Vzorové riešenia 2. kola

Začneme tým, že si všimneme, že |EB|​ je rovnaká ako |AB| lebo obe sú stranami rovnostranného trojuholníka. |BC|​ je tiež rovnaká ako |AB|​, obe sú strany štvorca. Z toho dostávame, že |EB|=|BC|​ a teda trojuholník EBC​ je rovnoramenný.

Teraz si môžeme poprenášať nejaké uhly:

Vieme, že |\angle ABE|​ je 60\degree​ kvôli rovnostrannému trojuholníku a |\angle ABC|​ je 90\degree​ kvôli štvorcu. |\angle EBC| bude teda 90\degree-60\degree=30\degree

Do rovnoramenného trojuholníka EBC​ si môžeme dorátať uhly pri základni - vieme, že oba sú rovnaké a spolu s |\angle EBC|​ majú súčet 180\degree​, teda dostávame 2|\angle EBC|+30\degree=180\degree​. Čo vyriešime a dostaneme |\angle EBC|=75\degree​. Zo zadania je |CE| = |FE|​, teda trojuholník CEF je rovnoramenný tiež, kvôli tomu sa uhly pri jeho základni rovnajú - 75\degree si môžeme preniesť aj na EFC​.

Uhol CEB​ je rozdelený na dve časti zo súčtom 75\degree​, dopočítame si deda |\angle CEF|​ a |\angle FEB|​ už zistíme ľahko.

V trojuholníku CEF už poznáme dva uhly, teda tretí je: 180\degree-75\degree-75\degree=30\degree​. Uhol FEB​ je jeho doplnkom do 75\degree, teda je 75\degree-30\degree=45\degree​.

Odpoveď: |\angle FEB| = 45\degree​

​Pri hre dvoch hráčov, to vždy vyzerá podobne. Vyberieme si hráča pre ktorého sa budeme snažiť odkázať, že má víťaznú stratégiu (ak si myslíme, že taký hráč existuje, ak nie, tak pre oboch hráčov sa snažíme ukázať, že majú stratégiu neprehrávajúcu). Tú opíšeme a potom sa pozeráme na druhého hráča a snažíme sa zistiť, či neexistuje ťah, niečo čím by to mohol prvému hráčovi prekaziť.

Vyhrávajúcu stratégiu má v tomto prípade prvý hráč (nemusí to tak byť vždy), čiže Pierre. Jedna z možných stretégií je nasledovná:

Prvý ťah

Pierre si v prvom ťahu zoberie číslo 5.

Druhý ťah

Pierre si v druhom ťahu zoberie číslo 7​.

Tu sa musíme zaraziť. Môže si vždy Pierre zobrať v druhom ťahu číslo 7? Stratégia je návod, ktorý nám hovorí, čo má hráč pre ktorého stratégiu opisujeme robiť v každej hernej situácii do ktorej sa vie dostať. Ak by si Mária zobrala vo svojom ťahu číslo 7, tak je Pierre bezradný. Musíme mu povedať, čo má robiť.​

Pokiaľ si Mária zobrala číslo 7, tak si Pierre zoberie číslo 3.

Vieme sa rýchlo zamyslieť, či si Pierre číslo 3 zobrať môže, no určite áno, keďže on má 5 a v tomto prípade má Mária 7. Trojka je voľná.

Máme teda dva prípady, ktoré si musíme rozobrať.

Tretí ťah

Pierre má čísla 5 a 7. Ak si zoberie hociktoré z čísel 3,6 a 9, tak vyhral. Mária však zatiaľ mala iba dva ťahy, takže Pierrovi aspoň jedno z týchto čísiel ostáva a vie si ho zobrať a tým vyhrať.

Ostáva rozobrať druhý prípad.

Pierre má čísla 5 a 3. Ak si zoberie hociktoré z čísel 1,4 a 7, tak vyhral. Mária však rovnako ako v predchádzajúcom prípade mala zatiaľ iba dva ťahy, takže Pierre vie aj v tomto prípade vyhrať.

