, akú vlastnosť majú tieto čísla.
9. príklad
Johnny si všimol, že čísla miest sú prirodzené čísla n väčšie ako 5, pre ktoré je číslo (n-4)! deliteľné číslom n. Nájdite všetky čísla miest.
Keď sa Johnny vrátil do vedúcovského kupéčka tak si sadol a išiel hrať nejaké hry, ktoré nevyžadovali stôl, konkrétne hry mobilné. Po chvíľke sedenia si však vedúci všimli že v kupéčku majú strašne teplo, rozhodli sa teda nastaviť si klimatizáciu a nie kúrenie.
To však nepomohlo a aj po 15 minútach čakania na ochladenie bolo v kupéčku náramne teplo. Dokonca sa dalo cítit, že stále ide z klimatizácia teplý vzduch. A tak sa vedúci rozhodli, že si otvoria okienko.
Keď ho otvárali tak dostali skoro infarkt, lebo okienko sa vyklápalo až do pravého uhla voči oknu a Uršuľa, ktorá okno otvárala, si myslela, že ho rozbila, keď sa otvorilo až tak moc.
10. príklad
Vyklopené okienko a okno tvoria pravouhlý trojuholník. Nech body Q,R,S sú stredy strán tohto trojuholníka. Okno je v poriadku ak päta výšky P na preponu leží na kružnici opísanej Q,R,S. Dokážte že takéto okno sa nedá pokaziť (bude vždy v poriadku).