Zadania 2. kola
Henry Ford bol podnikateľ, ktorý založil automobilovú značku Ford. Je známy tým, že ako prvý sprístupnil autá aj pre ľudí strednej triedy. Aj vďaka nemu dnes môžeme cestovať na dovolenky do Chorvátska.
1. príklad
Henry Ford si raz robil skúšobnú jazdu prvým prototypom nového vynálezu. Išiel po dlhej rovnej ceste stále rovnakou rýchlosťou. Po chvíli uvidel míľnik s dvojciferným číslom. O hodinu neskôr uvidel míľnik s dvojciferným číslom s rovnakými ciframi, ale v opačnom poradí. Po ďalšej hodine cesty uvidel opäť míľnik s tými istými ciframi (v nejakom poradí), tentoraz však oddelenými nulou. Akou rýchlosťou išiel Ford na skúšobnej jazde?
Poznámka: Stĺpy pri cestách, osadené vždy vo vzdialenosti jednej míle od seba, sa nazávajú mílniky. Nachádza sa na nich číselný údaj udávajúci vzdialenosť od východzieho miesta.Richard Feynman bol známy americký fyzik, ktorý za svoju prácu vo vede vyhral Nobelovu cenu. Bol horlivým a vplyvným popularizátorom vedy a inšpiroval množstvo ľudí pre vedeckú kariéru. Jeho prednášky boli zapísané do knižnej podoby, a doteraz sa môžeme z nich učiť, ale i zabávať.
2. príklad
Jedného dňa sa rozhodol Feynman dať svojim študentom neoznámenú písomku. Písomka pozostáva z 2 úloh. Za správnu odpoveď dostane študent 3 body, za žiadnu 1 bod a za nesprávnu -1 bod. Feynman tvrdí, že aspoň 4 žiaci budú mať rovnako veľa bodov. Koľko najmenej žiakov muselo byť v triede, aby si Feynman mohol byť istý, že nech písomku napíšu akokoľvek, určite tam takí štyria budú?
Howard Carter bol britský egyptológ a archeológ. Je známy vďaka svojmu objavu hrobky faraóna Tutanchamona, ktorá je do dnešného dňa jedna z najzachovanejších. Bola totiž schovaná tak dobre, že ani vykrádači hrobov ju nevedeli nájsť. V hrobke našiel rôzne vzácnosti - zlato, šperky i staré listiny.
3. príklad
Na jednej z týchto papyrusových listín bol starostlivo nakreslený plán mesta. Štvorčeky na obrázku symbolizujú domy, keďže je ale dokument pár tisícročí starý, nezachovali sa na ňom informácie o jednotlivých obyvateľoch domov.
Vieme, že v každom z domov buď býval práve jeden človek, alebo v ňom žiaden človek nebýval. Ak v dome býval človek, tak aj vo všetkých domoch, do ktorých z neho ide šípka, býval človek. Ďalej vieme, že v každom riadku bývali aspoň 2 ľudia a v každom stĺpci boli aspoň dva domy neobývané. Nájdite všetky spôsoby, ako starovekí Egypťania mohli v meste bývať a dokážte, že žiadne ďalšie možnosti nie sú.
Alain Robert je horolezec, ktorý je známy hlavne tým, že liezol po mrakodrapoch a výškových budovách bez horolezeckého vybavenia. Nazývajú ho “francúzsky Spider-man”.
4. príklad
Alain chcel raz vyliezť na budovu, ktorá mala tvar kvádra 40m \times 50m \times 60m. Začínal v jednom rohu a chcel sa dostať do protiľahlého. Liezol tak, že vždy prešiel po celej hrane kvádra na jej druhý koniec. Aby bola jeho cesta zaujímavá, chcel by po každej hrane prejsť najviac raz, ale zároveň by chcel, aby bola cesta čo najdlhšia. Nájdite najdlhšiu takúto cestu a vysvetlite, prečo už nemôže byť dlhšia.
Poznámka: Alain vie liezť po všetkých hranách budovy, teda aj po tých, ktoré sa dotýkajú zeme.Sir Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz boli pre vedu mimoriadne významné osobnosti 17. storočia. Vymysleli totiž veľmi dôležitú časť fyziky, ktorá nám umožňuje riešiť náročné úlohy, pri ktorých sa mení veľkosť mnohých veličín naraz - kalkulus. Dlho bol veľký spor o tom, kto ho vymyslel skôr. Napokon sa ale uznalo, že obaja ho vyvinuli nezávisle a zásluhy za objav získali obaja.