Týmto sme ukázali, že nech Mária bude robiť, čokoľvek, tak Pierre po troch ťahoch vyhrá. Ostáva otázka, či by Mária nemohla vyhrať skôr? Tu je to jasné, no ak by to Pierrovi mala trvať výhra napríklad štyri ťahy, už to je legitímna otázka.

Takže nakoniec poznamenajme, že Márii sa nemôže podariť skôr vytvoriť aritmetickú postupnosť o dĺžke 3 ako Pierrovi. Kým sa Mária dostane ku svojmu tretiemu ťahu, tak Pierre vyhrá.

Takto by teda vedelo vyzerať úplne správne riešenie bez zbytočných poznámok:

Vyhrávajúcu stratégiu má prvý hráč, čiže Pierre. Jedna z možných stretégií je nasledovná:

Prvý ťah

Pierre si v prvom ťahu zoberie číslo 5.

Druhý ťah

1. Pokiaľ je voľné číslo 7, tak si ho Pierre zoberie.
2. Pokiaľ si Mária zobrala číslo 7, tak si Pierre zoberie číslo 3.

Tretí ťah

1. Pierre má čísla 5 a 7. Ak si zoberie hociktoré z čísel 3,6 a 9, tak vyhral. Mária však zatiaľ mala iba dva ťahy, takže Pierrovi aspoň jedno z týchto čísiel ostáva a vie si ho zobrať a tým vyhrať.
2. Pierre má čísla 5 a 3. Ak si zoberie hociktoré z čísel 1,4 a 7, tak vyhral. Mária však rovnako ako v predchádzajúcom prípade mala zatiaľ iba dva ťahy, takže Pierre vie aj v tomto prípade vyhrať.

Nakoniec poznamenajme, že Márii sa nemôže podariť skôr vytvoriť aritmetickú postupnosť o dĺžke 3. Kým sa Mária dostane ku svojmu tretiemu ťahu, tak Pierre vyhrá.

Komentár

​Je nutné aby Pierrovi stratégia hovorila, čo má robiť ak Mária spraví čokoľvek. Čo má Pierre spraviť, ak si Mária zoberie práve 4​? Občas s tým je pri niektorých aj dobrých riešeniach problém. Často ostávajú okrajové prípady, ktoré riešenie neošetruje. Riešenia často používajú argument, že pre druhého hráča je niečo najlepšie. Napríklad v našom riešení by sme mohli povedať, že Mária bude blokovať čísla ​3,6​​​ a 9​ takže si zoberie dve z nich a ani to nebude stačiť. Tu je to relatívne jasné, no ako vieme, že blokovanie je to najlepšie čo môže spraviť, ak to nevedie ani k remíze? Neexistujú ťahy, ktoré by k výhre viedli, napríklad, to že si Mária zoberie 2​? To musí byť z riešenia jasné.

Najprv si uvedomme dve vlastnosti NSD:

    c \cdot NSD(a,b) = NSD(c\cdot a,c\cdot b)

Táto rovnica platí preto, že ak NSD(a,b)=k tak vieme a vyjadriť ako x \cdot k a b vyjadriť ako y \cdot k pričom x a y sú nesúdelitelné. Potom c \cdot a = c \cdot x \cdot k a c \cdot b = c \cdot y \cdot k, takže NSD(c\cdot a,c\cdot b) = NSD(c\cdot x \cdot k,c\cdot y \cdot k) a kedže x a y sú nesúdeliteľné tak sa táto rovnica bude rovnať c \cdot k. Na druhej strane máme c \cdot NSD(a,b) a kedže vieme, že NSD(a,b)=k tak táto rovnica sa bude tiež rovnať c \cdot k.​

    NSD(NSD(a,b), NSD(c,d)) = NSD(a,b,c,d)

Pre túto rovnicu si povedzme, že NSD(a,b)=k a NSD(c,d)=l potom rovnako ako v predošlej rovnici si vyjadríme čísla a, b, c, d pomocou spoločných deliteľov a zapíšeme si ich do pravej časti rovnice NSD(x \cdot k, y \cdot k, z \cdot l, w \cdot l), kedže x,y sú nesúdeliteľné tak ani jedna z nich sa nenachádza vo výsledku a to isté platí o z, w, takže táto NSD sa bude rovnať NSD(k,l), čo si môžeme všimnúť že je také isté ako na ľavej strane.​

Teraz sa poďme pozrieť na dôkaz:
Rovnicu dokážeme tak, že si vezmeme jednu stranu rovnice a budeme ju upravovať, dokým nebude rovnaká ako druhá strana rovnice. Pri takomto spôsobe si však treba dať pozor, aby sme upravovali iba túto jednu stranu, teda napríklad nemôžeme nič prirátavať, ale ani násobiť a podobne.

Takže, vezmime si ľavú stranu rovnice:

​NSD(a,c) \cdot NSD(a,d)

Tu použijeme jednu z vlastností, ktorú sme uviedli na začiatku zadania, a to tú prvú:

​NSD(NSD(a,c) \cdot a, NSD(a,c)\cdot d)

Všimnime si, že sme len obe čísla v NSD(a,d) vynásobili výrazom NSD(a,c). Vieme si však všimnúť, že ten istý trik vieme použiť znova, a dostať a a d do vnútra zátvoriek:

NSD(NSD(a \cdot a,a\cdot c),NSD(d \cdot a,d \cdot c))

Teraz použijeme druhú vlastnosť, ktorú sme na začiatku uviedli. Vidíme, že máme veľa NSD v sebe, a tak ich môžeme zjednodušiť do jednej, ako v príklade na začiatku:

NSD(a\cdot a,a\cdot c,d \cdot a,d\cdot c)

Pozrime sa na posledný člen tohoto NSD. Je to c \cdot d, a my zo zadania vieme, že c\cdot d=a \cdot b, a teda v tomto výraze môžeme c\cdot d nahradiť a\cdot b.

NSD(a\cdot a,a \cdot c,a \cdot d,a \cdot b)

Tu vieme opäť použiť prvú vlastnosť NSD, pretože každý člen násobíme a, a teda ho môžeme vyňať pred NSD.

a\cdot NSD(a,c,d,b) = a \cdot NSD(a,b,c,d)

No, a vidíme, že sme sa iba úpravami ľavej strany rovnice dostali k pravej, a teda sme rovnosť dokázali.

Komentár

Veľa z vás malo problém skutočne popísať a dokázať vaše riešenie, a často ste urobili nejakú drobnú chybičku alebo predpoklad, prípadne ste nejakú vec jednoducho zle dokázali. Za toto sme strhli väčšinu bodov. Dobrý tip do budúcna je, že pri dokazovacích príkladoch je takmer vždy lepšie si veci zapísať matematicky, vo výrazoch. 

V zadaní bolo napísané Dokážte pre ľubovoľné kladné celé k. Najprv si teda povedzme, čo takéto zadanie znamená a ako sa takéto úlohy riešia.

Ak máme nejaké tvrdenie dokázať pre ľubovoľné číslo (alebo čokoľvek iné, napríklad ľubovoľné usporiadanie tabuľky, ľubovoľné rozloženie figúrok...), nestačí si vybrať jedno číslo, napríklad k = 2 a ukázať, že pre tento prípad tvrdenie platí. Treba prejsť všetky prípady, od k = 1, k = 2, ..., k = \frac{n}{2}​. Ak je týchto prípadov nejaký konkrétny počet, tak to naozaj môžeme dokazovať tak, že prejdeme každú možnosť a ukážeme, že tvrdenie vždy platí (napríklad ak by sme mali zadané, že n \le 10​, tak nám zostane iba päť možností na k a môžeme prejsť všetky). Ako ale prejsť všetky prípady, keď nevieme, koľko ich je, alebo je ich dokonca nekonečno?