5. príklad
Keď sa nezaoberali náročnými výpočtami a písomnou korešpondenciou s autoritami, radi si zahrali karty. Raz si náhodne vylosovali 5 kariet. Na každej karte bolo celé číslo (mohlo byť aj záporné). Potom vytvorili z vylosovaných kariet všetky možné dvojice. Čísla na kartách vo dvojiciach sčítali a tak dostali 10 rôznych súčtov. Tieto súčty boli: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 a 15. Aké čísla boli na piatich vylosovaných kartách? Nájdite všetky možnosti.
Euklides, nazývaný aj “Otec geometrie”, bol starogrécky matematik. Je známy svojou knihou Základy, kde prvýkrát zaviedol axiómy geometrie a dokázal veľa základných geometrických tvrdení, ktoré v úlohách používame dodnes.
6. príklad
Na jednom z jeho náčrtov bol štvorec ABCD. Bod E ležal vnútri tohto štvorca ABCD tak, že ABE je rovnostranný trojuholník. Bod F ležal na úsečke BC tak, že |FE| = |CE|. Zistite veľkosť uhla FEB.
7. príklad
Pierra a Máriu Curie už dobre poznáte a ako viete, nikdy nepohrdnú dobrou spoločenskou hrou. Ich najnovšia obľúbená pozostáva z 10 papierikov, na ktorých sú napísané čísla od 1 do 10. Manželia si striedavo berú po jednom papieriku, pričom prvý papierik si zobral Pierre. Vyhrá hráč, ktorý dostane aritmetickú postupnosť z aspoň troch čísel na svojich papierikoch. Ktorý hráč má víťaznú stretégiu a aká táto stratégia je?
Poznámka: Aritmetická postupnosť je taká, že susedné členy majú vždy rovnaký rozdiel. Víťazná stratégia znamená, že hráč podľa nej dokáže vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper.Carl Friedrich Gauss bol jedným z najvplyvnejších matematikov našej histórie. Nazývali ho aj “Princ matematiky”. Zaoberal sa najmä algebrou a teóriou čísel.
8. príklad
V jednom z jeho poznámkových zošitov sa našiel takýto príklad: Majme také prirodzené a, b, c, d, že a \cdot b = c\cdot d, dokážte, že:
NSD(a,c) \cdot NSD(a,d) = a \cdot NSD(a, b, c, d)
Louis Pasteur sa po úspešnom očkovaní zvierat vrátil k výskumu baktérií rodu Krivošíkus Jakubis. Aby ich mohol skúmať, tak si na Petriho miske pestuje kolóniu baktérií a necháva ich rozmnožovať sa.
9. príklad
Na začiatku je na Petriho miske jedna baktéria. V každom kroku sa jedna baktéria rozdelí na dve živé baktérie (čím sama zomrie). Tento proces sa opakuje, až kým na miske nie je n živých baktérií. Dokážte, že pre ľubovoľné kladné celé k také, že 2k \leq n existuje baktéria, ktorá má aspoň k žijúcich potomkov, ale najviac 2k.
Poznámka: Potomkovia baktérie sú také baktérie, ktoré vznikli rozmnožením sa danej baktérie, alebo ďalších jej potomkov.Archimedes zo Syrakúz bol majstrom mnohých vedných odborov. K jeho životu sa viaže mnoho vtipných historiek, napríklad, keď sa kúpal vo vani, objavil princíp Archimedovho zákona a so slávnostným zvolaním “Heuréka!” začal pobehovať po uliciach Syrakúz úplne nahý. Žil v období púnskych vojen a raz, ako si rysoval niečo do piesku, ho vyrušil rímsky vojak, ktorý by mu náčrt čochvíľa podupal, kebyže ho Archimedes neupozornil. Toto rozkazovanie vojaka nepotešilo a ihneď ho prebodol mečom.
10. príklad
Majme obdĺžnik ABCD, zostrojíme body E a F mimo obdĺžnika tak, aby BCE a CDF boli rovnostranné trojuholníky. Priesečník priamky FC s BE označíme X. Kružnica opísaná FBX pretne kružnicu opísanú CDF v bode Y rôznom od F. Priesečník BY s kružnicou opísanou CDF rôzny od Y označíme Z. Keď Z preklopíme osovou súmernosťou cez stranu CD, dostaneme Z’. Dokážte, že Z’ je stred kružnice opísanej CDF.