Najčastejší spôsob, ktorým sa takéto úlohy riešia je, že sa pozrieme na to, čo majú všetky možnosti spoločné a ukážeme z toho, že tvrdenie platí. Keďže pri tom vychádzame z toho, čo majú všetky možnosti spoločné, mohli by sme prejsť všetky možnosti a toto zdôvodnenie použiť pri každej. Teda síce nevieme prejsť všetky možnosti posupne, ale môžeme sa takto "pozrieť na všetky naraz".

Na začiatku máme jednu živú baktériu. Môžeme si ju nakreslit takto:

​

Teraz povedzme, že by sa tá baktéria rozmnožila. Tým ona umrie, ale vzniknú dve nové. Môžeme si to nakresliť:

Živé baktérie kreslím zelenou a mŕtve červenou. Povedzme, že by sa teraz jedna z tých dvoch živých baktérií rozmnožila.

Takto môžeme kresliť ďalej, až sa dostaneme ku konečnému obrázku, ktorý môže vyzerať napríklad takto:

Na konkrétnom umiestnení baktérií nezáleží, dôležité je, že každá baktéria je spojená nahor s baktériou, z ktorej vznikla. Môžeme si všimnúť, že každá červená baktéria má dve "deti". Počet potomkov nejakej baktérie môžeme zistiť tak, že sa pozrieme na to, koľko je zelených baktérií, ktoré sú niekde pod ňou (nie nutne priamo spojené s ňou, môžu byť spojené cez niektoré ďalšie, ale iba smerom dole).

Preto keď máme jednu baktériu, ktorá sa rozdelila na dve, tak počet jej potomkov je súčet počtov potomkov tých dvoch baktérií, ktoré vznikli jej rozmnožením (napríklad ak sa jedna baktéria rozmnožila na dve, z ktorých jedna má troch potomkov a druhá štyroch, tak táto má sedem).

Máme teda takýto obrázok, kde je n​ zelených baktérií. Chceli by sme teda nájsť nejakú takú, ktorá má aspoň k​ a najviac 2k​ potomkov. Ako by sme ju mohli nájsť?

Je ľahké nájsť baktériu, ktorá má aspoň k potomkov - môžeme napríklad zobrať tú prvú, ktorá je na vrchu nášho obrázka. Ak by mala zároveň najviac 2k​ potomkov, tak výborne - našli sme ju. Ak má viac, ako 2k potomkov, musíme hľadať ďalej - nájsť nejakú baktériu, ktorá má menej potomkov, ako ona. Vieme, že jej dve "deti" majú dokopy toľko potomkov, ako ona, teda viac, ako 2k. Preto aspoň jeden z nich musí mať viac, ako k​ potomkov (ak by obaja mali najviac k​, tak ich súčet je najviac 2k). Takže ak sa pozrieme na to jej "dieťa", ktoré má viac potomkov, tak sme našli baktériu, ktorá má menej potomkov, ako tá, ktorú sme našli predtým, ale stále aspoň k​.

Ak má táto baktéria najviac 2k potomkov, tak sme ju našli. Ak má viac, tak sa môžeme pozrieť na jej deti, ak ani medzi nimi nenájdeme, tak na deti ich detí a tak ďalej. Takto nájdeme baktérie, ktoré majú stále menej a menej potomkov, ale stále aspoň k​. Keďže čísel medzi k​ a n je iba nejaký obmedzený počet, nemôžeme zmenšovať donekonečna a určite raz nájdeme takú baktériu, akú hľadáme. Taktiež sa nám nestane, že by baktéria už nemala deti, lebo ak má viac, ako 2k potomkov (najmenej troch, keďže k \ge 1​), tak sa musela ešte niekedy rozmnožovať.

Tento dôkaz funguje vždy rovnako bez ohľadu na výber n​ a k​ a bez ohľadu na poradie delenia baktérií. Preto sme ukázali, že pre každé n​ a k​ spĺňajúce podmienky zo zadania existuje baktéria s aspoň k​ a najviac 2k​ potomkami.

Pri geometrii nie je iná cesta, ako si na začiatok nakresliť obrázok. V riešení budeme používať niekoľko vedomostí. Najprv, súčet uhlov v trojuholníku je 180\degreea jednoduché dôsledky, ako napríklad to, že rovnostranný trojuholník má všetky uhly veľké 60\degree. Na druhej strane v tomto príklade budeme veľa pracovať s Tálesovou vetou. Tá hovorí, že pokiaľ máme na kružnici body A,B,C, tak úsečka AC tvorí jej priemer práve vtedy keď \lvert\angle ABC \rvert= 90\degree. Pokiaľ si sa ňou ešte nestretol/la, tak predtým ako budeš pokračovať ti odporúčam si prečítať Wikipédiu. Nakoniec budeme potrebovať zhodné trojuholníky. 

Riešenie rozdelíme do niekoľkých fází. Prvým krokom je ukázať, že uhol \angle BXC je pravý. Postupne si všimnime, že \lvert\angle DCF\rvert=\lvert\angle CBE\rvert = 60\degree, keďže sú to uhly pri vrcholoch rovnostranných trojuholníkov. Ďalej ako uhol pri vrchole obdĺžnika \rvert \angle DCB \rvert=90\degree. Teraz ľahko dopočítame uhly \lvert \angle BCX\rvert=180\degree-90\degree-60\degree=30\degree a uhol \lvert\angle BXC\rvert=180\degree-30\degree-60\degree=90\degree.

Teraz je čas použiť Tálesovu vetu. Keďže \angle BXF je pravý, tak úsečka BF tvorí priemer kružnice k_1. Potom znovu vďaka ​Tálesovej vete je aj uhol \angle FYB pravý. 

Teraz si všimnime, že body Y, Z a F ležia na kružnici opísanej trojuholníku \triangle DCF a navyše pri vrchole Y máme pravý uhol. Zas použijeme Tálesovu vetu aby sme dostali, že FZ je priemerom kružnice k_2. Ako priemer špeciálne teda prechádza cez jej stred označený ako G. Avšak v rovnostrannom trojuholníku sa stred kružnice opísanej zhoduje s priesečníkom výšok. Špecálne je teda polpriamka \overrightarrow{FG} kolmá na DC. 

​Aktuálne sa vieme zamerať na trojuholník \triangle ZCF​. Už vieme, že ZF​ je prepona. Ide teda podľa Tálesovej vety o trojuholník pravouhlý. Spomeňme si, že \lvert \angle DCF\rvert = 60\degree​. Potom ľahko dopočítame, že \lvert\angle ZCD\rvert = 30\degree​.​

Už sme skoro tam \lvert\angle HCG\rvert= 60/2\degree=30\degreea teraz G je stred kružnice k_2, no úsečka GZ je kolmá na DC a zároveň trojuholníky \triangle HCG a \triangle HCZ sú zhodné podľa vety sus, takže \lvert HG \rvert=\lvert HZ \rvert. G je naozaj obrazom bodu Z pri osovej súmernosti.

Teraz by sme mohli byť šťastní, no ukazuje sa, že v príklade je ešte jeden zakopaný pes. V prípade, že DC\gt\gt BC, poprípade BC\gt\gt DC (postup je úplne rovnaký a nebudeme ho uvádzať) tak trojuholník \triangle DCF vieme preklopiť aj do spodnej roviny tak, aby bod F neležal v obdĺžniku ABCD. 

Avšak v tomto prípade tvrdenie zo zadania platiť nemôže, lebo bod Z je v spodnej polrovine od úsečky DC a teda nemôže byť stredom kružnice opísanej FCD. Máte pravdu prísne vzaté to nie je dôkaz :), ale je to jasné.